指向思維發展的初中數學復習課教學設計與反思

何永福

[摘? 要] 二次函數是初中數學的重要內容，以 “二次函數”復習課為例，嘗試進行指向思維發展的初中數學復習課教學設計，通過教學實踐證明，激發了學生的學習興趣，滲透了數學思想，發展了學生的思維.

[關鍵詞] 二次函數;復習課;數學思想;思維

二次函數是初中數學最重要的核心知識，其內容比較多，思想方法也比較多. 作為復習課，需要教師打開思路，設計開放性的問題，激發學生的興趣，滲透數學思想，發展學生的思維.

教學過程設計與說明

1. 談話導入，初建知識結構

師：函數的表示方法有幾種形式？分別有何優缺點？

生：函數有三種表示方法，一是解析法，自變量與因變量之間的數量關系很明確;二是列表法，由自變量的值可以很快地找到因變量的值;三是圖像法，能很形象地表示函數的變化趨勢.

生：三種形式可以相互轉化.

師：本章我們學習了二次函數，關于二次函數，我們學習了哪些內容？是如何學習的？

生：我們學習了二次函數的定義，一般形式，二次函數的圖像與性質，二次函數與一元二次方程，二次函數的應用等. 學習二次函數時，先從生活實例抽象二次函數的概念，由二次函數的解析式畫二次函數的圖像，再由二次函數的圖像研究二次函數的性質，最后利用二次函數的性質解決實際問題.

設計說明? 結合函數研究經驗，整體把握全章內容，從函數的三種表現形式入手，讓學生初步回顧本章學習的主要內容，及其相互關系. 通過回顧本章的學習思路，讓學生體會數形結合思想、轉化思想等.

2. 數形結合，構建知識結構

問題1：圖1是拋物線y=ax2+bx+c的一部分，圖像過點A（-5，0），對稱軸為x=-2.

師：你能從圖1中獲得什么信息？

生：拋物線的開口向下，所以a<0. 因為拋物線與y軸交于正半軸，所以c>0. 因為拋物線的對稱軸與x軸交于負半軸，所以-<0，又a<0，所以b<0.

師：實際上，題中還有已知條件，即圖像過點A（-5，0），對稱軸為x=-2，那么由這些條件，你又能獲得哪些信息呢？

生：由對稱軸為x=-2，可得 -=-2，所以b=4a. 因為A（-5，0）是拋物線與x軸的交點，又拋物線的對稱軸是x=-2，所以拋物線與x軸的另一個交點坐標是（1，0）.在對稱軸的左側，即當x<-2時，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側，即當x>-2時，y隨x的增大而減小.

師：由拋物線與x軸交于（-5，0），（1，0）兩點，我們還能得到什么結論？

生：可得一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x=-5，x=1. 由圖像知，當-50，所以當-50;同理，當x<-5或x>1時，ax2+bx+c<0.

師：很好！這位同學以聯系的眼光看待函數圖像，由函數圖像與x軸的交點坐標想到方程的解，由函數圖像在坐標系的位置，想到一元二次不等式的解集. 實際上我們還可將上述信息進一步綜合，得到更多的其他結論.

生：因為拋物線與x軸有兩個交點，所以b2-4ac>0. 因為a<0，b<0，c>0，所以abc>0. 由函數圖像還可以看出，當x=-2時，y>0，即4a-2b+c>0，當x=1時，y=0，即a+b+c=0，當x=2時，y<0，即4a+2b+c<0.

師：根據已知條件能確定二次函數解析式嗎？

生：不能確定，如果設二次函數解析式為一般式，則題中只有兩個點，少一個點的坐標;如果設二次函數解析式為頂點式，沒有頂點的縱坐標;如果設二次函數的解析式為兩點式，則少一個曲線上的坐標.

師：請同學們任意添加一個條件，然后用較簡單的方法求函數表達式.

設計說明? 這是一道全開放試題，面向全體學生，培養了學生的發散性思維[1]. 對于這個問題的探究，教師應注意以下三點：（1）探究二次函數性質時，不能要求學生一次性把所有的性質都找全，要讓不同的學生都有收獲;（2）確定函數解析式，給學生一定的自主空間;（3）在探究過程中，先理清研究什么，再構建本章的知識結構圖，體會數形結合的數學思想，奠定思維發展的基礎.

3. 數形結合，突出數形關聯

問題2：（1）一個二次函數圖像可能經過哪些象限？（2）二次函數y=2x2+x+m+5的圖像經過哪些象限呢？（3）函數y=（k-2）x2-3x+k-3的圖像經過四個象限，求m的取值范圍.

生：對于第（1）小題，二次函數的圖像至少經過兩個象限，最多經過四個象限，不可能只經過一個象限.

生：第（2）小題需要討論，因為a=2>0，所以拋物線開口向上，因為對稱軸x= -<0，所以拋物線一定經過第一、二象限. 當12-8（m+5）>0且m+5≥0時，拋物線經過第一、二、三象限;當12-8（m+5）≤0時，拋物線經過第一、二象限;當12-8（m+5）>0且m+5<0時，拋物線經過第一、二、三、四象限.

生：第（3）小題需要分情況討論. 當k-2>0，即k>2時，拋物線開口向上，因為對稱軸x=>0，拋物線對稱軸經過x軸正半軸，要使拋物線經過四個象限，必須使常數項k-3<0，即k<3，所以20，即k>3，因為k<2，不等式組無解，所以此時拋物線不可能經過四個象限.

設計說明? 此題的三個小題層層遞進，相互關聯，滲透了分類思想、數形結合思想，培養了學生用數探究形的意識，讓學生體會問題中的變與不變. 變化的量需要進行討論，第一小題從兩個象限、三個象限、四個象限進行分類討論;第二小題從常數項大于0、小于0兩個方面進行討論;第三小題從拋物線開口向下與開口向上兩個方面進行討論，凸顯了以形助數，以數解形的思想，使學生的思維不斷向深處漫溯.

4. 數形結合，應用鞏固

在二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）中，y與x的部分對應值如下表：

[x … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 -2 … ]

師：我們已經從數與形兩個角度研究過二次函數了，此題以表格的形式呈現一個二次函數，從中你們能得到什么結論？

問題3：有多少種形式可以獲得二次函數解析式？請用不同的方法確定二次函數解析式.

問題4：求出函數的對稱軸及頂點坐標，并說說函數的增減性.

設計說明? 表格也是表達函數的形式之一，它可以獲得自變量與因變量的對應值. 上面的問題要求學生確定函數表達式，并利用拋物線的對稱性解決問題，學生從中可以體會到將表格轉化為表達式或函數圖像的必要性，再次體驗思想方法，這能促進學生的思維進一步發展.

教學反思

1. 立足研究，奠定基礎

復習課上，必須讓學生整體把握全章內容，明確研究什么？教學中，筆者圍繞二次函數的三種形式設計問題，凸顯了研究的內容是二次函數表達式、表格特征與圖像性質，以及三種形式之間相互轉化. 其中的四個環節環環相扣，通過對問題的解決明確了二次函數的表達形式、表格特征、函數圖像的性質以及三者之間的轉化. 如由拋物線的對稱軸得到拋物線的對稱性、增減性及最值;由函數與x軸的交點坐標獲得二次函數與一元二次方程、一元二次不等式之間的關系等，為學生的思維發展奠定了基礎.

2. 建構知識，理清脈絡

建構知識體系有利于發現知識點之間的聯系，從而形成整體的知識網絡，有利于學生對記憶、遷移與應用. 教學中，筆者首先通過談話導入的形式，讓學生初步建立了知識結構，然后通過開放性問題的解決，幫助學生形成了簡明的知識體系，整個解決問題的過程，并非筆者的直接告知，而是學生的自主探究與建構，凸顯了知識的關聯性，促進了學生的思維的發展，提高了課堂教學的實效.

3. 設計問題，拓寬思維

開放性問題，可以從條件、結論或解法三個方面去開放. 開放性問題有利于面向全體學生，讓不同的學生都有發展，有利于拓寬學生的思維維度，有利于高效課堂的構建[2]. 以開放性問題為載體的復習課堂，全體學生共同參與，學生的思維是多向的，在互動中經歷了再認識的過程，鞏固了所學，提升了智慧.

4. 思想立意，提升思維

數學思想屬于隱性思維，也是數學的核心理論，有利于學生高屋建瓴解決數學問題. 教學中，問題的設計以數學思想立意，以提升學生思維為目的，通過對問題的解決，向學生不斷滲透轉化思想、數形結合思想等，促進了學生思維的進一步發展.

參考文獻：

[1]徐強.開放設計，漸次展開，發展學生的多元思維——以直角三角形復習為例[J]. 數學教學通訊，2021（14）：12-14.

[2]何平. 精心架構課堂教學? 促進學生思維發展——記一節“一次函數的應用”中考復習課的教學實踐與思考[J]. 中學數學，2018（12）：41-44.