以題促思，提升教師專業研究能力的路徑

戴偉清

[摘? 要] 教師的專業發展源于內驅，在教學過程中，教師經常會在一瞬間產生靈感，如果把這些靈感記錄下來并加以整理，那么必將對教師的專業發展起到推動作用. 在解題過程中，教師有時會經歷一些挫折和失敗，但是在失敗中也會有頗多收獲，所以研究解題能促進教師進行專業思考，是提升教師專業研究能力的有效路徑之一.

[關鍵詞] 解題;反思;提升;專業研究

教師的專業成長源于教師自身的需求，一線教師受多方壓力，對教學研究往往很難邁出步伐. 數學教師在教學過程中，有超過一半的備課時間用于數學解題，因為解題能力是衡量數學教師教學能力的一項重要指標. 在解題的過程中，教師會產生很多的教學想法，有時候一些想法一閃而過，有時候一個問題會糾結幾天，但最終會被遺忘. 如果教師能夠在靈光閃現的時刻，把自己的想法寫下來，或記錄解題方法、過程，或記錄解題感悟，長期堅持，當教師回顧自己的這些過程時，其實就是一個自身專業成長的過程.

數學課程標準中提出：建立數感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發展形象思維和抽象思維. 幾何直觀是圖形在已有條件下反映出的最本質的特性，包括角度、邊的長度、面積大小等方面，人們通過直觀感受，能確定幾何圖形特定的位置. 幾何直觀在數學學習中的重要地位正如著名數學家弗賴登塔爾所說：幾何直觀可以告訴我們什么是重要的、有趣的和容易進入的，當我們陷入問題、觀念、方法的困擾時，幾何直觀可以引領我們從最本質的問題中去尋求解決方法. 在初中數學教學過程中，教師應努力感受幾何直觀帶給自身對幾何圖形的感知，從中發現幾何圖形的內在特征，并借助數學的其他方法解決問題.

問題的提出

在一天中午的自習課上，筆者所在班級的一名學生拿著一道題來問筆者.

原題如下：如圖1所示，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=50°，在△ABC內部有一點D，且∠ABD=40°，∠ACD=20°，求∠BAD的度數.

當筆者看到這道題時，感覺它并不難，甚至應該很簡單，因為這個三角形的形狀和角度都是確定的，且點D在△ABC內部也是一個確定的點，本著定圖定點的思路，這個角度必定可以求出來.

解決方法嘗試

嘗試策略1分析圖形后可以得出∠ABC=∠ACB=50°，∠ABD=40°，∠DBC=10°，∠BCD=30°，∠ACD=20°. 要求∠BAD的度數，可以假設∠BAD=x，根據三角形的內角和可以得到∠ADB=140°-x，∠DAC=80°-x，∠BDC=140°. 那么∠ADC=80°+x. 點D處有一個周角，于是有140°-x+140°+80°+x=360°，然而這是一個恒等式，x無法求出. 難道這個x是不確定的嗎？再次審視圖形，發現BD是一條確定的射線，CD也是一條確定的射線，兩條射線的夾角必定也是一個確定的值，所以這個角度必定是確定的. 那為什么會得到一個恒等式呢？這說明上述策略行不通，只能另外尋找解題途徑.

嘗試策略2如圖2所示，延長BD交AC于點F，延長CD交AB于點E，并把圖中的角度標注為∠1～∠4. 于是我們可以得到方程組∠1+∠2=80°，

∠1+∠3=100°，

∠2+∠4=120°，

∠3+∠4=140°. 看著4個未知數、4個方程，似乎方程組可以求解，但是前3個方程變形后就可以得到最后一個方程，這就意味著這個方程組其實只有3個方程，卻有4個未知數，屬于不定方程，同樣無法求解.

兩次嘗試均以失敗告終，看來筆者小瞧這道題了. 從題目中的關系看，∠BAD似乎和三角形的邊沒有關系，而且兩次嘗試始終是圍繞著角度進行的，都無功而返了，這說明我們始終在原地轉圈，無法找到解決辦法. 試題出現了AB=AC，這說明△ABC是等腰三角形，接下來筆者從構造等邊三角形的思路去嘗試新的解題策略.

嘗試策略3如圖3所示，以AC為一邊構造等邊三角形AEC，連接BE. 因為∠BCD=30°，∠ACD=20°，所以∠BCE=10°. 因為∠ABC=50°，∠ABD=40°，所以∠DBC=10°. 所以BD∥EC. 根據AE=AC=AB，可知B，E，C三點在以點A為圓心的圓上. 所以∠EBC=∠EAC=30°. 因為∠DCB=30°，所以BE∥DC. 所以四邊形BDCE是平行四邊形. 所以BD=EC，AB=AC=EC=BD. 所以∠BAD=70°.

由上面的解題策略，我們可以以BC為一邊作等邊三角形EBC，連接EA，如圖4所示. 根據題中的角度關系，可證明△ABE≌△ACE≌△DBC，所以AB=BD. 所以∠BAD=70°. 我們還可以以AB為一邊作等邊三角形ABE，連接DE，EC，如圖5所示. 因為AB=AE=AC，所以B，E，C三點在以點A為圓心的圓上. 由圓周角定理可知∠BCE=30°. 由△BCD≌△BCE，得BE=BD. 所以AB=BD. 所以∠BAD=70°.

嘗試策略4如圖6所示，作∠BAC的平分線交CD的延長線于點E，連接BE，則∠BAE=∠CAE=40°，△ABE≌△ACE. 所以∠ABE=∠ACE=20°. 所以∠DBE=20°. 因為∠BDE=∠DBC+∠DCB=10°+30°=40°，所以∠BAE=∠BDE. 所以△ABE≌△DBE. 所以AB=BD. 所以∠BAD=70°.

方法反思這一構造角平分線的解法，顯然比之前構造等邊三角形的解法簡單. 那么，這一解法是怎么想出來的呢？我們回到圖形中角和邊的關系. 題目出現了等腰三角形（即AB=AC），那么由這一條件我們可以聯想到什么呢？對于等腰三角形，“三線合一”是非常重要的一種解題思路，于是我們嘗試構造角平分線或者高或者底邊上的中線. 對于此題，構造角平分線后我們得到了一些相等的角，還得到了一些全等的三角形，并順利地解決了問題.

上面提供了此題的幾種解法，從這些解法中我們發現，構造等邊三角形的方法讓我們得到了全等，構造角平分線的方法也讓我們得到了全等，最終都是通過等腰三角形ABD來計算角度. 那么，能否更換這道題的角度呢？我們不妨做這樣的假設：△ABC依然是底角為50°的等腰三角形，如果調整BD，CD與邊BC的夾角，比如∠DBC=15°，∠DCB=25°，如圖7所示. 從幾何直觀的角度我們可以感受到點D的位置是確定的，線段AD也是確定的，那么∠BAD的度數必然也是一個確定的值，那上述我們嘗試的解法是否依然可行呢？實踐后我們發現，構造等邊三角形和角平分線的解法此時不適用了，無法解決問題. 所以構造等邊三角形和角平分線的解法應該是特殊解法. 既然這個圖是一個定圖，所求角度也是一個確定的值，那么一定可解. 那我們還需要哪些解決問題的工具呢？從這個假設中我們可以預感到所求角度不是一個整數角度，所以我們需要用到三角函數.

我們依然從原題的數據中去深入研究，嘗試利用三角函數來進行計算，期望可以得到和之前嘗試策略相符合的數據.

嘗試策略5我們嘗試用正弦定理來表示邊角關系. 由正弦定理可知，在任意一個三角形ABC中，===2R. 對于圖1，在△ABC中，由正弦定理可得=，所以AB===. 在△BDC中，由正弦定理可得=，所以BD==. 所以AB=BD.

通過正弦定理我們發現，經過計算，問題依然轉化到了邊相等這個結論上，只不過運用了三角函數關系來進行轉化. 此解法似乎也不是最一般的解決路徑. 我們希望由三角形中明確的角度，來確定這個定點的位置. 經過一番思考和查詢資料后，筆者找到了解決問題的一般方法. 這里需要用到角元塞瓦定理，這個定理的表述為：

如圖8所示，在任意的△ABC中有一個內點P，則有··=1.

證明如下：在△APB中，由正弦定理得=，同理可得=，=. 三式相乘，得··=1.

對于原題，設∠BAD=α，則∠DAC=80°-α. 由上述定理，可得··=1，化解后可得sin70°·sin（80°-α）=sin10°·sinα，顯然α=70°.

通過這個定理，我們就把確定角度的三角形內點問題的決定因素完全理清了. 不難發現，要解決此類問題，我們只需要知道這個內點分出的兩個角度即可. 下面我們來看一道題（即下面的“問題”）.

問題如圖9所示，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=40°，P為△ABC內一點，且∠PCB=∠PAB=20°，求∠PBC的度數.

解析設∠PBC=α，則∠PBA=40°-α. 容易求得∠PAC=80°，∠ACP=20°，根據角元塞瓦定理，得··=1，化簡后得2sinα·sin10°=sin（40°-α），所以sinα·sin10°=sin（40°-α）=sin30°·sin（40°-α）. 觀察可知α=30°，即∠PBC=30°.

變式如圖10所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=40°，I是△ABC的內心，連接IB，IC，在線段AB上取一點D，使BD=BI，連接DC，求∠DCI的度數.

解析因為∠ABC=∠ACB=40°，所以∠BAC=100°. 因為I是△ABC的內心，所以∠ABI=∠CBI=∠BCI=20°. 因為BI=BD，所以∠BDI=∠BID=80°. 設∠DCI=x，那么∠ACD=20°-x，∠BDC=120°-x，∠IDC=40°-x. 由角元塞瓦定理，得··=1，化簡后得sinx=2sin10°·sin（40°-x），所以sinx=sin10°·sin（40°-x），即sin30°·sinx=sin10°·sin（40°-x）. 所以x=10°.

通過上述解決策略，我們終于弄明白了此類問題中的各種緣由，但在化簡三角函數的過程中應用了二倍角公式，這超出了初中生的理解范疇. 應用角元塞瓦定理解題的過程中不難發現，有時得到的角度不是一個整數角度，因此此類問題看似明確有解，但實際求解時難度較大，且要恰好得到整數角度，題目中的已知條件就必須滿足某些條件. 通過查詢相關資料我們得知，如果三角形的三個內角都是10°的整數倍，三角形內一點同三個頂點的連線所分的角也是10°的整數倍，那么這樣的問題通常稱為“三角形角格點問題”. 角格點的數量是有限的. 當然，如果不是角格點，那就需要用計算器來求這個確定角的三角函數值了，此處不做詳細說明.

教學反思

1. 教學切勿經驗主義和教條主義

數學是一門抽象性、邏輯性較強的學科，教師在教學過程中遇到學生所提的問題，一定要審視問題的本質，切勿經驗主義和教條主義. 筆者剛開始拿到此題的時候確實犯了經驗主義的錯誤，認為圖形確定就一定可解，認為通過角度的計算就可以得到答案，結果走入解題誤區. 在平時的教學過程中，部分教師遇到自己做不出或者解答復雜的問題，有時就直接翻看答案，然后對照答案糾正自己的錯誤，還有部分教師甚至不知道為何會出錯，或者不明白試題的解決思路源于何處，此時一旦有其他的切入點，他們也不能馬上轉變教學思路幫助學生解答. 所以教師必須自己分析試題并解答，且思考試題的本質，只有這樣，才能遇問題不慌，遇困難不退.

2. 教學要有深入研究和探索的精神

我們經常要求學生做題要舉一反三、觸類旁通，其實學生提出的各種不同類型的問題，也能在某種程度上幫助教師進行專業研究，促進教師的專業成長. 譬如角元塞瓦定理，遇到上述試題之前，筆者不知道還有這一定理，但是在對問題進行深入研究的過程中，筆者為了尋找問題的關鍵，查閱了相關資料，知道了這一定理，并最終得到了解決問題的方法. 所以，在教學中，教師需要具備探索精神. 教學遇到困難時，教師不妨回到起點，回歸數學最本質的問題，從基礎出發，尋找思維的生長點，并從中不斷推陳出新的題型，逐漸從注重解題技巧和解題方法轉變為注重數學新思維的考量. 在教學過程中，教師應注重數學思維方式的滲透，要讓學生用數學思維來看待生活問題.

3. 教學要堅持思考，不斷自我革新

教師的專業成長道路非常艱辛，我們常常感覺時間不夠. 題海戰術已不適合目前的考試模式，且我們在教學過程中總會遇到新的問題，所以對于教學，我們需靜心思考，潛心研究，并在教學的道路上不斷自我革新，在不斷探索與研究中促進自身專業能力的發展.

寫在最后

“以小見大”是教學研究的出發點. 在教學過程中，我們會遇到無數的問題，這些問題都是我們的素材，只要我們做一個有心人，記錄自己的教學思路，不斷積累，就一定能讓自己在專業研究的道路上越走越遠，越走越好！