結構化：初中數學教學研發設計之實務

葛燁

[摘? 要] 結構化教學要求教師在教學中要樹立“結構化教學觀”，擁有一種清醒的結構化教學意識. 在初中數學教學實踐中，教師要站在知識的整體、結構高度進行數學教學研發與設計，要立足“高點”，促進“遷移”，引領“重構”，從而幫助學生構建知識結構、學習結構和認知結構. 實施結構化教學，能讓學生的數學學習煥發出生命活力.

[關鍵詞] 初中數學;結構化學習;教學研發;教學設計

著名數學教育家斯蒂恩說得好，“數學應被看成是一種結構性科學”. 在瑞士教育心理學家皮亞杰看來，“結構就是一個系統、一個整體、一個結合”. 初中數學知識同樣也是一個不可分割的整體，它的生命力同樣取決于知識各部分之間的關聯. 作為教師應當秉持“高觀點”，站在知識的整體、結構高度進行數學教學研發與設計，結構化、整體化的教學研發設計是初中數學教學研發設計之實務.

立足“高點”，構建知識結構

“高觀點”是著名數學教育家克萊因的觀點，在克萊因看來，“我們理解初等數學問題一定要立足于高觀點. 只有觀點高了，知識才能變得簡單而明了”. 數學知識是普遍關聯的，從結構視角來看，數學知識是一個結構化整體. 立足于“高觀點”，構建知識結構，能讓學生在數學學習中舉一反三、觸類旁通、以簡馭繁. 構建知識結構，要求教師在教學設計中要居高臨下、瞻前顧后，將相關的數學知識“拎”起來、“串”起來、“立”起來，從而讓數學知識“連成線”“形成片”“織成網”.

初中數學學科知識不是概念、知識點的簡單堆砌，而是一個有機的整體. 正如皮亞杰所說：“全部的數學都可以按照結構的建構來考慮. ”比如銳角三角函數知識，包括正弦、余弦、正切等，都與“相似三角形”“全等三角形”以及“勾股定理”等存在著密切的關聯，教學中教師要讓學生感悟這些密切的關聯. 這是因為，這些銳角三角函數在研究方法和特征上都有著內在的一致性，可以實施整體性、結構性教學. 構建知識結構，不僅要求教師引導學生認識數學知識基本關系，更要將相關的解決問題的策略融入、滲透其中，從而能讓學生感悟到銳角三角函數的本質. 比如在引導學生解決銳角三角函數相關問題中，可以引導學生在非直角三角形中構建直角三角形;比如可以引導學生設定相關未知數建立方程求解等. 通過結構化教學，學生就能深度理解以直角三角形邊角關系為主線的銳角三角函數. 構建知識結構，不僅要將相關的數學知識勾連起來，而且要引導學生通過諸多下位知識建構上位知識，從而聚合成“高觀點”. 這樣的“高觀點”，對于學生來說才是“一生有用的數學”.

立足“高觀點”構建知識結構，要求教師以“建構”為核心，以“關聯”為抓手，以“認知”為導向. 為此，教師應當用系統化、結構化的眼光、大腦解讀教材，并對教材內容做出科學的、適度的調整. 構建知識結構，還能讓學生形成數學“核心觀念”與認知，進而通過知識結構建構思想結構、方法結構. 結構化地研發、處理數學課程，能對學生數學學習發揮一種“四兩撥千斤”的功效.

促進“遷移”，構建學習結構

結構化的初中數學教學，包括“學結構”和“用結構”的兩個階段. 這兩個階段的學習，能賦予學生更大、更廣、更強的創造可能性. 在“學結構”階段，重點是讓學生掌握數學知識結構;在“用結構”階段，重點是讓學生進行“學習遷移”. 學生的數學學習遷移，有“正遷移”和“負遷移”. 結構化學習就是要促進學生的“正向遷移”. “正向遷移”關鍵就是要促進學生數學學習的心理同化與順應. 當數學新知能有效納入學生已有認知結構時，就發生了心理同化;當數學新知不能有效納入學生的已有認知結構時，學生的原有認知結構就必須順應新知. “同化與順應”是學生數學知識學習的重要心理機制. 通過“同化與順應”，學生的認知心理從“不平衡”走向“平衡”，又從“平衡”走向新的“不平衡”.

比如教學“相似三角形”這部分內容，教師可以先引導學生復習“全等三角形”相關知識，比如“怎樣的兩個三角形全等”“全等三角形有怎樣的性質”“全等三角形的判定定理是什么”等. 由于“全等三角形是一種特殊的相似三角形”，因此學生會提出相關的問題，諸如“怎樣的兩個三角形相似”“相似三角形有怎樣的性質”“相似三角形的判定定理是什么”等. 由于有了“全等三角形”的相關學習經驗，學生在學習“相似三角形”時能積極地類比，進而對“相似三角形的性質”“相似三角形的判定”等提出相關的猜想. 諸如“相似三角形對應角相等、對應邊成比例、對應線段的比等于相似比、面積比等于相似比的平方”“三角形的兩角對應相等，兩個三角形就相似”“三角形的三邊對應成比例，兩個三角形就相似”“兩個三角形的兩條邊對應成比例并且夾角相等，兩個三角形相似”等.

促進學生的“正向遷移”，能有效地構建學生的學習結構. 顯然，結構化教學視野下的“教”是為了后續的“少教”甚至“不教”. 在促進學生同化與順應性的數學結構化學習過程中，教師要堅守“學生已會的內容堅決不教”“學生能夠自主學會的要少教”“學生難以學會的要努力地精教”. 具體而言，在教學“全等三角形”時，教師要著力鼓勵學生猜想、驗證，對相關全等三角形的性質、判定定理等實施整體性教學. 在這個過程中，重點引導學生掌握“猜想—驗證”的學習方法，這是一種科學、有效的學習方法，對于學生學習“相似三角形”等相關知識具有重要的作用. 不僅如此，這樣的一種“猜想—驗證”式的學習方法，對于學生后續的數學學習，對于促進學生數學學習生活的可持續性發展都具有重要作用.

促進“正遷移”，構建學生學習結構，要打破數學教材的固化結構，處理好學生數學學習中的“多”與“一”“特殊”與“一般”“表”與“里”的關系. 對“教材”進行再建構. 要從數學知識體系、思想方法等視角，對相關內容進行重組、整合. 對數學教材進行二度開發，有助于調動學生數學學習的積極性，增強學生數學學習的能動性，發掘學生數學學習的創造性.

引領“重構”，構建認知結構

結構化教學的根本目的不僅僅在于構建知識結構，更在于完善學生的認知結構. 完善學生的認知結構，就能引導學生進行結構化的思維、認知. 而當學生形成了結構化的思維、認知，學生就能從“學會”轉向“會學”，從“會學”轉向“慧學”. 作為教師，要不斷地引導學生進行自我認知結構的重構. 為此，教師要努力讓自己的教學從“課時”轉向“單元”、從“割裂”轉向“關聯”、從“散點”轉向“統整”、從“無序”轉向“有序”.

比如“函數思想”是初中階段最為重要的數學思想，學生對于函數思想的感悟不是一朝一夕所能形成的. 在初中數學教學中，對于函數思想教師是不能采用“灌輸”“告訴”等直白的方式進行教學的，而必須采用逐層滲透、逐步融入的方式. 教學中，教師要不斷地對學生的認知結構進行豐富、補充、完善. 比如學生在小學階段就已經學習了正反比例，而正反比例就是函數思想方法的萌芽，是函數思想方法的最初顯現. 進入七年級后，學生開始學習相關的“一元一次方程”“二元一次方程”等，這些知識都是學生進行函數解析式分析的基礎. 進入八、九年級，學生開始系統學習“正比例函數”“一次函數”“二次函數”“反比例函數”等. 盡管這些知識的表現形態不同，但卻有著相同的本質和學習路徑. 比如，這些函數都需要圍繞圖像深入探討“增減性問題”“最值問題”等，都需要運用一些常用的方法，比如“畫圖法”“公式法”等. 這些貫穿學生函數學習始終的“問題”和“方法”，能最終凝練為學生的認知結構，積淀為學生的數學素養. 在教學中，教師應當對這些內容進行綜合鏈接，優化這些知識的架構，從而引導學生在學習數學知識的過程中，不斷完善自身的認知結構.

引領學生認知結構的重構，需要教師站到數學“高觀點”的視角，站到數學思想方法的高度，對學生的相關數學知識進行整體布局，從而把握數學知識的縱向發展，這是一種線性結構;把握數學知識的橫向關聯，這是一種非線性結構. 在這個過程中，學生會對自我的認知結構進行積極主動的調整，從而能對自我原有的固化的認知結構形成有效突破，使自身的認知結構能夠得到重組、創新.

結構化教學，要求教師在教學中要樹立“結構化教學觀”，擁有一種清醒的結構化教學意識. 在初中數學教學實踐中，教師要有意識地對相關的數學知識進行縱橫關聯，同時要深入了解學生具體學情. 只有這樣，才能有效地實施結構化教學，讓學生的數學學習因為結構而煥發出生命活力. 結構化教學，不僅能提升教師的教學力，而且能提升學生的學習力，增強學生數學學習效能，讓學生的數學學習更全面、更深入、更清晰、更合理！