例談“特殊與一般”思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中的應(yīng)用*

李碩　何意玲　王海濤

【摘 要】數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)生成的主要表現(xiàn)。“特殊與一般”思想包含特殊化與一般化兩個(gè)方面，在數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)重要地位，也是數(shù)學(xué)解題常用的方法與手段。文章結(jié)合兩個(gè)數(shù)學(xué)例題，探究在數(shù)學(xué)解題中如何借助“特殊與一般”思想加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，使學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)得以提升。

【關(guān)鍵詞】“特殊與一般”;數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)解題

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2022）24-0087-03

新頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確提出以數(shù)學(xué)的“三會(huì)”（即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界）作為義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程教學(xué)目標(biāo)，延續(xù)了我國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的“四基”元素，使得學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有整體性、一般性和階段性的特點(diǎn)[1]。對(duì)此，初中數(shù)學(xué)教師要將學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)作為出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，而具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)。所以，教師在課堂教學(xué)過(guò)程中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法既可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑。

1? ?目前數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中存在的問(wèn)題

首先，許多教師在數(shù)學(xué)課程教學(xué)中一直注重?cái)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的傳授，很少以數(shù)學(xué)思想方法為教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)，教師在教學(xué)過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的滲透不到位，其原因就是教師對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)不夠重視。隨著課程標(biāo)準(zhǔn)的變化和教學(xué)理念的變革，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要性逐漸突顯，在當(dāng)下追求深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要性更是不言而喻。

其次，教師對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解水平和掌握程度不高，制約著其在教學(xué)過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的滲透。同時(shí)，與數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理和公理等數(shù)學(xué)內(nèi)容相比，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)需要學(xué)生具備較高水平的理解能力，這就需要學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能有深刻的把握和理解，但學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握程度往往不盡如人意。

最后，目前，如何在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法已有諸多研究，但數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)指向還需明確。

2? ?“特殊與一般”思想的相關(guān)概述

數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)能力的重要組成部分，邏輯思維又是數(shù)學(xué)思維的核心，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，最終指向的是學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，而邏輯推理素養(yǎng)的核心就是“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想。對(duì)此，教師應(yīng)在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的思想方法，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵和外延都很豐富，其中“特殊與一般”思想是由數(shù)學(xué)推理的思想派生而來(lái)的[2]。

無(wú)論是數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，還是數(shù)學(xué)命題的教學(xué)，在教學(xué)過(guò)程中都需要教師從學(xué)生已有的現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)化的過(guò)程，抽象出數(shù)學(xué)概念，理清數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，也需要學(xué)生利用“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想，對(duì)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行抽象概括，得出一般化的結(jié)論后，再對(duì)其進(jìn)行推理驗(yàn)證。此外，在某些特殊情況下，也需借助一般結(jié)論對(duì)特殊情況進(jìn)行驗(yàn)證，所以“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想在學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中也有著重要的作用。

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，“特殊與一般”思想占據(jù)著重要地位，主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是“從特殊到一般”，即將數(shù)學(xué)問(wèn)題所表征的一般化結(jié)論轉(zhuǎn)化為在特殊情形下的數(shù)學(xué)問(wèn)題表征，以此解決問(wèn)題，從而推廣到數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般化結(jié)論;二是“從一般到特殊”，即從數(shù)學(xué)問(wèn)題所表征的一般化情形入手，從而推廣到數(shù)學(xué)問(wèn)題的特殊情形，以此解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。在數(shù)學(xué)解題中，無(wú)論在命題的證明還是試題的解答中，“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想都可以在數(shù)學(xué)解題中抽象出一般化的結(jié)論，而“從一般到特殊”的數(shù)學(xué)思想則可以檢驗(yàn)一般化結(jié)論的正確性。故此，“特殊與一般”思想的兩個(gè)方面不僅可以幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，其嚴(yán)密的邏輯也可以幫助學(xué)生形成邏輯推理素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中發(fā)揮著不可或缺的作用[3]。

無(wú)論是學(xué)生的學(xué)習(xí)還是教師的數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，“特殊與一般”思想的應(yīng)用無(wú)處不在，所以需要引起師生雙方的重視。下面筆者通過(guò)兩道數(shù)學(xué)題，以“特殊與一般”思想作為解題思路，探討這一思想在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的應(yīng)用。

3? ?“特殊與一般”思想在數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中的應(yīng)用

3.1? 從特殊到一般

數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問(wèn)題從代數(shù)角度出發(fā)進(jìn)行解決，通常要對(duì)題設(shè)條件進(jìn)行充分的分析，利用公式或者待定系數(shù)法求解。以下例題給出了數(shù)列的前兩項(xiàng)以及an和前后兩項(xiàng)的關(guān)系，可以通過(guò)“猜想—驗(yàn)證”的解題思路解決這一問(wèn)題。

例1：設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=3，且2nan=（n-1）an-1+（n+1）an+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

分析：針對(duì)求解數(shù)列通項(xiàng)公式這類問(wèn)題，從題設(shè)條件出發(fā)進(jìn)行代數(shù)式運(yùn)算從而得出結(jié)論比較困難。因此，在解題過(guò)程中可以用特殊值代入求解，通過(guò)在特殊情形下的問(wèn)題結(jié)論，推測(cè)數(shù)列一般式的基本規(guī)律，再通過(guò)證明得到答案。

第一步，先分別令n=2，3，4?？梢园l(fā)現(xiàn)：當(dāng)n=2時(shí)，4a2=a1+3a3，解得a3=;同理當(dāng)n=3時(shí)，可以得到a4=4;當(dāng)n=4時(shí)，a5=。

通過(guò)對(duì)三個(gè)特殊結(jié)果的構(gòu)造，可以發(fā)現(xiàn)，，，由此猜測(cè)。這是由特殊結(jié)果所產(chǎn)生的猜想，而猜想的正確性還需要對(duì)一般化結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。

此道例題的求解過(guò)程，從特殊情形入手得到問(wèn)題的特殊結(jié)論，體現(xiàn)了“從特殊到一般”的思想，并將問(wèn)題的特殊結(jié)論作為問(wèn)題一般化結(jié)論的猜想，在此基礎(chǔ)上去驗(yàn)證問(wèn)題的一般化結(jié)論。從例1的解題過(guò)程中可以得到應(yīng)用“從特殊到一般”思想求解的啟示：可以先考慮特殊情形下問(wèn)題的特殊結(jié)論，如取特殊值、特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊函數(shù)等，在問(wèn)題的特殊情形中進(jìn)行問(wèn)題結(jié)論的歸納總結(jié)，再對(duì)歸納總結(jié)的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證[4]。

3.2? 從一般到特殊

基本不等式的應(yīng)用非常廣泛，是在學(xué)習(xí)完不等式性質(zhì)之后學(xué)習(xí)的一類特殊不等式。以下例題從題設(shè)條件中兩數(shù)的關(guān)系入手，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本不等式問(wèn)題的求解，體現(xiàn)了“從一般到特殊”的思想。

例2：求證1999！<10001999。

分析：此題是比較兩數(shù)的大小，問(wèn)題結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單。不等式左右兩端所得的結(jié)果較大，直接求解再比較大小顯然不是正確的解題思路。解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于找到題設(shè)條件中兩數(shù)之間的關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)，如果將兩數(shù)表達(dá)成為同一個(gè)數(shù)值，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。首先令1999=n，則原來(lái)的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一般化的結(jié)論。

在例2的求解過(guò)程中，將問(wèn)題的特殊情形轉(zhuǎn)化為一般情形，得出一般情形下的數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)論，再對(duì)問(wèn)題的特殊結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證，體現(xiàn)了“從一般到特殊”的思想。從解題過(guò)程中可以得到應(yīng)用“從一般到特殊”的思想求解的啟示：首先將問(wèn)題的特殊情形轉(zhuǎn)化為一般情形，探討問(wèn)題的一般性結(jié)論，再通過(guò)一般性結(jié)論驗(yàn)證問(wèn)題的特殊結(jié)論[5]。

“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想是指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題的重要思想方法。本文通過(guò)兩道例題，展現(xiàn)“特殊與一般”數(shù)學(xué)思想的兩個(gè)方面的內(nèi)涵及應(yīng)用，其中，“從特殊到一般”強(qiáng)調(diào)從猜想出發(fā)去獲得問(wèn)題結(jié)論，這也是大多數(shù)自然科學(xué)理論的發(fā)生過(guò)程;“從一般到特殊”強(qiáng)調(diào)將問(wèn)題從特殊推向一般去獲得結(jié)論，再去驗(yàn)證特殊性。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要以數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容為依托，引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)背后蘊(yùn)含的“特殊與一般”思想，這樣可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的本質(zhì)，體會(huì)“特殊與一般”思想的奧妙，進(jìn)而更有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。因此，無(wú)論是數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)還是習(xí)題的講解，教師都應(yīng)當(dāng)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，使學(xué)生將“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想有效內(nèi)化，進(jìn)而在學(xué)習(xí)新知、解決問(wèn)題時(shí)靈活運(yùn)用。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]顧沛.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中的“雙基”如何發(fā)展為“四基”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012（1）.

[3]陳朝東，盧英，蒲秀琴.數(shù)學(xué)解題中“特殊與一般”關(guān)系的體現(xiàn)[J].教苑新秀，2012（8）.

[4]鮑聰曉.巧用“特殊與一般”引領(lǐng)思維突破[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（26）.

[5]林振德.巧用“特殊與一般思想”進(jìn)行初三數(shù)學(xué)客觀題解法教學(xué)[J].數(shù)理化解題研究，2020（2）.

【作者簡(jiǎn)介】

李碩（1975～），男，回族，甘肅天水人，博士，教授。研究方向：數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論、運(yùn)籌學(xué)及算法、數(shù)學(xué)模型等。

何意玲（1997～），女，漢族，浙江寧波人，碩士。研究方向：數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)。

Exploration into "Special and General" Thought in Junior Middle School Mathematics Teaching and Problem Solving*

Shuo Li， Yiling He， Haitao Wang

（School of Mathematics and Data Science， Changji University， Changji， Xinjiang， 831100）

Abstract：The application of mathematical thinking methods is the main manifestation of the generation of students' core literacy in mathematics. The thought of "special and general" includes two aspects： specialization and generalization which plays an important role in the mathematics teaching and is also a common method and means of solving mathematical problems. Combined with two mathematical examples， this paper explores how to deepen students' understanding of the mathematical knowledge with the help of the thought of "special and general" in mathematical problem solving， so that students' core literacy of logical reasoning can be improved.

Key words：junior high school mathematics; thought of "special and general"; mathematical problem solving

【通訊作者】

王海濤（1996～），男，漢族，甘肅天水人，碩士，助教。研究方向：數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論。

*基金項(xiàng)目：本文系新疆維吾爾自治區(qū)一流本科專業(yè)—昌吉學(xué)院“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)”（新教函[2020]61號(hào)）階段性成果;新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第六師教學(xué)研究和師資培訓(xùn)中心課題“初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)‘引·探·導(dǎo)·測(cè)教學(xué)模式研究”（項(xiàng)目編號(hào)：LSKTJX2019056）階段性成果;新疆維吾爾自治區(qū)普通高等學(xué)校人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地（培育）“昌吉學(xué)院新疆基礎(chǔ)教育質(zhì)量提升研究中心項(xiàng)目”階段性成果。