數學核心素養在初中階段的主要表現之一： 抽象能力

摘? 要：抽象是數學的基本特征，也是數學的基本思想. 新頒發的《義務教育數學課程標準（2022年版）》把“抽象能力”作為數學核心素養在初中階段的主要表現之一，并以小學階段的數感、量感和符號意識為基礎，以高中階段的數學抽象為后繼，明確了小學、初中、高中三個階段的不同要求. 由于抽象能力是一種內隱的心理特征，要落實在課堂教學與評價中，就需要結合具體的數學內容和活動，細化為一些可操作、可觀察、可測量的行為指標，并針對這些行為指標提煉與積累相應的教學策略.

關鍵詞：核心素養;抽象能力;表現行為;教學建議

抽象是數學的基本思想，也是用數學眼光觀察現實世界的基本方式. 由于數學是研究空間形式與數量關系的學科，因此，數學中要抽象的是事物在數量關系和空間形式上的研究對象、關系與結構，而不管其他方面（如物理）的屬性. 數學抽象是一種逐級的、理想化的、形式化的抽象.

初中階段的抽象能力，一方面，是小學階段數感、量感與符號意識的進一步發展;另一方面，為高中階段更為嚴謹、形式化的數學抽象打下基礎.《義務教育數學課程標準（2022年版）》對初中階段抽象能力的內涵與要求表述如下：

“抽象能力主要是指通過對現實世界中數量關系與空間形式的抽象，得到數學的研究對象，形成數學概念、性質、法則和方法的能力. 能夠從實際情境或跨學科的問題中抽象出核心變量、變量的規律及變量之間的關系，并能夠用數學符號予以表達;能夠從具體的問題解決中概括出一般結論，形成數學的方法與策略. 感悟數學抽象對于數學產生與發展的作用，感悟用數學的眼光觀察現實世界的意義，形成數學想象力，提高學習數學的興趣.”

下面，我們根據初中階段的數學課程內容，給出抽象能力的具體表現與教學要求.

一、初中階段抽象能力的主要表現形式

初中階段的抽象能力主要表現在數學概念、關系與方法的抽象上，具體包括以下幾個方面.

1. 進一步發展數感，能根據實際情境或數學問題情境抽象出有理數與實數的概念

數系的擴張過程是一種典型的數學抽象過程. 初中階段學生將經歷兩次數系的擴張：一是引入負數，將正有理數集擴張到有理數集;二是引入無理數，將有理數集擴張到實數集. 通過這兩次擴張，使學生能夠達到以下目標.

（1）理解負數的意義與必要性. 體驗從“具有相反意義的量”抽象出負數概念的過程，理解正數與負數的關系，以及數0的意義. 例如，在溫度計中，0℃是一個分界點，3℃與-3℃關于0℃對稱;在“收入與支出”模型中，收到100元可以記為100元，支出100元記為-100元，100 + （-100） = 0表示收支平衡.

（2）理解互為相反數的兩個數的特征與意義. 如果a，b互為相反數，那么[a+b=0]，反之亦然. 這反映了正數與負數的對稱性：① 每一個正數都對應唯一的負數;② 加法與減法互為逆運算，即減去一個數可以看作加上這個數的相反數. 這種對稱化的思想是數學抽象的一種常見方式.

（3）理解無理數的存在性及其在數學中的意義. 通過將兩個單位正方形剪拼成一個正方形的過程，體驗一條不可公度的線段的存在性和引入新數的必要性;通過[2，π]這類具體的無理數感知無理數的無限不循環特征;知道無理數與有理數的區別與聯系，通過“一個無理數加減一個有理數的結果還是無理數”這樣的結論感知無理數的無限性;通過計算無理數的近似值初步感知極限的思想.

（4）理解運算律的意義，能夠將小學中的運算律推廣到有理數與實數，并用符號表示. 知道有理數集和實數集對于四則運算都是封閉的.

（5）理解數軸的作用與意義，初步感悟數形結合的思想. 數軸是數的直觀模型，實數可以與數軸上的點建立一一對應關系，可以利用數軸直觀理解數的幾何意義及各種數量規律. 例如，可以用數軸來定義絕對值的概念，把一個數的絕對值看作這個數所對應的點到原點的距離;可以用數軸來比較兩個數的大小，可以用數軸理解互為相反數的數的對稱性，等等. 還可以利用數軸直觀理解有理數的稠密性和實數的連續性.

2. 進一步發展量感，理解度量在幾何研究中的作用與意義，培養初步的幾何直覺

在初中階段，圖形與幾何的學習將從小學階段的測量、實驗、歸納方式逐步轉變為以尺規作圖、類比和演繹為主的方式，研究的核心為圖形的性質與變換. 量感的表現形式也將從基于操作經驗的感悟逐步轉變為基于概念和推理的直覺. 具體表現為如下幾個方面.

（1）通過尺規作圖、折紙及剪拼活動能夠直觀理解圖形形狀與大小是剛體運動不變量. 剛體運動下的不變性是歐式幾何的本質特征，也是尺規作圖及幾何度量守恒性的基礎. 例如，給定三條線段，在滿足兩邊之和大于第三邊的條件下，通過尺規作圖可以作出唯一的三角形;通過實際操作，形成三角形形狀與大小由三邊唯一確定的直觀認識，為三角形全等的證明提供直覺基礎;通過在同一個圓上用尺規作圖作兩個相等的圓心角的過程，直觀認識到圓心角的大小與所對弧和弦的長度的關聯性.

（2）能夠依據圖形的形狀與大小對相關的結論做出預判與猜想，為幾何推理提供思路. 利用尺規作圖作出的幾何圖形可以“真實”地反映圖形中的位置關系和形狀大小，由此形成的幾何直覺在幾何探究和推理中具有良好的啟發作用. 在許多幾何問題的解決中，一般可以依據圖形的位置與度量特征，“看出”結論或推理過程，然后再根據題設給出推理與論證的過程.

（3）能夠在幾何推理的基礎上對實際情境中的度量做出準確的判斷，彌補視覺的“失真”和日常經驗的不足. 例如，兩條筆直的鐵軌“看上去”似乎在遠處交于一點，但我們知道這是不可能的，因為兩條平行線之間的距離永遠相等;水平放置的線段與垂直位置的線段“看上去”似乎不相等，利用幾何推理我們可以確定那常常是一種“錯覺”;利用相似圖形的性質我們可以知道，如果窗子的相鄰兩邊加長一倍，那么新窗子的面積就會變成原來的四倍.A97FE098-F6EA-4ADF-8650-5E80F7CEC54B

（4）利用度量的直觀模型，初步感知無限的過程. 例如，通過圓內接正多邊形和外切正多邊形邊數的不斷增加，可以直覺地認識到它們的面積越來越接近圓的面積，圓的面積大小“始終”介于兩個正多邊形面積之間;通過將一個單位正方形不斷“對分”，如圖1，可以直觀地認識到和式[12+14+18+116+…]越來越接近單位正方形的面積1，但永遠比1少一點.

3. 進一步發展符號意識，理解代數是算術的一般化，能用代數方法解決問題

小學階段的符號意識大體上處于代數符號思維的啟蒙階段. 從初中開始，學生將更多地與形式符號打交道，符號意識也將逐步發展為數學抽象能力及基于符號的運算與推理能力. 其主要表現在以下幾個方面.

（1）理解字母符號的各種意義與使用規則. 從字母代數開始，學生將經歷字母表示一般意義的數，方程與不等式中的系數與未知數，以及變量與函數幾個層次. 能夠利用字母系數表示一般的方程與不等式，并給出一類方程的一般解;能夠在一個變換過程中發現相關的變量，并用變量與函數的方法解決問題.

（2）能夠對符號進行運算與變換. 其中包括公式的變形，代數式的化簡、賦值與簡單的恒等變形，簡單分式與根式的運算，方程與不等式的同解變形，因式分解，待定系數法、換元法，等等. 知道各種代數運算的本質仍然是數的運算，滿足各種運算律.

（3）能夠發現或構建數學符號的幾何意義，運用數形結合的方法解決問題. 例如，在坐標平面上建立有序數對與點之間的一一對應關系，能夠利用坐標確定平面上點的位置，表示平面上點的運動規律，以及兩個坐標之間的關系;能夠利用面積模型推導完全平方公式與平方差公式;知道可以用二次函數[y=ax2+bx+c][a≠0]表示一條拋物線，而且拋物線的形狀（開口方向）完全由二次項的系數確定.

（4）能夠利用符號表示一般規律，構造猜想、假設，對所提出的數學命題做出判斷，用符號簡潔地表達推理過程. 例如，通過一元二次方程的等價變形發現根與系數的關系（韋達定理），并運用這種關系解決簡單的問題.

4. 能夠在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗

數學中的概念、命題、方法與體系都是數學抽象的結果. 在初中階段，可以通過這些抽象活動，使學生達到以下目標.

（1）理解數學研究對象的抽象性. 數學的研究對象都是抽象的結果，在現實生活中并不存在. 例如，平面幾何中的“點”“線”“面”，現實生活中不存在“沒有大小”的點，也不存在無限延伸的直線;任何測量的結果都只能是有限小數，不可能獲得無限不循環小數;等等.“數學的對象是現實世界中的一些形式和關系，這些形式和關系客觀地具有與內容無關的性質，以至于能夠把它們完全從內容中抽象出來，并且能夠在一般的形態中定義出來，達到明確性與精確性，保持豐富的聯系，以至于成為理論的邏輯發展的根據.”

（2）理解概念引入的必要性、概念的定義過程，以及概念的多元表征，能夠運用概念的定義解決問題. 例如，冪的定義，最初是基于簡化符號表達的需要，將n個字母a的乘積[a · a · a · … · a]記為[an]，就像把n個字母a的連加記為na一樣;在定義了冪的運算規律后，發現這種記號可以極大地簡化代數式的運算過程與結果;于是，又把指數的范圍從自然數拓展到整數、有理數、實數（高中階段）、復數（高等數學），進而產生了冪函數、指數函數和對數函數，冪的意義隨著一次又一次的拓展與抽象而產生更多的意義. 又如，平行四邊形的概念，可以采用多種定義方式，通過對不同定義的比較，理解定義是對概念的本質屬性的反映，以及一個好的定義應該滿足的要求，感悟數學抽象的過程與意義.

（3）理解數學命題的結構與意義，能夠在具體的問題情境中，對數量關系與空間形式的規律進行抽象，形成命題. 知道數學命題一般由條件與結論組成，如果由條件經過邏輯推理可以得出結論，那就是一個真命題. 對命題的抽象是發現與提出數學問題的表現之一.

（4）能夠在具體的問題解決中，抽象概括出數學的思想方法. 數學思想方法的抽象屬于數學抽象的較高層次. 一方面，數學思想方法的形成過程是抽象的結果;另一方面，數學思想方法的表現形式也是抽象的，需要借助具體的問題解決過程才得以呈現. 此外，不同的數學思想方法往往具有不同的抽象水平，像解一元一次方程、一元二次方程的方法可以通過確定的算法程序實現，相對比較具體，而平面幾何中的綜合方法就缺乏常規的思路，有一定的靈活性. 因此，這方面的要求應該量力而為，逐步提高.

（5）能夠建立所學數學知識的橫向與縱向聯系，不斷完善認知結構. 數學具有高度的統一性，不同領域的數學知識及思想方法通常具有廣泛的聯系. 例如，可以用函數的觀點處理方程、不等式的問題;用對稱的方法研究函數的圖象與性質;用平面直角坐標表示圖形的運動規律;等等. 因此，要求學生能夠利用單元小結、問題串、概念圖、思維導圖等方式對所學數學知識體系進行提煉與重組，不斷優化和完善自己的數學認知結構.

數學抽象的目的是揭示事物的本質屬性，洞察現象背后的結構與規律. 因此，初中階段抽象能力的培養不僅是數學學習的需要，還有助于學生養成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，把握事物的本質，發展理性精神.

二、從算術思維過渡到代數思維是培養數學抽象能力的關鍵環節

從小學進入初中后，學生首先要面臨的是代數課程的系統學習. 從算術到代數，不只是從具體的數字過渡到字母代數，也不只是增加了未知數、方程、不等式、變量、函數等抽象概念與符號，更重要的是要從算術思維過渡到代數思維.

那么，什么是代數思維呢？我們先來看一個典型的案例.

雞兔同籠：今有雞、兔若干，它們共有50個頭和140只腳，問雞、兔各有多少？

算術解法1：假設這50只都是雞，就該有100只腳，但題目有140只腳，說明其中還有兔. 所以用140減去l00所得的差40，正好是兔的頭數的2倍，于是結論是30只雞，20只兔.A97FE098-F6EA-4ADF-8650-5E80F7CEC54B

算術解法2（波利亞）：假設出現下面的奇觀，所有的雞都抬起一只腳，所有的兔都只用后腳站起來，這時站立的腳的總數是題目所給的腳的總數的一半，即為70，它恰好是雞的頭數與2倍的兔的頭數之和，所以用70減去50所得的差20就是兔的頭數. 于是結論是30只雞，20只兔.

代數解法：設雞為x只，兔為y只，于是有方程組[x+y=50，2x+4y=140.] 解得[x=30，y=20，] 即30只雞，20只兔.

比較上述兩類解法可以看到，算術解法并不是所有人都能夠想到的，需要較高的智力水平（甚至是奇思妙想），而代數方法實際上只需要實施一定的程序，只要掌握這種程序，便可以解決問題;算術方法是一題一法，這里所用的方法一般不能用于別的問題，而代數方法是一種通法，可以形式化地解決一類問題;算術方法主要是通過運算，從一個量得出另一個量，而代數方法側重于各種量之間的（相等）關系;算術方法是含情境的，其中的“數”有不同的含義，如“雞的腳數”“兔的腳數”“兔的頭數”，而代數方法是“去情境”的，其中的具體“量”已經變成了一種抽象的符號，處于同等的地位;算術方法中的未知量是“捉摸不定”的，直到解出問題時才露出“廬山真面目”，而代數方法中的未知數是設定的、具體的，可以參與各種運算.

可見，算術思維和代數思維在解決實際問題時有本質的差異.

首先，在算術思維中，側重于利用數量的計算求出答案的過程，這個過程是程序性的、計算性的;而代數思維倚重的是關系的符號化及其運算，這個運算是結構性的和一般性的.

其次，算術思維解決實際問題的過程是含情境的，具有特殊性的，甚至是建立在直觀上的;而代數思維解決實際問題的過程是去情境的、形式化的，并且在某種程度上是不能依賴直觀的.

最后，在算術思維中，表達式的作用是一種思考的記錄，是直接聯結題目與答案的橋梁;而在代數思維中，表達式的作用不再只是直接聯結問題與答案的過程記錄，還充當著聯結各種量的媒介的角色.

此外，算術思維解決問題時采用的是一種目標指引的直接的思路;而代數思維采用的則是“迂回戰術”，其過程被分成三個階段：第一階段是通過去情境、引入符號將實際問題轉化為代數問題;第二階段是利用合適的代數模型解決相應的代數問題;第三階段再把結果還原到實際情境中去. 在上面的這三個階段中，作為核心部分的第二個階段是一種與原問題、情境無關的形式（符號）運算，運用的是具有結構性與抽象性的運算法則. 正因為這一階段是脫離情境的，因此才可以發展成為一般化的途徑.

國際數學教育界知名學者基蘭認為，從算術思維向代數思維的過渡需要滿足以下五個條件：（1）聚焦關系，而不僅僅是數值運算;（2）聚焦運算和逆運算，以及設而不求的思想;（3）聚焦對問題的表征及解決過程，而不只是答案;（4）聚焦字母符號，而不只是數字;（5）重新認識等號的意義. 因此，“符號意識”是學生從算術思維過渡到代數思維的必要條件.

因此，要幫助學生從算術思維過渡到代數思維，需要在教學中關注以下幾個方面.

一是符號表征，即用符號或者由符號組成的代數式、方程、不等式、函數去表示數學（或其他學科或現實生活）中的對象或結構. 其中包括：（1）能夠將用自然語言表示的條件或命題寫成符號形式，如將“三個連續的自然數”表示為“n，n + 1，n + 2”或“n - 1，n，n + 1”，或根據題意寫出已知、求證等;（2）根據題設的相等關系、不等關系和函數關系分別列出方程、不等式和函數解析式;（3）能夠用自然語言去解釋符號操作的過程與結果.

二是符號變換，即各種表征之間的等價的或不等價的轉化. 其中包括：（1）代數式的賦值、化簡和恒等變形的技能;（2）解方程和不等式的技能;（3）換元法.

三是意義建構，即解釋或發現形式符號或表達式背后的數學結構或實際模型及各種符號操作的意義與作用. 例如，知道任意一個數的絕對值[x]都是非負數，可以表示“數軸上的點到原點的距離”;知道一次函數的圖象是一條直線.

由此可見，小學階段培養的符號意識是初中階段形成抽象能力的基礎之一，而數學抽象能力則是符號意識的進一步發展.

三、關注數學概念的發生和發展過程，多角度理解概念

概念是邏輯思維的基本形式之一，也是數學抽象的目標及進一步抽象的基礎.

從數學本身的發展來看，數學概念的來源一般認為有兩個方面：一是直接從客觀事物的數量關系和空間形式反映而得;二是在抽象的數學理論基礎上經過多級抽象所獲. 所以數學概念的形成是一個從具體到抽象的過程. 數學概念的學習有助于發展學生的抽象能力.

除了抽象性，數學概念的另一個顯著特點就是表征的多元性. 萊什（R.Lesh）將布魯納的動作、表象和符號表征的思維活動以直線方式的發展修正為平面網狀式的互動發展而提出數學學習的五種表征：實際情境、圖形、教具、口語符號、書寫符號. 萊什認為數學的學習，除了布魯納的表征理論強調深度的提升外，加強廣度的學習有助于深度的提升. 因此，他增加了實物情境和口語符號兩種表征，并且強調各種表征內部和表征之間的轉換（如圖2）.

上述圖形的一個附加功能就是可以作為概念理解的評價框架. 當我們說學生理解了數學概念時，在一定程度上是指他能夠運用圖2中勾繪的轉化程序. 例如，說學生理解了一次函數概念，意味著他們能夠用具體的實例（如勻速直線運動，周長一定時矩形花園的長與寬的數量關系等），通過操作（利用表格列出自變量與函數值的對應關系）、圖形（畫出函數的圖象）、符號（寫出函數的代數不等式）、口語（用自己的語言表述函數值隨自變量變化而變化的過程）等多角度地描述一次函數.

數學概念內涵的高度抽象性使得它具有普遍的意義和廣泛的應用，而外延表征的多元性又使得數學概念的運用具有一定的靈活性. 因此，在教學中要盡可能地使學生親歷概念的抽象過程，并從不同角度理解概念.A97FE098-F6EA-4ADF-8650-5E80F7CEC54B

按照拉卡托斯的觀點，許多科學概念的定義并非一開始就是精確的，其中涉及如下的抽象化和精致化過程：首先產生一個模糊的想法;嘗試對這個想法用語言進行描述;接著通過形式的定義得到初步的概念;然后嘗試由定義給出具體的例子、推出某些性質、驗證相關的定理，尋找等價或者相似的對象;最后再對原先的定義進行修正，以排除那些不合理的推論，進而調整、變更或者拓展對概念的理解，以便適應新的可能性. 因此，理解概念的定義是形成抽象能力的基本途徑.

要加強數學概念的教學，可以從概念發生和發展的歷史過程、邏輯過程及心理過程考慮.

從歷史上看，許多數學概念都經歷了起起落落、曲折漫長的發展過程，今天出現在教科書上的概念定義與表達形式往往都是幾代數學家不斷簡化、改進的結果. 通過這種過程，學生不僅可以更深刻地理解概念的意義及其必要性，而且可以感悟數學抽象的特征和數學的人文精神.

從邏輯上看，數學概念都不是孤立的知識點，每一個概念都有一些相關的概念，它們之間組成各種邏輯結構，形成一定的知識體系. 其中，特別是一些處于核心位置的概念，對于整個知識體系的抽象與理解至關重要.

從學習心理上看，概念的學習主要有概念形成與概念同化兩個過程. 關于這兩個過程的學習理論大都建立在皮亞杰的認知結構的基礎上. 其中，概念形成過程實質上是抽象出某一類對象或事物的共同本質特征的過程. 其具體過程如圖3所示.

而概念同化的心理過程則主要包括以下兩個階段.（1）辨認. 辨認定義中的新觀念哪些是已有概念，新、舊觀念之間存在什么關系，辨認過程包含了回憶與知識的重現. 例如，學習矩形的概念，在給出矩形的定義后，學生必須對四邊形、平行四邊形、相鄰兩邊的夾角等已有概念進行回憶和辨認.（2）同化. 建立新概念與原有概念之間的聯系，把新概念納入原認知結構中，使新概念被賦予一定的意義. 例如，上述關于矩形概念的學習，學生將矩形與平行四邊形比較，發現新概念是已有舊概念的組合，于是通過建立新、舊概念的聯系獲得矩形的概念，同時，獲得新概念后又擴大和改組了原有的數學認知結構. 通過將新概念與某些反例相聯系，使新概念更加穩固和清晰.

四、通過具體的問題解決過程，感悟數學的通性、通法

在抽象能力的培養中，最具有挑戰性的是對數學思想方法的抽象能力.

數學思想方法是人們對數學知識和方法形成的規律性的理性認識和基本看法，既包括從某些具體的數學認識過程中提煉出來的并在后繼的認識活動中通過反復運用而證實的正確的認識結果或觀點，又包括對數學的本質和特征、數學與現實世界的關系及地位作用、數學內部各部分之間對立統一關系的認識，同時還包括關于數學概念、方法、理論的產生與發展的認識. 數學的思想方法不僅是抽象的產物，其存在形式也是抽象的. 數學思想方法的形成通常蘊含在數學概念、原理、命題的抽象過程及數學問題的解決過程中.

由于數學思想方法在內涵與形式上都是抽象的，因此，在初中階段的教學中需要通過具體的問題解決過程將其明晰化，使學生逐步感悟與內化. 同時，應該重點關注具有一般意義的通性、通法，而不是一些高難度的解題技巧.

中小學數學中的通性、通法主要是一些最基本的、常用的，而且大多數學生可以自然想到、掌握的方法. 例如，配方法是解決“二次問題”（一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函數，乃至高中階段的二次曲線）的通性、通法. 首先，配方法有著直觀的幾何意義，歷史上早期就是通過面積來解決一元二次方程問題的;其次，配方法的目的是消去一次項，從而把所有的一元二次方程化歸為最簡形式[ax2=c]，然后通過開方運算或者平方差公式化歸為一次方程，進而解得方程或者進行根的討論，這種“消項”“降次”的方法可以推廣到一元三次方程和一元四次方程的公式解法，反映了代數的基本特征;最后，由配方法可以得到二次函數圖象的對稱軸，從而利用對稱性解決問題（如最大值、最小值問題），而運用對稱性可以收到事半功倍的效果.

由于數學思想方法具有高度的抽象性，同樣應該遵循從具體到抽象的教學原則. 以配方法的教學來說，首先，學生需要經歷完全平方公式的推導過程，熟悉此公式在數與代數的運算中的應用;其次，從簡單的數字系數的二次三項式開始，逐漸變化到字母系數，從對一個字母變元的配方到針對一個代數式的配方;最后，根據問題解決的需要，靈活地從正向和逆向兩個角度運用配方法.

最后，需要注意的是，雖然初中生已經處于皮亞杰所說的“形式運算”的認知發展階段，是培養抽象能力的關鍵期，但由于數學中的抽象是一種逐級抽象過程，可以在不同的層面上進行抽象. 因此，需要選擇合適的知識固著點作為抽象的基礎. 此外，初中階段的“抽象能力”與高中階段的“數學抽象”相比，前者可以是局部的、借助直觀的抽象，后者更關注數學抽象的系統性與嚴謹性.

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