多視角分析促解題能力提升

毛昌斌

[摘? 要] 對于如何提升學(xué)生的解題能力，文章以數(shù)列為例，通過多視角分析，帶領(lǐng)學(xué)生掌握解題的通性通法，同時引導(dǎo)學(xué)生在總結(jié)和歸納中完成整體知識體系的建構(gòu). 這樣，當(dāng)學(xué)生面對復(fù)雜的數(shù)列問題時，可以根據(jù)數(shù)列的特點，采取行之有效的解決方案，最終提升解題效率.

[關(guān)鍵詞] 解題能力;多視角;知識體系

談起數(shù)學(xué)解題大家往往聯(lián)想到的就是“刷題”，部分師生認(rèn)為“刷題”是獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗的最直接的手段. “刷題”在一定程度上可以讓學(xué)生積累很多解題經(jīng)驗和解題技巧，然其并不是通往成功的捷徑，因為過多的訓(xùn)練使學(xué)生在解題時完全依賴經(jīng)驗，對題目的分析較少，因此其僅知道要這樣做而不懂為什么這樣做，這樣勢必會影響學(xué)生分析能力和解題能力的提升. 因此，在教學(xué)中要將“多做”變?yōu)椤岸鄦枴焙汀岸嗨肌保寣W(xué)生更好地把握問題的本質(zhì)，進(jìn)而擁有以不變應(yīng)萬變的能力，從而真正提升解題能力.

筆者借助于數(shù)列相關(guān)內(nèi)容的處理，讓學(xué)生多思考一些“為什么”，打破解題時僅知道要這樣做而不知為什么這樣做的尷尬，促進(jìn)學(xué)生解題能力的提升.

[?] 方法講解促生成

等差數(shù)列和等比數(shù)列不僅是高考考查的重點內(nèi)容，也是學(xué)好數(shù)列的前提和保障，其概念、公式的推理中蘊(yùn)含著豐富的知識及數(shù)學(xué)思想方法. 因此，在教學(xué)中要利用好其基礎(chǔ)地位，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之初就掌握基本思想和基本方法，使學(xué)生在解題時可以及時捕捉相關(guān)信息，借助于相似的方法進(jìn)行求解，進(jìn)而達(dá)到先入為主的效果，讓學(xué)生在相關(guān)的推理和求解中輕松地發(fā)現(xiàn)解題的切入點，成功解決問題.

例如，根據(jù)等差數(shù)列{a}的概念可知，a-a=d，a-a=d，a-a=d，…，a-a=d，將這n-1個等式左右兩邊分別相加得a-a=（n-1）d，進(jìn)而得到a=a+（n-1）d. 運用“疊加法”體驗了等差數(shù)列通項公式的生成過程，進(jìn)而使學(xué)生再遇到類似的推理時會嘗試用“疊加法”求解.

例1 已知數(shù)列{a}的前n項和為S，且S=a-1（n∈N*）.

（1）求數(shù)列{a}的通項公式;

（2）在數(shù)列{b}中，b=5，b=b+a，求數(shù)列{b}的通項公式.

題目解析：（1）由S=a-1得S=a-1，兩式相減并整理得=3，故{a}是公比為3的等比數(shù)列. 進(jìn)一步推理得數(shù)列{a}的通項公式為a=2·3n-1.

（2）因為b=b+a，所以當(dāng)n≥2時，b=b+2·3n-2，…，b=b+2·31，b=b+2·30，疊加得b=b+2（3n-2+…+31+30）=5+2·=3n-1+4. 當(dāng)n=1時，3n-1+4=5=b，所以b=3n-1+4.

又如，根據(jù)等比數(shù)列{a}的概念可知，=q，=q，…，=q，將這n-1個等式左右兩邊分別相乘得=qn-1，即a=aqn-1. 公式推理階段引入的思想往往讓學(xué)生的印象更加深刻，學(xué)生再遇到此類問題時自然會通過該證明方法（“疊乘法”）求解.

例2 已知數(shù)列{a}中，a=3·5nan，a=2，求數(shù)列{a}的通項公式.

題目解析：因為a=3·5nan，所以=3·5n，所以a=··…··a，整理化簡得a=3·5a，又a=2，所以a=2·3·5.

類似地，還涉及“倒序相加法”“錯位相減法”等證明方法. 有了前期知識的積累，學(xué)生再求解類似題目時，首先就會聯(lián)想到處理此類問題的策略，進(jìn)而為求解提供了方向，學(xué)生容易找到解決該問題的切入點，有利于解題效率的提升.

[?] 放手探究促發(fā)展

數(shù)學(xué)是一門規(guī)律性較強(qiáng)的學(xué)科，若沒有讓學(xué)生經(jīng)歷自我發(fā)現(xiàn)的過程，很難實現(xiàn)知識的內(nèi)化，題目略有變化學(xué)生就會感覺到束手無策. 因此，學(xué)習(xí)過程中要多引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究，這對提升學(xué)生的分析能力和培養(yǎng)學(xué)生的自信心都有著重要的意義.

例3 在數(shù)列{a}中，a=1，若a=（n∈N*），求通項a.

題目解析：通過觀察發(fā)現(xiàn)，本題并不適用“疊加法”和“疊乘法”，解答需要從a=出發(fā)，通過對它的觀察尋找求解的規(guī)律. 將a=兩邊取倒數(shù)后，得=，化簡得=+3，即數(shù)列

是以=1為首項，公差為3的等差數(shù)列，推理至此就可以求出數(shù)列a的通項公式了.

求解本題運用的是“構(gòu)造法”，通過“兩邊取倒數(shù)”構(gòu)造出了等差數(shù)列

. 雖然“構(gòu)造法”在求數(shù)列通項公式時經(jīng)常使用，但“構(gòu)造法”較靈活，學(xué)生往往很難入手，本題若直接應(yīng)用該方法學(xué)生雖然理解但很難轉(zhuǎn)化成自己的認(rèn)知和能力.

對于一些新穎別致的、陌生的數(shù)列，直接求解往往難以入手，這時可以通過特殊值尋找規(guī)律，進(jìn)而找到解題方法. 對于本題求解，教師引導(dǎo)學(xué)生放手嘗試，通過觀察和推理找到解決方案.

師：假設(shè)n=5，你能寫出各項的值嗎？（教師引導(dǎo)學(xué)生通過“代入法”尋找規(guī)律）

生1：a=，a=，a=，a=.

師：很好！你能發(fā)現(xiàn)什么？

代入值之后不難發(fā)現(xiàn)各項的分母是等差數(shù)列，學(xué)生自然就聯(lián)想到了：若各項取倒數(shù)就可以變?yōu)?，7，10，13，即可以變?yōu)楣顬?的等差數(shù)列，故

這個等差數(shù)列也就自然地推理出來了.

教學(xué)中放手讓學(xué)生嘗試觀察、思考，這樣學(xué)生在應(yīng)對千變?nèi)f化的題目時可以靜心去思考，借助于規(guī)律找到解決問題的突破口，進(jìn)而促進(jìn)解題能力的提升.

[?] 及時引導(dǎo)促提升

數(shù)列從題型到方法都是靈活多變的，若都靠學(xué)生探究顯然很難達(dá)到預(yù)期的效果. 因此，在教學(xué)中要充分發(fā)揮教師的作用，帶領(lǐng)學(xué)生在多變的題目中挖掘通用的方法，進(jìn)而達(dá)到融會貫通的效果.

例4 已知數(shù)列{a}滿足a=1，a=3a+1，求a的通項公式.

題目解析：若沒有3，則a=a+1，數(shù)列為等差數(shù)列;若沒有1，則a=3a，數(shù)列為等比數(shù)列. 為此，解題時可以嘗試從不同的視角進(jìn)行分析.

視角1：視為等差數(shù)列.

師：如果將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，對a=3a+1該如何處理呢？

生齊聲答：兩邊同時除以3.

師：哦，是這樣嗎？=a+. （教師按照學(xué)生的思路板演）

通過觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這樣直接除以3顯然不能直接轉(zhuǎn)化.

師：那到底應(yīng)該除以多少呢？聯(lián)想遞推關(guān)系的結(jié)構(gòu)特征，如何使其結(jié)構(gòu)統(tǒng)一呢？

經(jīng)過共同探究發(fā)現(xiàn)，若左右同時除以3n+1，則==+，這樣就構(gòu)造出了一個新的數(shù)列

，學(xué)生有等差數(shù)列通項公式推理的經(jīng)驗，該問題也就迎刃而解了.

視角2：視為等比數(shù)列.

師：若我們想將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，右邊1是否可以直接去掉呢？

生2：不能. 因為若想消除右邊的1，那么左邊也要減去1，這樣還是不具備等比數(shù)列的特征.

師：既然不能減去，是否可以加上一個數(shù)呢？是否可以構(gòu)造一個形如{a+x}的數(shù)列呢？（在教師的引導(dǎo)下學(xué)生積極探究，最終得出了答案）

生3：設(shè)a+x=3（a+x），由a=3a+1，得x=，所以a+=3

a+

. 令b=a+，則b=a+，所以b=3b，所以數(shù)列{b}是以b=a+=為首項，以q=3為公比的等比數(shù)列. 所以b=bqn-1=·3n-1，即a+=·3n-1，所以a=.

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生積極調(diào)動了已有經(jīng)驗，通過聯(lián)想構(gòu)造出了等差數(shù)列和等比數(shù)列，成功地求出了通項公式. 在此過程中運用了遞推，遞推是一個非常重要的概念和方法，解決數(shù)列問題時應(yīng)用較多. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，解題固然重要，然通過解題掌握其思想方法更重要，只有掌握了思想方法才掌握了精髓，才能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，進(jìn)而提升學(xué)生的綜合能力.

[?] 歸納總結(jié)促完善

數(shù)列是高考重要考點之一，雖然每年的題型都有所不同，然仔細(xì)推敲不難發(fā)現(xiàn)其考查的類型也就分為如下4種：①等差、等比問題;②求數(shù)列的通項公式;③求數(shù)列的前n項和;④數(shù)列與不等式. 考查的類型通過分析整理后，再根據(jù)各個類型總結(jié)歸納出具體的解題方法，進(jìn)而將整個數(shù)列問題建構(gòu)成一個完整的知識體系，這樣學(xué)生遇到千變?nèi)f化的題目時，通過分析和聯(lián)想可以找到與之相匹配的解題方法，進(jìn)而成功解決問題.

例如，求通項公式可以應(yīng)用如下方法：①利用a=S-S（n≥2）;②疊加法;③疊乘法;④構(gòu)造法.

例5 已知數(shù)列{a}滿足a+2a+3a+4a+…+na=n（n+1）（n+2），則{a}的通項公式為________.

題目解析：本題雖然不能直接利用a=S-S解答，然其與和有關(guān)，故仍需考慮利用a=S-S（n≥2）. 設(shè)T=a+2a+3a+4a+…+na=n（n+1）（n+2），則Tn-1=a+2a+3a+4a+…+（n-1）a=n（n-1）（n+1）. 兩邊相減得na=3n（n+1），所以a=3n+3.

又如，數(shù)列求和常用的方法有：①倒序相加法;②錯位相減法;③分組求和法;④裂項相消法. 以“裂項相消法”為例，形如以下幾個類型均可應(yīng)用：

①=-（等差型）;

②lg=lg（n+1）-lgn（對數(shù)型）;

③=-（根式型）;

④2n=2n+1-2n（指數(shù)型）;

⑤C=C-C（排列組合型）.

例6 S為數(shù)列{a}的前n項和，已知a>0，a+2a=4S+3.

（1）求{a}的通項公式;

（2）設(shè)b=，求數(shù)列{b}的前n項和T.

題目解析：（1）根據(jù)前面的解題經(jīng)驗可以輕松求得{a}的通項公式為a=2n+1.

（2）由（1）可知，b==

-

，所以{b}的前n項和為T=b+b+…+b=

-

+

-

+…+

-

=-.

數(shù)列問題是非常靈活的，部分學(xué)生在解決數(shù)列問題時常因其復(fù)雜多變而產(chǎn)生畏難情緒，但要讓學(xué)生克服這種情緒決不能盲目地重復(fù)練習(xí)，雖然那樣學(xué)生短時間內(nèi)解題能力會有所提高，然過多追求“練”，而忽視“總結(jié)和歸納”，從長遠(yuǎn)來看，對學(xué)生分析能力和解題能力的提升并未發(fā)揮太大的作用. 因此，在教學(xué)中要重視方法的總結(jié)和歸納，這樣學(xué)生才能真正地?fù)碛小耙圆蛔儜?yīng)萬變”的能力，學(xué)生的綜合能力才能真正地有所提升.

總之，在各模塊教學(xué)中，教師要帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)會多視角、全方位地審視問題，進(jìn)而理清問題的來龍去脈，總結(jié)和歸納出解題策略，建立完善的知識體系，從而全面提升解題能力.