術道并行，以道為先

李玲玲　冷偉

【摘 要】計算教學中，應通過滲透數形結合、轉化、類比推理等數學思想，運用教師問題引導、學生自主探究的雙主體策略，從而培養(yǎng)學生的深刻性思維，使學生借助對舊知的深刻理解，在面對新知時有效遷移，主動解決新問題，并能準確地概括總結運算法則，把握算法背后算理的形成過程。

【關鍵詞】計算教學 深刻性思維 數學思想

一、問題的提出

（一）計算教學的目標

新課標指出，計算教學要重視口算，加強估算，提倡、鼓勵算法多樣化，培養(yǎng)運算能力，還要求數學教學應該提高學生綜合應用知識的能力，培養(yǎng)學生良好的思維品質。

（二）計算教學的困惑

很多教師在進行計算教學時，更關注知識技能目標的培養(yǎng)，忽視了學生計算思維能力與綜合應用知識能力的培養(yǎng)。傳統(tǒng)的計算教學往往要求學生算對、算快，教師教學時要么關注計算結果的正確率，忽視算理的推導和計算方法的概括;要么關注技能的訓練，追求算理的程序化。這就導致學生學習興趣不高、不愿深入思考問題。一些學生不能深刻地理解算法背后算理的支撐，面對新問題時不會主動構建知識體系，不能靈活運用已有的知識和對運算的理解去嘗試解決新問題。

二、我們的思考

計算教學不僅要培養(yǎng)學生的運算能力，而且要培養(yǎng)思維能力，提高其數學核心素養(yǎng)。思維的深刻性是思維品質的基礎。在計算教學中培養(yǎng)學生思維的深刻性，是提高數學教學質量、減輕學生學業(yè)負擔的有效途徑，是發(fā)展數學思維能力的突破口。

數學思維的深刻性，指思維活動的抽象程度、邏輯水平、廣度、深度和難度。根據林崇德的思維結構理論，我們對深刻性思維的概念從以下幾個維度進行界定：

數學思維的深刻性集中體現(xiàn)在數學思想方法的運用上。數學思想方法是數學的靈魂。數學思想方法的學習重在體驗和感悟。教材的編排具有一定的邏輯性，這其中也蘊含了數學思想方法，一線教師在教學時要以教材為依托，將思想方法加以滲透，引導學生逐步養(yǎng)成用數學思想方法進行思考的習慣。

三、我們的實踐

小學階段計算教學需要滲透的主要思想方法是數形結合、轉化、類比推理等。教師在計算教學時要深入解讀教材，弄清知識的來龍去脈，根據學生的認知特點選擇合適的思想方法，設計有效的路徑來突破難點。

（一）數形結合思想

不同版本的數學教材編排時都會滲透數形結合的思想，我們要用好教材，使學生經歷充分的動手操作的過程，采用小棒圖、計數器、方塊圖、點子圖、數線等工具，能讓整個計算過程更加清晰，讓算理看得見，讓思維過程說得清。教材中沒有呈現(xiàn)學生學習的難點處，教師應巧妙地搭建框架，引導學生由形思數、由數想形，揭示出問題的特征與本質，達到培養(yǎng)學生深刻性思維的目的。

以“筆算加法（不連續(xù)進位）”為例，本節(jié)課的重點是掌握不連續(xù)進位的三位數加法的算法，理解算理。不連續(xù)進位的三位數加法，包含個位相加進位、十位相加進位、百位相加進位三種情況。本節(jié)課的難點是十位上進位的處理。這就要求學生借助計數器撥珠并在這個過程中體會“滿10進1”，因此，在教材的原有基礎上補充計數器撥珠的教學環(huán)節(jié)是非常有必要的。

教學片段一：

教師出示教材例4情境圖（如圖1），請學生讀題后找出條件和問題，集體交流怎么解決。

（學生回答后）教師板書：142+86= 。

師：這道算式和我們之前學習的算式有什么不同？

生：以前學習的是兩位數的加法，今天學習的是三位數的加法。（揭題）

師：在計算過程中，遇到問題停下來想一想，等下我們一起交流。

學生在課堂本上嘗試計算，接著交流遇到的問題。

生1：百位上寫幾？

生2：十位滿10怎么辦？

（學生匯報計算過程）

師：8和誰對齊？6呢？接下來呢？

生3：2個一加6個一得8個一。

師：然后呢？

生3：4個十加8個十得12個十。

師：放慢過程，來看大屏幕上的計數器（如圖2）。

結合計數器演示，教師提問：十位是幾？十位上這么多個珠子怎么辦？

生4：十位上撥去10個珠，百位上撥1個珠。

師：現(xiàn)在百位是幾？為什么？

生4：1個百加1個百得2個百。

（結合計數器的演示請學生完整講述計算過程）

出示：用豎式計算643+752，并驗算。

學生獨立思考，教師組織交流。

師：你在計算的過程中遇到了什么問題？是怎么解決的？

生5：當百位相加滿十，我不知道該怎么辦。想起“十位滿10，向百位進1”，我覺得應該是百位滿10，向千位進1。

師：你說得很有道理，根據我們學過的知識就能解決新的問題。

師：筆算進位加法時，要注意什么？

生6：相同數位對齊，從個位算起，十位相加滿10向百位進1，百位相加滿10向千位進1，也就是哪一位上滿10，就向前一位進1。

（二）轉化思想

數學知識之間是有關聯(lián)的。教師要厘清教材脈絡，找到新舊知識的連接點，將計算學習的知識脈絡清晰地呈現(xiàn)出來，幫助學生建立知識體系。學生的學習過程就是一個轉化的過程，把未知轉化成已知，把復雜轉化成簡單，從而實現(xiàn)知識的自主構建。在這個過程中，教師要充分利用教材呈現(xiàn)的例題，給學生時間和空間，體會轉化的重要性，明確從“找不同”中進行轉化的方法。

以“除數是小數的除法”為例，本節(jié)課的重點是理解和掌握被除數的小數位數少于除數小數位數時的計算方法，難點是理解并表達一個數除以小數的轉化過程。學生不僅要了解怎樣轉化，也要體會為什么這樣轉化。

教學片段二：

（出示例11，如圖3）

師：從題目中，你們能獲得哪些數學信息？

（學生觀察，交流）

師：怎樣列式？

生1：1.5÷0.75。

師：你是根據什么數量關系列出來的？

生1：根據“總價÷單價=數量”列出算式的。

（第一輪自主探究）

學生獨立嘗試計算。

師：沒有完成的同學遇到了什么問題？

生2：被除數的小數點向右移動時，位數不夠。

師：怎么解決？誰能幫他解決？

生3：在被除數的末尾用0補足。

師：為什么這樣轉化？

生3：除數有兩位小數，要乘100才能轉化成整數，所以被除數也要乘100，變成150。

（第二輪自主探究）

師：再計算，已算出的同學請驗算。

學生獨立列豎式計算，組織匯報。（板書豎式）

師：回顧剛才的計算過程，我們是怎樣計算的？

生4：把被除數和除數的小數點向右移動2位，得到150÷75，再按整數除法算。

師：想提醒什么？

生4：被除數的位數不夠時要用0補足。

自主探究試一試6÷2.4。

師：說說你是怎樣計算的。

（學生交流）

師：被除數怎樣轉化？

生5：把6看作6.0，小數點向右移動一位，得到60。

師：余12時怎么解決？

生5：在余數12的后面添0后繼續(xù)往下除。

師：今天學習的小數除法，與昨天相比，有什么相同點和不同點？

生6：相同點都是除數是小數的除法，不同點是今天學習的除法中被除數的小數位數少于除數的小數位數。

師：結合之前學習的小數除法，再想一想，怎樣計算除數是小數的除法？（同桌交流）

生7：計算除數是小數的除法，是把它們轉化成除數是整數的除法來計算。利用商不變的規(guī)律進行轉化，除數的小數點向右移動幾位，被除數的小數點就向右移動幾位，位數不夠時就用“0”補位。

（三）類比推理思想

類比推理是數學的基本思維方式。計算的過程其實就是邏輯推理的過程。計算教學要在學生自主探究的基礎上，通過數學活動的充分體驗，利用合情推理，演繹從新知到舊知的轉化過程，實現(xiàn)知識的自主構建。

以“三位數乘兩位數的筆算”為例，本節(jié)課的重點是掌握三位數乘兩位數的算法，理解算理;難點是抽象概括出乘法算理的本質，也就是計數單位的累加。這需要學生類比之前學習的三位數乘一位數、兩位數乘兩位數推理得出。因此可將教材原有的例題加以改編，為學生進行類比推理搭建腳手架。

教學片段三：

師：同學們，從圖中（如圖4）你們能獲得哪些數學信息？根據這些信息，你們能回答下面幾個問題嗎？

生：236×6、48×16、128×16。

師：你能用豎式算一算前兩道算式嗎？

（學生獨立完成，組織交流）

師：48×16每一步算的是什么？

生：先算6×48=288，6幢多層樓的住戶數;再算10×48=480，10幢多層樓的住戶數;最后算288+480=768，16幢多層樓的住戶數。

師：48乘十位上的1，得數的末位為什么要寫在十位上？

生：用十位上的1乘48，得到48個十，所以末位和十位對齊。

師：怎樣計算兩位數乘兩位數？

生：分別用第二個乘數個位、十位上的數去乘第一個乘數，再把乘得的積加起來。

師：估算一下，128×16的結果大約是多少呢？

生1：把128看成100，把16看成10，100×10等于1000，得數比1000大。

生2：用100×20=2000，得數在2000左右。

師：128×16具體等于多少呢？請你獨立思考，想辦法算出結果。

（學生獨立嘗試，組織匯報）

師：128×16每一步表示什么意思？

生：用16個位上的6乘128，得到768，是6幢的住戶;再用16十位上的10乘128，得到1280，是10幢的住戶;最后將得數相加就是16幢的住戶。

師：用乘數16十位上的1和128相乘，得數的末位為什么要和十位對齊？

生：因為這里的128表示128個十，所以要和十位對齊。

師：這兩種方法之間有什么聯(lián)系嗎？

生：算式的計算過程就體現(xiàn)在了乘法豎式的結構中。

師：回顧我們計算128×16的過程，你覺得怎樣計算三位數乘兩位數？

生：分別用第二個乘數個位、十位上的數去乘第一個乘數，再把乘得的積加起來。

師：觀察比較這三道豎式（如圖5），它們在計算過程中有什么相同的地方？

生：都是先用第二個乘數個位上的數乘第一個乘數。

師：得到的結果都和哪一位對齊？表示什么？

生：用個位上的數去乘第一個乘數，得到的積的末位和個位對齊，表示幾個一;再用十位上的數去乘，得到的積的末位和十位對齊，表示幾個十;最后把幾個一和幾個十加起來。

師：也就是把計數單位進行累加。

四、我們的經驗

通過實踐，我們總結出數學計算教學中培養(yǎng)學生深刻性思維的三個基本步驟。

課前設計：教師在課前進行教學設計時，理清兩條線，以培養(yǎng)知識技能為明線，以滲透思想方法為暗線，確定本節(jié)課滲透的主要思想方法（數形結合、轉化、類比推理等），尋找新舊知識的不同點，通過前測明確重點和難點，設計教學環(huán)節(jié)，梳理關鍵性問題。

課中實施：采取雙主體策略（教師問題引導、學生自主探究），引導學生尋找新舊知識的不同點，把新知轉化為舊知，選擇合適的思想方法解決問題，然后概括、歸納出計算法則，最后進行總結、反思、提煉。

課后反思：教師總結怎么問到關鍵處、怎么有效地滲透思想方法突破難點、突出重點，培養(yǎng)學生的深刻性思維，總結經驗。對學生進行全面評價，診斷學生思維深刻性的發(fā)展情況。如圖5。

我們提煉出數學計算教學中培養(yǎng)學生深刻性思維的具體策略，通過“三環(huán)節(jié)雙主體策略”，教師回歸教材，充分挖掘教材的知識內涵;回歸課堂，將數學思想方法蘊含其中，給予學生充分的時間和空間進行探究，進而反思總結，把探究習得的方法內化為能力。在這個過程中，要有效地提高學生的自主學習能力和問題思考的深刻性，而自主學習能力也是提高學生學習效率的關鍵因素。在當下“雙減”政策的背景下，學生具備自主學習能力更是教師減負、增效、提質的根本路徑。

【參考文獻】

[1]郭靜，朱紅偉.理法相融 自主建構——“三位數加法的筆算”教學實錄與評析[J].小學數學教育，2019（Z4）.

[2]田志明，張秀花.在嘗試中主動類推 在交流中自主歸納——“兩、三位數加法的筆算（不連續(xù)進位）”教學設計與說明[J].小學數學教育，2019（Z2）.

注：本文系安徽省教育科學研究項目“小學數學計算教學中培養(yǎng)學生深刻性思維的策略研究”。（項目編號：JK20084）