游花觀景賞三角

張薇

【摘要】章引言課是一個章節教學的開始，能幫助學生形成數學概念的“大觀念”，引導學生像“數學家一樣思考”，有利于學生數學認知結構的良好構建.所謂大單元教學，是以主題為線索，對教材進行重組整合，以指導學生學會學習為主線，進行連續單元教學的教學模式.三角函數引言課是對學生深度學習的一次研究與實踐，目的在于落實學生的主體地位，形成有助于未來發展的核心素養.

【關鍵詞】章引言;核心素養;深度學習;大單元教學;數學史

2019年10月，筆者參加了由省教研室舉辦的高中數學骨干教師培訓，本期培訓與往期最大的區別在于由多位教師對《三角函數引言課》同題異構.筆者有幸參加并展示課例，在磨課、上課、評課中，收獲良多，現呈現本節課的教學設計與教后反思.

一、教學目標及重點難點

（一）教學目標

（1）從大量生活實例中體會周期現象的普遍性;

（2）以圓周運動為例，探究周期現象的運動規律，在探究表示周期現象數學模型的過程中體會角的擴充和弧度制擴充的合理性;

（3）培養學生從已有的學習經驗來研究新的問題的能力;

（4）引導學生學會用數學的眼光看世界，用數學的語言表達世界，培養學生的直觀想象及數學建模的能力.

（二）教學重點、難點

教學重點：構建三角函數模型;

教學難點：感悟x，y，r，α，l之間的內在聯系，從而利用這些量的聯系進行角的擴充及弧度制的引入.

二、教學實錄

（一）創設情境，引入課題

日出日落，月圓月缺，潮起潮落……自然界中有許多“按一定規律周而復始”的現象，這種按一定規律不斷重復出現的現象稱為周期現象.

問題1 你能舉一些生活中具有周期現象的例子嗎？

生：手表的運動，日歷的周而復始，星期一到星期日的重復，生肖的輪回，摩天輪的運動……

師：能否概括一下它們的特征？

生：每隔一定的時間會重復出現.

問題2 摩天輪上一點P按怎樣的規律不斷重復出現？用什么樣的數學模型來刻畫呢？

物理中，勻速直線運動用一次函數模型來刻畫位移與時間的關系，勻加速直線運動用二次函數來刻畫位移與時間的關系，指數函數刻畫了數據的指數爆炸.今天我們學習能刻畫這類具有周而復始現象的函數——三角函數.

反饋評價：興趣是最好的老師.在大量實際生活中感受周期現象周而復始的運動規律，從摩天輪運動中抽象出一般的數學模型，培養學生的數學抽象能力與直觀想象的能力.

（二）轉換背景，形成概念

問題3 摩天輪的半徑為r，做勻速圓周運動.點P在運動過程中，從數學角度怎樣刻畫點P的位置？

反饋評價：學生動手探究并相互討論，展示成果，得到了三種方法：分別用（x，y）、（r，α）、 （l，r）來表示點P，在展示過程中發現不足，并對現有的方案進行修正.學生積極參與到知識的探究中，發現問題并及時進行修正，從而打破已有知識體系，對已有知識進行拓展延伸，體會了“像數學家一樣去思考”的過程，體會到了成功的喜悅.

師：對于用坐標表示我們非常熟悉，我們知道坐標與點是一一對應的關系.那么用（r，α）表示點的位置是否合理？

生：有點問題，表示的點不唯一.

師：你覺得怎樣才能準確刻畫點的位置？

生：可以加上旋轉的方向，用順時針旋轉α或者逆時針旋轉α來刻畫.

師：我們發現初中時候學過的角的范圍0°～360°已經不再適用，我們需要對角的范圍進行擴充.初中的時候我們是怎么定義角的呢？

生：初中時，我們定義角為從一點出發的兩條射線所形成的幾何圖形，范圍為0°～360°.

問題4 請你給我們現在所需要的角一個定義.

生：射線OA繞頂點O旋轉所形成的角.

師：那怎么解決剛剛旋轉90°所形成的角？

生：按不同的旋轉方向分逆時針旋轉所成的角和順時針旋轉所成的角.

師生總結任意角的定義.

反饋評價：學生通過探究與討論，發現點的不同表示方式，并對不同表示方法探究合理性，這是建立數學模型的基礎，培養了學生發現問題、解決問題的能力，拓寬了學生思維的寬度與廣度.數學的發展很多時候是在已有知識無法解決新問題的情況下對舊體系的不斷擴張延伸，從而產生新知的過程.

（三）深度研究，全面構建

問題5 我們用（x，y）和（r，α）刻畫了點的位置，那（x，y）與（r，α）有何關系？你能用怎樣的數學模型來刻畫這兩者之間的聯系？

生：過點P作PH⊥x軸，則sin α=yr，cos α=xr，tan α=yx.

師：你是如何想到的？

生：放在直角三角形中.

師：sin α，cos α，tan α之間又有何關系？

生：sin2α+cos2α=1，tan α=sin αcos α.

師：此時α的范圍應該是0°～90°.sin α=yr，cos α=xr，tan α=yx能否看成關于α的函數？

生：是函數，因為每一個α對應唯一的函數值.

師：請你回憶一下函數的定義.

生回憶并描述，發現定義域是角度，不是實數，所以發現問題，需要引入一個新的度量單位來衡量角度.

師：這個角度的重新度量，你覺得和誰有關系？

生：與轉過的角度有關.

師：這就是我們前面所提的（r，l）與（r，α）之間的關系，你能給這種度量單位起個名字嗎？

生：既然與弧長有關，我們就稱為弧度制.

師：非常好，這樣我們就重新度量了角.

反饋評價：弧度制引入的必要性可以從兩方面說明：（1）從初中三角函數切入，讓新知與舊知發生聯系，引發矛盾.從函數的定義入手，引發角度值與實數的矛盾，從而產生重新度量角的需要.（2）歷史上三角函數的引入是為了天文學上簡化計算，弧度制的引入是因為角度制會引發計算的煩瑣，為了計算簡便引入了弧度制.所以教師在課上可以舉幾個例子，讓學生體會角度值的計算較為煩瑣，從而產生要簡化運算的強烈愿望.

師：弧度制與實數是一一對應的.既然我們已經把角拓展到了任意角，顯然我們也可以將三角函數拓展到任意角的三角函數.

師：角α的終邊繞點O逆時針旋轉一圈、二圈、三圈……得到的角β與α有何聯系？

生：β=α+k·360°，三角函數值相等.

師：你能用數學符號表示嗎？

生：sin（α+360°）=sin α，cos（α+360°）=cos α，tan（α+3600）=tan α.

師：這個公式我們稱之為三角函數的誘導公式，后面我們將繼續學習轉過不同的角度對應的三角函數的關系.在這個公式中，我們體會到了數學語言的魅力.

師生共同總結：我們得到了刻畫周而復始現象的函數——三角函數.以后我們需要研究函數的性質，如定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、圖像等.

師：我們說三角函數是描述周而復始的現象，所以它具有周期性，你現在能從函數的角度來描述這一周而復始的現象嗎？

生：當角的終邊繞過一圈后所對應的函數值是一樣的時，也就是具有周期性.

生：終邊相同的角三角函數值是相同的.

師：至此，我們就用三角函數的模型來刻畫圓周運動這一周而復始的運動.我們發現談到轉一圈、兩圈等整數圈的時候對應的三角函數值是不變的，那終邊轉半圈、四分之一圈時的三角函數值又會有哪些變化，這是我們之后要學習的內容.

師：在學習的過程中，因為初中所學的角度不能解決現有的問題，引入了任意角的概念;因為函數定義和簡化運算的需要，引入了新的度量角的單位;因為角的重新定義，對三角函數進行再一次的定義.數學發展是曲折的，很多問題從提出到解決往往要經歷好幾個世紀，才能構造新的體系來解決問題，比如微積分的創立、數系的擴充.

反饋評價：引導學生思考從生活中數系是怎么擴充的，從數學內部數系又是怎么擴充的，讓學生再次體會數學的發展過程，樹立解決問題的信心和勇氣.

三、回顧與反思

（一）為何要上引言課

所謂深度學習，就是指在教師引領下，學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程.在這個過程中，學生掌握學科的核心知識，理解學習的過程，把握學科的本質及思想方法，形成積極的內在學習動機、高級的社會性情感、積極的態度、正確的價值觀;成為既具有獨立性、批判性、創造性又有合作精神、基礎扎實的優秀的學習者，成為未來社會歷史實踐的主人.[1]

引言課的主要目的是在學科的分支的第一節課上帶領學生“游花觀景”，向學生介紹為什么要學習該章節的內容（Why）;通過一些簡單有趣典型的例子揭示學習的主要知識脈絡及思想方法，即學習哪些內容（What）與從什么方向來研究這些內容（How）.一言以蔽之：了解過去，展望未來，激發興趣;一斑窺豹，充滿期待，再創輝煌[2].引言課數學大單元教學，給學生提供了一種新型的研究問題以及學習的方式，在傳統的零碎的知識上首先有個大概的框架，接下來就是自主完善框架的過程.在這樣的引導下，學生就有了自己去探究未知問題的意識，并能領會到探究未知世界的樂趣.利用章引言課搭建的學科基本結構將更為完整，更利于學生深刻理解概念及其相關的數學知識，幫助學生形成數學概念的“大觀念”，引導學生像“數學家一樣思考”，有利于學生數學認知結構的良好構建，形成有助于未來發展的核心素養.

（二）怎樣上好引言課

大單元教學著眼于一個“大”字.首先體現的教學內容的“大”，教學內容不再局限于單篇單節內容，而是對一個章節或一個主題內容的整合再現的過程，注重知識的生成，重視學生當下學習的內容與前后所學習內容的聯系;其次體現在教學視野的“大”，教學不再只盯著書本知識與考點，而是拓展到課外的學習與生活，注重數學與生活的聯系，與歷史的聯系，實現文化育人的目的.

引言課要盡量挖掘即將學習的這一章節中既具有典型性、趣味性、藝術性等人文價值，又能體現主要內容和思想方法的元素，以調動學生的興趣，激發學生對新課的向往.本節課中由生活場景切入，學生體會到數學來源于生活，同時由學生合作的問題中產生的認知沖突，調動了學生思考的主動性，產生解決問題的迫切要求.

大單元教學對學生和老師都是一個挑戰.對學生而言，需要從整體把控學習內容，掌握學習方法，構建屬于自己的知識體系，對重點內容進行深度加工;對老師而言，對單元學習的內容及重難點的把控是最基本的要求，更要弄清要教什么、哪些內容要重點教、哪些內容不要教、哪些內容拓展地教，只有研究清楚授課內容，才能把時間放在真正需要重點關注的關鍵內容上，幫助學生建構知識體系.

郭華老師說：“過去用‘跳一跳摘桃子’來描述學生的‘最近發展區’，實際上是極大地低估了學生可能達到的未來水平，也極大地降低了教師應該對學生學習所起到的幫助作用.學生的未來水平或教學要幫助學生實現的發展水平應該確定為：無論學生自己怎么跳都‘夠不著’，但在教師的幫助下學生能‘夠得著’，這樣才能極大地激發學生的主動性和創造性.”[4]在省骨干教師培中，多位教師對本節內容同題賽課，學生的反饋也各有不同，部分學生感覺沒有學到什么東西，或者太難，或者太模糊，導致沒有收獲.

教之道在于度，學之道在于悟.講多了那就是灌輸，將一章節的內容一節課講完，那就只能灌輸;講少了學生覺得什么都沒有學到，也不知道研究的方向和意義;講沒趣了學生覺得難受，沒有研究的興趣……怎樣把握這個度？怎樣引起學生學習這個章節的興趣？怎樣幫助學生突破難點，達到本不能達到的高度？這就需要教師、要求教師要認真鉆研教材，精心設計問題，激發認知沖突，搭起知識框架，以淺顯的例子說明道理，以思想和文化引領學習，讓學生真正體會深度學習的過程.

（三）本節課的幾點改進措施

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：數學教育承載著落實立德樹人根本任務，發展素質教育的功能，重視數學實踐和數學文化.將數學史融入數學教學，在數學和人文之間架起一座橋梁，在德育上可以發揮獨特的優勢.基于這個理念對本課提出幾點改進措施.

改進1 引入周期現象的時候加入文化背景：最先描述的周期現象都與時間有關.例如，由任何一天離開子午線，直至第二天返回同一子午線的時間間隔被稱為太陽日，太陽日是一種自然界中可以被觀察到的周期現象;月份是月亮重新回到剛升起時那一點所需經歷的周期，由27天組成.在萌芽階段，數學家大多從天體的運動規律出發來研究周期現象.

改進2 在研究三角函數的性質時，強調三角函數具有周期性，引入數學家對周期函數的探索過程，加深學生的印象，引發學生學習數學的成就感.

1904年，泰勒指出：“由于角度的增大，每一個三角函數反復出現相同系列的值，因為稱這些函數為三角函數.”

1909年，格蘭維爾稱：“當角速度增加或減小時，每一個三角函數反復經過同樣系列的值，故稱其為周期函數.”

在課堂中我們能與先哲的想法遙相呼應，也是很有意思的事.

弗賴登塔爾（H.Freudenthal）說數學教育是數學的“再創造”.教學中，我們應當幫助學生學會用數學家的思維思考問題，在教學中融入數學史，可以激發學生的興趣，跨越時空的思想交流，讓學生親近數學、熱愛數學、樹立學習的自信心，成為數學學習的主人，讓學生正確認識數學和數學活動的本質.

知識是數學思想和方法的載體.我們需要幫助學生獲得對數學的理解，這包括知識的本身，更重要的是通過知識，理解數學的思想和方法.上好數學引言課，在數學教學中融入數學史，有助于保持對數學的興趣，給予數學人文的一面，有助于學生理解新知識并對即將要學習的知識有一個總體的把控，對知識間的聯系有更清楚的認識，調動學習新知識的積極性.

【參考文獻】

[1]郭華.深度學習及其意義[J].課程 教材 教法，2016（11）：25-32.

[2]文衛星.解析幾何引言教學實錄——兼談磨課[J].數學通報，2016，55（6）：34-38.

[3]文衛星.“三度”視角下的引言課[J].數學通報，2018（1）：20-22.

[4]郭華.如何理解“深度學習”[J].四川師范大學學報，2020，47（1）：89-95.

[5]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2020.