展思維過程 促能力提升

朱祖煌

[摘 ?要] 為了提升學生的學習能力，在數學教學中應多讓學生經歷一些過程，鼓勵學生去嘗試、去探究、去領悟，進而通過分析、比較、概況等實踐活動得到正確的知識思想方法. 為了讓學生更好地去經歷過程，教師應適時適當地呈現一些數學家、教師或學生的思維過程，進而有效地發展學生的思維，培養學生良好的思維習慣和數學素養.

[關鍵詞] 學習能力;思維過程;數學素養

在唯分論的影響下，為了追求高分，部分教師會習慣性地將數學知識和解題方法通過“灌輸”的方式傳授給學生. 在教師的“灌輸”下，學生通過模仿確實可以解決大多數問題，學生的成績在“題海”模式下也會有所提高，然學生的自主學習、自主探究、自主解決能力并不會得到實質性提升. 教師要意識到，若想讓學生學會學習，應多引導學生去發現、去創造，只有所學的東西是自己發現的或者自己創造的，才能形成更加深刻的印象，在解決實際問題時也才會得心應手. 因此，在教學過程中，教師應多展示一些思維過程，讓學生在親身經歷中有所感悟，有所收獲，那么教學中該如何展示思維過程呢？如何才能讓學生在教學中獲得有效的學習方法，提升數學學習能力和數學素養呢？筆者認為，教學中教師可以通過展示數學家、教師或學生的思維過程來幫助學生習得方法，訓練能力，進而讓學生的思維能力和學習能力在“過程”中開花結果.

[?]展示數學家的思維過程，體驗知識生成過程

眾所周知，人們對數學知識的認識大多源于生活實踐，人們先是根據直觀感受獲得數學感知，再根據生活實踐不斷總結、歸納，從而提煉出數學命題，然后通過邏輯分析、邏輯推理加以證明，最終形成概念、公式、定理等. 其實數學知識的形成過程是豐富多彩的，然由于教材篇幅等因素影響，在教材中并未得到完整的體現，如果教學中還對這些知識的形成過程視而不見，只是按照教材的順序給出概念、公式、定理及其證明后就去應用，這樣的學習只是簡單的“搬運”，學生學到的只是一些抽象的數學結論，無法體會知識的探索和發現，也無法理解數學家探索未知世界的思維，更無法領悟數學知識的真正價值，學生只會將數學視為一門必修課，高考必考科目，這樣的數學學習是機械的、盲目的，不利于學生創新能力的提升. 因此，教學中教師應結合學生實際學情和認知規律，適時適當地創設一些問題情境，引導學生進行一定的探究，讓學生可以順著數學家的思維去思考問題，領悟探索數學知識的思維方法，讓學生不僅能掌握結論，還能懂得數學發現、數學創造的真正意義，以此通過“過程”培養學生的創新意識.

案例1 認識“分類計算與分步計算”.

師：看看以下兩個問題，你會解嗎？（教師用PPT展示題目）

問題1：現有一個三層書架，第一層（最上面一層）放有6本不同的數學書，第二層放有5本不同的語文書，第三層放有3本不同的英語書. 從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

問題2：現有一個三層書架，第一層（最上面一層）放有6本不同的數學書，第二層放有5本不同的語文書，第三層放有3本不同的英語書. 如果三種書各取1本，有多少種不同的取法？

兩個問題并不難，在教師的帶領下順利地解決了問題，問題解決后教師又引導學生列舉一些與之類似的例子，待學生對問題有了更深層的理解后，教師又提出了新的問題：歸納一下，解決問題1和問題2的方式有哪些異同？

生1：我認為相同的是都是取書問題，不同的是取書的數量不同. （生1的答案給出后，大多數學生認為生1是答非所問）

生2：問題1只要在三類書中任取1本就可以，而問題2是在每類書中各取1本.

生3：正如生2所說，其實在問題1中，只要在三類書中任取1本，這個事件就結束了;而問題2必須是每類書都要取到1本. 解決問題1只要一步就可以完成，而解決問題2需要三步才能完成，每步都缺一不可.

生4：問題1是分類問題，問題2是分步問題.

……

師：同學們都說得非常好，現在我們從計算方法上思考一下，你是如何計算的？

生4：問題1是相加的，而問題2是相乘的.

師：在“相加”和“相乘”中你有何體會？

生5：如果所要解決的問題是分類進行的，只要將每一類的方法種數相加即可;如果是分步解決的，需要將每一步的方法種數相乘.

師：通過對以上問題的討論容易發現，其實完成一件事有兩種方式，一種是分類，另一種是分步，這就是我們今天要重點學習的內容.

教學中，學生在教師的引導下通過合作交流發現了問題的核心，同時又用自己的語言總結歸納出了基本的解決方法，此時教師再給出兩個計數原理就變得順理成章了.

教學反思：從教學過程可以看出，教師采用的是先探究再引入的方式，即先讓學生結合生活經驗去體會兩種方式的不同，接下來通過問題引導和合作交流逐漸指向問題本質，學生會經歷分析、比較、概況等思維過程，在某種意義上來講，其與數學家的思維過程是一致的，只有讓學生去經歷、去體驗才能有效幫助學生深刻理解概念，形成正確的思維方法，激發學生無限的創造力.

[?]展示教師的思維過程，樹立正確的學習觀

教師作為課堂的引領者，其在課堂教學中的作用是不言而喻的. 在日常學習中，學生常常會模仿教師的思維去思考和解決問題，以此來豐富解題經驗、解題方法，逐漸形成自己的思維方式. 因此，教師的思維過程在發展學生的數學思維中發揮著舉足輕重的作用，這就要求教師善于在教學中合理地展示自己的思維過程. 在現實的教學中，不少教師意識到了過程性教學的重要性，不過教學中教師所展示的大多數是數學家的思維，是“成功”的思維. 其實，在教學過程中教師可以多展示一些自己的思維過程，多展示一些自己“失敗”的經驗，讓學生知道教師在解題時也會遇到困惑、挫折、失敗，這樣可以拉近師生的距離;同時要展示失敗后又是如何擺脫困境的，以此鼓勵學生敢于面對挫折，引導學生樹立正確的學習觀，從而培養學生良好的思維能力和解題能力，培養學生健康的心理.

案例2 已知數列{b}是等差數列，且b=1，b+b+…+b=145.

（1）求數列{b}的通項公式;

（2）設{a}的通項a=log

1+

①（其中a>0，且a≠1），記S是數列{a}的前n項和，試比較S與logabn+1的大小，并證明你的結論.

對于問題（1），學生容易得到b=3n-2②.

對于問題（2），參考答案給的是“數學歸納法”的相關知識進行證明的，但是教師發現了其他解題方案，于是呈現出了自己的解題過程：

由①②，得a=log

1+

=log

1+

③，設a′=log

1+

④，a″=log

1+

⑤，且{a′}與{a″}的前n項和分別為S′與S″.

當a>1時，有a>a′>a″，于是S>S′>S″，知3S>S+S′+S″=（a+a′+a″）=

log+log+log

=log=log

···…·

=log（3n+1）=logabn+1，于是得S>logabn+1.

當0

求解問題（2）時，教師也是做了不同的嘗試，經歷了許多試探才得到了這個簡潔的方法，如果教學中教師不展示自己的思維過程，而以標準答案的方式直接將解題方法灌輸給學生，即使學生在教師的講解下可以理解解題過程，但對為什么這樣解題會感覺迷茫，很難促進學生的思維發展，也很難轉化為學生個體的解題能力. 其實，對于③式的得出學生都能夠理解，但為什么得出③式后要設④式和⑤式呢？這步是整個解題過程的關鍵環節，只有學生弄清楚了為什么要這樣假設，才能真正理解這一解法，因此教學中教師對于這一關鍵點的合理處理自然成了本題教學的重點. 為了讓學生能夠理解，并在日后解題中會構造，教師需要將自己深度思考的過程順應學生的心理變化，轉化為學生明白的一個自然生成的過程. 如果在教學中教師只是將固定的模型強加給學生，必然會造成學生“只知其然而不知所以然”的局面. 雖然對于一些重要的模型教師會重點強化，然機械強化容易造成思維定式，解題時會出現生搬硬套的現象，這有悖于教學目標，不適合學生的長遠發展.

對于以上問題，在解題的關鍵點處，教師進行了恰當的引導.

師：由于b=3n-2，因此要比較S與logabn+1的大小，也就是比較log

1+

⑦與logabn+1⑧的大小. 然⑦式與⑧式不同，一個是多項的和，另一個只有一個項，因此若要比大小，則必須進行轉化. 如果可以把⑦式進行變換，使之轉化為⑧式的形式，問題是不是就可以解決了呢？思考一下，⑦式應該如何變換呢？（學生沉思）

生6：⑦式中的底數a是不確定的，因此變換時需要進行分類討論，應該分為兩類，a>1或01，⑦式為增函數，接下來對⑦式進行縮放，不過后面我也不清楚如何求解，只是一個初步的想法.

師：說得很好，雖然還沒有得到最終的答案，不過能夠聯想到“縮放”也是給了我們新的啟發，大家順著生6的思路探究一下，看看應該如何進行“縮放”呢.

生7：我嘗試把log

1+

進行縮小，然演算了很多遍也不能把⑦式合理地轉化為⑧式.

師：其實很多學生與生7的思路是相同的，那么既然直接把其縮小不能實現，是否可以把log

1+

進行拆分呢？（在教師的引導下，學生又開始了新一輪的嘗試，最終在不懈的努力下成功地解決了問題）

這樣在教師一步步的引導下，學生經過不斷嘗試，將左邊的多項的乘積成功地轉化為了一項，而這一項恰好就是b，這樣就將條件和結論進行了有效串聯，受此啟發自然就有了設④式和⑤式的步驟，找到了解題的關鍵點，問題就迎刃而解了.

教學反思：在教學中，堅持“以生為主”并不意味著讓學生自己去創造解題方法，要知道高中的課堂時間是寶貴的，如果都讓學生自己去創造解題方法勢必會浪費很多的時間，而且限于學生的認知水平和思維能力，讓學生獨立完成問題的解決也是不現實的，因此教學中教師必須發揮好引導的作用，要把自己的創造性思維過程通過一個自然的方式展示給學生，啟發學生一步步思考，從而讓學生獲得自己的解題方法. 當然，教學中教師不能直接將方法灌輸給學生，必須找到一個合理的支撐點，讓學生在“跳一跳”中獲得解題信心，掌握解題方法.

[?]展示學生的思維過程，實現教學相長

課堂是師生互動交流的舞臺，在教學過程中，教師要多與學生進行平等的對話和交流，要多了解學生的思維過程，這樣才能及時捕捉學生的閃光點和錯誤處，從而通過有效的交流和補充引導學生形成完善的認知，因此教師既要做一個優秀的講授者，也要成為一名合格的傾聽者，在教學中鼓勵學生去交流、去合作、去溝通，從而通過互動實現優勢互補，促進共同進步.

案例3 復習“函數的定義域和值域”.

問題：函數y=的定義域為R，求實數m的取值范圍.

教師先讓學生獨立解決問題，接下來讓學生板演解題過程.

生8：因為函數y=的定義域為R，即不等式mx2-6mx+m+8≥0恒成立，得m[（x-3）2-8]≥-8恒成立，則0≤m≤1.

師：你們的答案與生8相同嗎？（學生紛紛點頭）

師：看來大家對答案都沒有異議，不過生8的解題過程你們看懂了嗎？你們又是如何求解的呢？（接下來教師又請其他學生進行板演）

生9：原函數的定義域為R，即不等式mx2-6mx+m+8≥0恒成立，構造函數y′=mx2-6mx+m+8，并使y′≥0.

（1）當m=0時，y′≥0顯然成立;

（2）當m<0時，y′≥0不成立;

（3）當m>0時，若Δ=36m2-4（m+8）≤0，則y′≥0恒成立，所以0

綜上可得，0≤m≤1.

師：很好，生9進行了完整正確的解答，這個是我們常用的解法，那么生8的解法是否正確呢？讓我們一探究竟.

教學反思：從最終結果來看，生8的答案也是對的，然其解題過程是難以被理解的，答案的得出是不是偶然呢？在解題過程中，教師對生8的解法并沒有過多評價，而是先展示了常規的解法，從而通過對比引發學生深度思考. 經過深度探究可以發現，生8得到答案的過程就是將m[（x-3）2-8]≥-8的兩邊同時除以（x-3）2-8，其本質也是構造函數，只不過生9構造的是y′=mx2-6mx+m+8，而生8構造的是y″=，雖然一個是動態函數，一個是定函數，但是其思想方法是一致的. 另外，生8的解答過程存在著嚴重的“跳步”現象，應引導生8完善解題過程、規范解題過程. 在實際教學中，學生其實有很多“突發奇想”，而當教師面對學生的這些“突發奇想”時，不要急于肯定或否定，而是給學生一個平等交流和討論的平臺，讓學生去討論和驗證，以此提高學生探究的積極性，豐富學生的解題經驗，相信教師在此過程中也定能有所收獲，有所成長.

總之，教學中教師要盡量避免直接傳授，要多給學生一些思維發展的空間，進而培養學生思維的廣闊性和靈活性，促進學生學習能力的提升.