活用長方體，構建立體幾何解題思維金鑰匙

楊亮 劉春換 丁玉軍 蕭蘭茁

【摘要】本文基于數學教學中如何解決“教師教得很辛苦，學生學得很痛苦，有的學生課前想自學，但基礎和自學能力差學不了.有的學生課上沒聽懂，課后沒人輔導想做題做不了.”這一難題展開討論，在設計數學學案時融入了深度學習的單元設計理念及教師微課講解、動態演示課件完善學生自主學習這一環節，旨在給學生創建一個自主學習的平臺.

【關鍵詞】深度學習;單元設計;微課講解;自主學案

【基金項目】本文是海南省教育科學“十三五”規劃課題“深度學習理念下現代教育技術與學生自主學案整合探索”（項目編號：QJH202010127）的階段性成果.

傳統的數學教案或學案設計只是文字、圖形、符號語言的整合，有兩個弊端：一是不能照顧學生們基礎參差不齊的水平，有的學生想自學但看不懂學案無從下手.久而久之學生會失去信心，不利于學生在課前自主學習新知.二是數學是一個長期積累的、不斷鞏固提升的過程.學生當時沒聽懂或在教師引導下聽會了，但沒真正理解，過后還是不會應用解題，這樣不利于學生系統復習、形成知識體系，缺少一個引導學生自主復習的永久平臺.

《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出：數學教學要使學生獲得四基“基礎知識、基本技能、基本數學思想、基本數學活動經驗”的同時，提高四能“能夠發現、提出問題，分析、解決問題能力”，逐步學會三會“學會用數學的眼光觀察世界，學會用數學的思維思考世界，學會用數學的語言表達世界”.發展學生數學學科素養的重要載體是數學教學活動，在數學教學過程中，教師利用信息技術可以創設豐富的教學情境，可以幫助學生自主探究和解決問題，將一些抽象的數學內容通過直觀演示變得直觀可視化，通過網絡進一步拓展教學空間，引導學生進行自主探索活動.

基于以上兩點，我們數學名師工作室展開了數學與網絡技術融合自主學習學案設計的研究.設計學案時融入了教師微課講解與動態演示課件的學生自主學習環節.學生復習相關知識、學習新知、課后復習或單元回顧時可隨時回放教師講解與演示動畫.這樣就有效地解決了“教師教得很辛苦，學生學得很痛苦，有的學生課前想自學，但基礎和自學能力差學不了.有的學生課上沒聽懂，課后沒人輔導想做題做不了.”這一難題.下面以高中新課程數學選擇性必修一教材中空間向量與立體幾何中長方體模型在解題與復習中應用的基礎，并以其中一節的單元設計為例系統說明我們學案的每一個設計環節與意圖.

一、教材與學情分析

高中數學新教材選擇性必修一第一章空間向量與立體幾何，是數學必修“平面向量”在空間的推廣，又是必修“立體幾何初步”的延續、本章要使學生體會向量方法在研究幾何圖形中的作用，進一步發展學生的空間想象能力和幾何直觀能力.學生雖已學習了向量的基本運算和立體幾何初步知識，但學生空間觀念的形成和類比轉化能力、邏輯推理的嚴謹性仍有待提高，不能用具體的立體幾何模型來展示及運用來解題.“空間向量”這一工具，能避免較為復雜的空間想象，為立體幾何代數化帶來很大的方便.合理建立空間直角坐標系，使“空間向量”坐標化，這是解題的關鍵，也是完成從幾何問題向代數問題轉化的基礎.

二、教學目標與方法

知識與技能（三類問題）：

1.讓學生借助長方體，理解“平行與垂直”相關核心定理.

2.讓學生借助長方體，內化空間向量應用立體幾何的核心解題方法.

3.讓學生會借助長方體模型靈活建立空間直角坐標系.

過程與方法：讓學生學會利用長方體模型構建高中數學立體幾何知識體系，直觀形象地解決學生空間觀念差的問題.

核心素養及情感態度與價值觀：讓學生學會利用深度學習理念經歷知識再發生、再創造的整合過程，構建知識體系，學會把前人留下的知識內化為自己的經驗，從而培養學生邏輯推理、直觀想象、數學建模與數學運算等核心素養.

教學方法與手段：本節課嘗試使用目標教學法和學生網絡線上（手機）自主學習法進行教學.通過“微課視頻講解—動態課件演示—自主學案輔學”三者有機整合，利用信息技術和移動互聯網絡照顧學生學習基礎的差異.學生在家利用手機或電腦結合學案能學會自主學習，從而獲得舉一反三的學習效果.

三、重難點

重點：活用長方體解決高中數學立體幾何問題.

難點：學生如何靈活利用長方體建系理念把具體問題轉化為向量坐標運算.

四、教學過程

（一）在新教材必修二的立體幾何初步中我們重點學習了平行與垂直兩種轉化，這也是高中數學立體幾何的核心思維.即

你能結合長方體中的線與面關系來說明一下這10個判定定理、性質定理的內容嗎？

設計意圖：學生先自己用文字語言、圖形語言、符號語言分別寫出這10個定理.然后試著用長方體中現有的線面關系寫出這10個定理，體會長方體模型的巨大作用.最后學生可以自主上網，觀看教師發布的微課查漏補缺，加深對平行與垂直這兩個核心難點的理解.

（二）新教材選修一的第一章空間向量與立體幾何核心內容是利用空間向量解決立體幾何問題.實質上就是建立空間直角坐標系，利用直線方向向量與面的法向量把立體幾何問題轉化為向量的代數運算來解決.那么你能否用空間直角坐標系下長方體模型中線面來說明一下如何用空間向量來求解下面幾個基本問題：

1.直線方向向量、平面法向量的求法？

2.如何用空間向量來證明線線平行、線面平行、面面平行？

3.如何用空間向量來證明三種垂直問題？

4.如何用空間向量來求線與線、線與面、面與面的成角問題？

5.如何用空間向量來求空間兩點、點與線、點與面的距離問題？

設計意圖：空間向量解決立體幾何問題的前提是讓學生掌握基本問題的轉化方法，借助長方體模型，讓學生熟記這些方法，這是這一章的關鍵.學生先自行研討，然后教師播放或學生上網聽教師的微課講解，從而獲得事半功倍的效果.

（三）空間向量解決立體幾何問題難點是如何建立適當的空間直角坐標系求相應點的坐標，長方體是最簡單實用的建系模型.教材上36～49頁有些題不是長方體模型，我們如何轉化構造放在長方體內進行建系解題呢？分下面三類分別討論一下：

1.有3條垂直棱的錐或柱（墻角錐、柱）型：

[]高中數學人教版選擇性必修一教材41頁3題：

如圖，在三棱錐O-ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，OA=OC=3，OB=2，求直線OB與平面ABC所成角的正弦值

[]高中數學人教版選擇性必修一教材47頁3題：

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，CB=1，CA=2，AA1=6，M是CC1的中點.求證：AM⊥BA1

[]高中數學人教版選擇性必修一教材38頁4題：

如圖，△ABC和△DBC所在的平面垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°.求：

（1）直線AD與直線BC所成角的大小.

（2）直線AD與平面BCD所成角的大小.

（3）平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值

[]高中數學人教版選擇性必修一教材48頁4題：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a，側棱長為2a.

（1）試建立適當的空間直角坐標系，并寫出點A，B，A1，C1的坐標.

（2）求AC1與側面ABB1A1所成的角

[]高中數學人教版選擇性必修一教材38頁3題：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，求平面AA1B與平面A1BC1夾角的余弦值

高中數學人教版選擇性必修一教材48頁7題：

正三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長為2，底邊長為1，M是BC的中點.在直線CC1上求一點N，使MN⊥AB1

[]高中數學人教版選擇性必修一教材44頁18題：

在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直.活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記CM=BN=a，（0<a<2）.

（1）求MN的長.

（2）a為何值時，MN的長最小.

（3）當MN的長最小時，求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值

[]

高中數學人教版選擇性必修一教材49頁13題：

如圖，把正方形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角，E，F分別為AD，BC的中點，O是原正方形ABCD的中心，求折紙后∠EOF的大小

有2個面垂直的幾何體：

https：//url.cn/6sJ54I0R？sf=uri

2.正四面體或對棱相等的四面體：

高中數學人教版選擇性必修一教材38頁2題：

PA，PB，PC是從點P出發的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值為多少

[]

高中數學人教版選擇性必修一教材41頁2題：

如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，M，N分別是AD，BC的中點.求異面直線AN，CM所成角的余弦值

[]

高中數學人教版選擇性必修一教材36頁例7：

如圖，在棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形）ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值

[]

高中數學人教版選擇性必修一教材42頁7題：

如圖，四面體OABC的所有棱長都是1，D，E分別是OA，BC的中點，E為BC的中點，連接DE.

（1）計算DE的長.

（2）求點O到平面ABC的距離

[]

高中數學人教版選擇性必修一教材43頁8題：

如圖，四面體ABCD的每條棱長都等于a，M，N分別是AB，CD的中點.求證：MN⊥AB，MN⊥CD

正四面體及對棱相等的四面體如何長方體建系

https：//v.youku.com/v_show/id_XNDg2ODkzMTY4OA==.html

設計意圖：學生先聽微課視頻，然后從教材中找出類似的習題.這一過程明確了讓學生如何利用長方體模型的建系理念來靈活解決問題，對培養學生建模思想、類比與轉化思想、數形結合一與抽象概括能力有重要意義.

（四）變式提升：如何利用長方體建系理念來解決下面問題.（說說你的建系方案）

[]

1.如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都是4，E是BC的中點，動點F在側棱CC1上，且不與點C重合.

（1）當CF=1時，求證：EF⊥A1C.

（2）設二面角C-AF-E的大小為θ，求tan θ的最小值

[]

2.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.

（1）證明：PA⊥BD;

（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值

（五）歸納總結：

1.本節你有哪些學習收獲？

2.本節你認為我們應用了哪些數學核心素養與數學思想方法？

（六）課后延伸：

[]

1.（重慶）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=π[]3，F為PC的中點，AF⊥PB.

（1）求PA的長.

（2）求二面角B-AF-D的正弦值

課后每位學生在課外輔導書中選一道用本節思想方法解題的題目，小組成員合作共同完成.

五、學案設計優點反思

學案設計得真正做到面向所有學生，不使每一個學生掉隊，這對后進生的轉化和整體教學水平的提高具有重要意義.精心設計的課前預習掃碼微課會讓所有學生特別是基礎較差學生樂于在課前及時復習和預習新知，激發他們的學習興趣.課堂講解的微課，能夠讓對課堂知識沒消化好的學生課后可以隨時重溫課堂重難點，給他們提供了隨時解惑的平臺，為培養優生的數學思維和能力提供了空間和時間.微課的設計使基礎較差的學生課前、課后縮小了與優生的差距.同時課堂也有了充分時間給優生展示自己思維和研討的機會，加大了課堂的容量和效率.

【參考文獻】

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