活用長方體，構(gòu)建立體幾何解題思維金鑰匙

楊亮 劉春換 丁玉軍 蕭蘭茁

【摘要】本文基于數(shù)學(xué)教學(xué)中如何解決“教師教得很辛苦，學(xué)生學(xué)得很痛苦，有的學(xué)生課前想自學(xué)，但基礎(chǔ)和自學(xué)能力差學(xué)不了.有的學(xué)生課上沒聽懂，課后沒人輔導(dǎo)想做題做不了.”這一難題展開討論，在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)學(xué)案時(shí)融入了深度學(xué)習(xí)的單元設(shè)計(jì)理念及教師微課講解、動態(tài)演示課件完善學(xué)生自主學(xué)習(xí)這一環(huán)節(jié)，旨在給學(xué)生創(chuàng)建一個(gè)自主學(xué)習(xí)的平臺.

【關(guān)鍵詞】深度學(xué)習(xí);單元設(shè)計(jì);微課講解;自主學(xué)案

【基金項(xiàng)目】本文是海南省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“深度學(xué)習(xí)理念下現(xiàn)代教育技術(shù)與學(xué)生自主學(xué)案整合探索”（項(xiàng)目編號：QJH202010127）的階段性成果.

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教案或?qū)W案設(shè)計(jì)只是文字、圖形、符號語言的整合，有兩個(gè)弊端：一是不能照顧學(xué)生們基礎(chǔ)參差不齊的水平，有的學(xué)生想自學(xué)但看不懂學(xué)案無從下手.久而久之學(xué)生會失去信心，不利于學(xué)生在課前自主學(xué)習(xí)新知.二是數(shù)學(xué)是一個(gè)長期積累的、不斷鞏固提升的過程.學(xué)生當(dāng)時(shí)沒聽懂或在教師引導(dǎo)下聽會了，但沒真正理解，過后還是不會應(yīng)用解題，這樣不利于學(xué)生系統(tǒng)復(fù)習(xí)、形成知識體系，缺少一個(gè)引導(dǎo)學(xué)生自主復(fù)習(xí)的永久平臺.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出：數(shù)學(xué)教學(xué)要使學(xué)生獲得四基“基礎(chǔ)知識、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想、基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)”的同時(shí)，提高四能“能夠發(fā)現(xiàn)、提出問題，分析、解決問題能力”，逐步學(xué)會三會“學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的重要載體是數(shù)學(xué)教學(xué)活動，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師利用信息技術(shù)可以創(chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境，可以幫助學(xué)生自主探究和解決問題，將一些抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容通過直觀演示變得直觀可視化，通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)一步拓展教學(xué)空間，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探索活動.

基于以上兩點(diǎn)，我們數(shù)學(xué)名師工作室展開了數(shù)學(xué)與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)融合自主學(xué)習(xí)學(xué)案設(shè)計(jì)的研究.設(shè)計(jì)學(xué)案時(shí)融入了教師微課講解與動態(tài)演示課件的學(xué)生自主學(xué)習(xí)環(huán)節(jié).學(xué)生復(fù)習(xí)相關(guān)知識、學(xué)習(xí)新知、課后復(fù)習(xí)或單元回顧時(shí)可隨時(shí)回放教師講解與演示動畫.這樣就有效地解決了“教師教得很辛苦，學(xué)生學(xué)得很痛苦，有的學(xué)生課前想自學(xué)，但基礎(chǔ)和自學(xué)能力差學(xué)不了.有的學(xué)生課上沒聽懂，課后沒人輔導(dǎo)想做題做不了.”這一難題.下面以高中新課程數(shù)學(xué)選擇性必修一教材中空間向量與立體幾何中長方體模型在解題與復(fù)習(xí)中應(yīng)用的基礎(chǔ)，并以其中一節(jié)的單元設(shè)計(jì)為例系統(tǒng)說明我們學(xué)案的每一個(gè)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)與意圖.

一、教材與學(xué)情分析

高中數(shù)學(xué)新教材選擇性必修一第一章空間向量與立體幾何，是數(shù)學(xué)必修“平面向量”在空間的推廣，又是必修“立體幾何初步”的延續(xù)、本章要使學(xué)生體會向量方法在研究幾何圖形中的作用，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力.學(xué)生雖已學(xué)習(xí)了向量的基本運(yùn)算和立體幾何初步知識，但學(xué)生空間觀念的形成和類比轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性仍有待提高，不能用具體的立體幾何模型來展示及運(yùn)用來解題.“空間向量”這一工具，能避免較為復(fù)雜的空間想象，為立體幾何代數(shù)化帶來很大的方便.合理建立空間直角坐標(biāo)系，使“空間向量”坐標(biāo)化，這是解題的關(guān)鍵，也是完成從幾何問題向代數(shù)問題轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ).

二、教學(xué)目標(biāo)與方法

知識與技能（三類問題）：

1.讓學(xué)生借助長方體，理解“平行與垂直”相關(guān)核心定理.

2.讓學(xué)生借助長方體，內(nèi)化空間向量應(yīng)用立體幾何的核心解題方法.

3.讓學(xué)生會借助長方體模型靈活建立空間直角坐標(biāo)系.

過程與方法：讓學(xué)生學(xué)會利用長方體模型構(gòu)建高中數(shù)學(xué)立體幾何知識體系，直觀形象地解決學(xué)生空間觀念差的問題.

核心素養(yǎng)及情感態(tài)度與價(jià)值觀：讓學(xué)生學(xué)會利用深度學(xué)習(xí)理念經(jīng)歷知識再發(fā)生、再創(chuàng)造的整合過程，構(gòu)建知識體系，學(xué)會把前人留下的知識內(nèi)化為自己的經(jīng)驗(yàn)，從而培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

教學(xué)方法與手段：本節(jié)課嘗試使用目標(biāo)教學(xué)法和學(xué)生網(wǎng)絡(luò)線上（手機(jī)）自主學(xué)習(xí)法進(jìn)行教學(xué).通過“微課視頻講解—?jiǎng)討B(tài)課件演示—自主學(xué)案輔學(xué)”三者有機(jī)整合，利用信息技術(shù)和移動互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)照顧學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的差異.學(xué)生在家利用手機(jī)或電腦結(jié)合學(xué)案能學(xué)會自主學(xué)習(xí)，從而獲得舉一反三的學(xué)習(xí)效果.

三、重難點(diǎn)

重點(diǎn)：活用長方體解決高中數(shù)學(xué)立體幾何問題.

難點(diǎn)：學(xué)生如何靈活利用長方體建系理念把具體問題轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)運(yùn)算.

四、教學(xué)過程

（一）在新教材必修二的立體幾何初步中我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)了平行與垂直兩種轉(zhuǎn)化，這也是高中數(shù)學(xué)立體幾何的核心思維.即

你能結(jié)合長方體中的線與面關(guān)系來說明一下這10個(gè)判定定理、性質(zhì)定理的內(nèi)容嗎？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生先自己用文字語言、圖形語言、符號語言分別寫出這10個(gè)定理.然后試著用長方體中現(xiàn)有的線面關(guān)系寫出這10個(gè)定理，體會長方體模型的巨大作用.最后學(xué)生可以自主上網(wǎng)，觀看教師發(fā)布的微課查漏補(bǔ)缺，加深對平行與垂直這兩個(gè)核心難點(diǎn)的理解.

（二）新教材選修一的第一章空間向量與立體幾何核心內(nèi)容是利用空間向量解決立體幾何問題.實(shí)質(zhì)上就是建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線方向向量與面的法向量把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運(yùn)算來解決.那么你能否用空間直角坐標(biāo)系下長方體模型中線面來說明一下如何用空間向量來求解下面幾個(gè)基本問題：

1.直線方向向量、平面法向量的求法？

2.如何用空間向量來證明線線平行、線面平行、面面平行？

3.如何用空間向量來證明三種垂直問題？

4.如何用空間向量來求線與線、線與面、面與面的成角問題？

5.如何用空間向量來求空間兩點(diǎn)、點(diǎn)與線、點(diǎn)與面的距離問題？

設(shè)計(jì)意圖：空間向量解決立體幾何問題的前提是讓學(xué)生掌握基本問題的轉(zhuǎn)化方法，借助長方體模型，讓學(xué)生熟記這些方法，這是這一章的關(guān)鍵.學(xué)生先自行研討，然后教師播放或?qū)W生上網(wǎng)聽教師的微課講解，從而獲得事半功倍的效果.

（三）空間向量解決立體幾何問題難點(diǎn)是如何建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系求相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，長方體是最簡單實(shí)用的建系模型.教材上36～49頁有些題不是長方體模型，我們?nèi)绾无D(zhuǎn)化構(gòu)造放在長方體內(nèi)進(jìn)行建系解題呢？分下面三類分別討論一下：

1.有3條垂直棱的錐或柱（墻角錐、柱）型：

[]高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材41頁3題：

如圖，在三棱錐O-ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，OA=OC=3，OB=2，求直線OB與平面ABC所成角的正弦值

[]高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材47頁3題：

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，CB=1，CA=2，AA1=6，M是CC1的中點(diǎn).求證：AM⊥BA1

[]高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材38頁4題：

如圖，△ABC和△DBC所在的平面垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°.求：

（1）直線AD與直線BC所成角的大小.

（2）直線AD與平面BCD所成角的大小.

（3）平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值

[]高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材48頁4題：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a，側(cè)棱長為2a.

（1）試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并寫出點(diǎn)A，B，A1，C1的坐標(biāo).

（2）求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角

[]高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材38頁3題：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，求平面AA1B與平面A1BC1夾角的余弦值

高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材48頁7題：

正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為2，底邊長為1，M是BC的中點(diǎn).在直線CC1上求一點(diǎn)N，使MN⊥AB1

[]高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材44頁18題：

在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直.活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記CM=BN=a，（0<a<2）.

（1）求MN的長.

（2）a為何值時(shí)，MN的長最小.

（3）當(dāng)MN的長最小時(shí)，求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值

[]

高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材49頁13題：

如圖，把正方形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，O是原正方形ABCD的中心，求折紙后∠EOF的大小

有2個(gè)面垂直的幾何體：

https：//url.cn/6sJ54I0R？sf=uri

2.正四面體或?qū)庀嗟鹊乃拿骟w：

高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材38頁2題：

PA，PB，PC是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值為多少

[]

高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材41頁2題：

如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn).求異面直線AN，CM所成角的余弦值

[]

高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材36頁例7：

如圖，在棱長為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點(diǎn)，求直線AM和CN夾角的余弦值

[]

高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材42頁7題：

如圖，四面體OABC的所有棱長都是1，D，E分別是OA，BC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，連接DE.

（1）計(jì)算DE的長.

（2）求點(diǎn)O到平面ABC的距離

[]

高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材43頁8題：

如圖，四面體ABCD的每條棱長都等于a，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn).求證：MN⊥AB，MN⊥CD

正四面體及對棱相等的四面體如何長方體建系

https：//v.youku.com/v_show/id_XNDg2ODkzMTY4OA==.html

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生先聽微課視頻，然后從教材中找出類似的習(xí)題.這一過程明確了讓學(xué)生如何利用長方體模型的建系理念來靈活解決問題，對培養(yǎng)學(xué)生建模思想、類比與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合一與抽象概括能力有重要意義.

（四）變式提升：如何利用長方體建系理念來解決下面問題.（說說你的建系方案）

[]

1.如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都是4，E是BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上，且不與點(diǎn)C重合.

（1）當(dāng)CF=1時(shí)，求證：EF⊥A1C.

（2）設(shè)二面角C-AF-E的大小為θ，求tan θ的最小值

[]

2.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.

（1）證明：PA⊥BD;

（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值

（五）歸納總結(jié)：

1.本節(jié)你有哪些學(xué)習(xí)收獲？

2.本節(jié)你認(rèn)為我們應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)思想方法？

（六）課后延伸：

[]

1.（重慶）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=π[]3，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，AF⊥PB.

（1）求PA的長.

（2）求二面角B-AF-D的正弦值

課后每位學(xué)生在課外輔導(dǎo)書中選一道用本節(jié)思想方法解題的題目，小組成員合作共同完成.

五、學(xué)案設(shè)計(jì)優(yōu)點(diǎn)反思

學(xué)案設(shè)計(jì)得真正做到面向所有學(xué)生，不使每一個(gè)學(xué)生掉隊(duì)，這對后進(jìn)生的轉(zhuǎn)化和整體教學(xué)水平的提高具有重要意義.精心設(shè)計(jì)的課前預(yù)習(xí)掃碼微課會讓所有學(xué)生特別是基礎(chǔ)較差學(xué)生樂于在課前及時(shí)復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)新知，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣.課堂講解的微課，能夠讓對課堂知識沒消化好的學(xué)生課后可以隨時(shí)重溫課堂重難點(diǎn)，給他們提供了隨時(shí)解惑的平臺，為培養(yǎng)優(yōu)生的數(shù)學(xué)思維和能力提供了空間和時(shí)間.微課的設(shè)計(jì)使基礎(chǔ)較差的學(xué)生課前、課后縮小了與優(yōu)生的差距.同時(shí)課堂也有了充分時(shí)間給優(yōu)生展示自己思維和研討的機(jī)會，加大了課堂的容量和效率.

【參考文獻(xiàn)】

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