換元法思想在初中數學教學中的應用

李光寰

（甘肅省莊浪縣南湖中學，甘肅莊浪 744603）

換元法是初中數學常用的思想方法，能夠降低數學知識的難度，強化學生的數學邏輯思維，提高解決數學問題的能力。在新課程背景下，初中數學教學迎來了新的機遇，換元法的應用范圍更加廣泛，給學生提供了更快捷的解題思路，有利于數學綜合素養的培養。但是在實際運用過程中還存在著一些誤區，有的教師設元不準確，有的教師忽視新變量的取值范圍，還有的教師只講述換元理論卻忽視實際訓練，阻礙了學生的思維發散，需要引起高度重視。在實際教學中，初中數學教師應該從學生實際出發積極培養學生的轉化以及化歸思想，設計多樣化的數學實踐活動，將換元法思想融入課堂教學的各個環節，指導學生靈活解決各種數學問題，強化學習的主動性和自覺性，使學生學會辯證地看待數學問題。

一、換元法的應用原則

（一）注意應用性

換元法在應用的時候需要注意場合，并不是每一個數學題都適合換元，有時候學生會出現盲目性，隨意進行換元，從而影響解題效果。在日常學習中，因式分解、不等式證明和求值問題通常會用到換元法，基本思路就是將原有的變量用新的變量替換，使數學問題迎刃而解。在課堂授課時，教師可以靈活使用換元法思想展開教學，逐步滲透換元的理念，使學生掌握換元法的使用技巧，學會將復雜的問題進行合理的分解和轉化，將其變為簡易題目。隨著教育體制改革的深入，中考試卷中的數學題考查范圍更加寬泛，其中有很多題型用到換元法，因此教師要指導學生進行歸納和整合，較好地形成數學能力，實現素質教育的目標。

（二）注重結構性

換元法是一種重要的解題方法，在實際運用的時候要注重結構性，任何一道數學題都有其內在結構，只有把握數學問題的規律，才能夠正確地運用換元法，達到事半功倍的效果。根據數學知識的結構特征，可以通過整體換元法、三角換元法、均值換元法來解題，在不同的題型中具有不同的作用。比如，在遇到根號問題的時候，我們可以選擇三角換元法，將其轉化為三角函數的最值問題。但是當遇到定義域或者奇偶性問題的時候就不適合運用換元法，因為換元會改變原函數的自變量。通常情況下，運用換元法分為四個步驟：第一是設新元，引進適當的輔助元作為新元；第二是換元，用新元代替原問題中的舊元；第三是求解新元，使數量關系形象化；第四是求解原問題的未知元，提高解決問題的能力。

（三）注重等價性

在解決數學問題時，要善于利用變量替換展現出數學知識的本質特征。數學教師要注重等價性，準確把握學生經常犯的錯誤，新變量的允許值和原變量的可取值范圍之間保持等價，否則就會出現偏差，從而影響解題效率。因此，在日常訓練中可以加入針對性的練習，引導學生自主換元和等價轉換，并且說出自己的想法，然后教師做出相應的指導和糾正，這樣有利于學生快速找到問題的突破口，開拓學生的創新思維。等價思想是貫穿整個數學體系的一種重要思想，數學中特別重視等價關系，教師要指導學生用等價思想來解決數學題，從不同的側面去接觸事物的本質，滲透等價的漸進性和長期性。

二、換元法在初中數學教學中的應用策略

（一）高次向低次的換元

方程是中考必考的內容，初中階段接觸到的方程主要包括一元一次方程、一元二次方程、分式方程、二元一次方程組等，牢固掌握這些內容將會極大地提高學生的學習效率。但是有時為了考查學生的數學思維，在試題中會出現求解高次方程的問題，雖然數學教材中沒有涉及，但是只要學生認真思考和嘗試就可以通過換元法進行解答。運用所學數學知識將高次方程轉化為低次方程，這正是換元法的完美體現，有利于學生提高做題的準確率，享受到數學運算的樂趣。在證明不等式的時候也會涉及換元，有時候甚至會聯系到三角函數，但是學生需要注意題目中的陷阱，避免出現錯誤換元，耽誤學生的解題進度。當遇到求方程的根之間的關系時，學生可以利用韋達定理進行換元，把握好題目中的各個條件就很容易找出它們之間的關系。換元的關鍵是設元，設元要根據具體問題而定，學生需要先觀察數學算式，用另一個未知數替換原題中相同的未知數，從而順利地計算出算式的答案。在實際教學中經常會發現有的學生死記硬背換元法，遇到問題只知道套用學過的換元策略，不會去尋找新的換元方案，阻礙了學生的思維。所以，初中數學教師要指導學生抓住關鍵點進行設元，使問題中的隱蔽條件明顯化，讓每一次換元都能夠啟發學生的思維，把換元法的思想理解透徹，進而在考試時做到運用自如。

（二）未知向已知的換元

數學中的轉化比比皆是，為了化繁為簡，初中數學教師要指導學生將未知量轉化為已知量，熟練地運用等價代換，有助于學生更好地把握題意，找到熟悉的解題方向。當遇到難以解決的數學難題時，學生可以轉變思路，將其轉化成若干個自己學過的新題，這樣就可以輕松解答、活躍思維，同時也降低解題失誤的概率。當學生掌握了這種未知轉化為已知的方法，教師可以為學生提供系統化和層次化的訓練，夯實學生數學基礎，促使學生做到舉一反三、觸類旁通。

數學主要研究對象是數量關系和空間形式，學生在現實生活中遇到未知量和已知量關系錯綜復雜時可以考慮運用換元法進行求解，抓住“不變量”，根據對應關系找到解題的線索。學生在審題的時候需要找出能夠表示題目中的相等關系，也就是等量關系，將具體事例轉化成數學問題。有的學生看到數學題目過長或者過于復雜就會出現抵觸心理，缺乏學習的毅力和耐心，這時初中數學教師要做好學生的心理疏導工作，多與學生交流，傾聽學生對換元法思想的認識，從而使學生掌握運用換元法的規律。

換元法并不是孤立存在的，有時候需要與數形結合、分類討論、配方法等結合起來，實現抽象的數量關系與直觀的具體形象的聯系，每次解題都能夠給學生帶來新鮮感，從而激發他們的求知欲和上進心。教師要為學生設計不同類型的數學習題訓練他們靈活換元的能力，使學生逐步樹立換元意識，并通過不懈努力最終掌握不同的換元技巧，優化解題的效果。

（三）正向向逆向的換元

受到傳統觀念的影響，學生已經習慣了運用固定的思維去解題，一旦遇到新的題型就無從入手，很難找到解決問題的辦法。此時，初中數學教師就可以提倡學生轉換思維方式，打破定式思維的束縛，學會運用逆向思維去解題，使學生豁然開朗，鍛煉思維的嚴謹性與周密性。尤其是在求取值范圍問題的時候，如果從正面難以找到突破口，就可以從相反的方向進行驗證，豐富學生的認識，增強思維的雙向性和靈活性。學生可以建立一個錯題本，將平時遇到的逆向換元的題型記錄下來，通過不斷積累和復習使自己的數學水平更上一層樓。另外，求函數值域的時候也可以運用換元法。值域是函數的三大要素之一，它是由函數的定義域及對應法則唯一確定的，因此學生要提高重視，在解題的過程中從多個方向進行思考，從而更好地挖掘題目中的隱含條件。

在新課程背景下，適時地進行逆向思維的訓練是十分必要的，不僅能加深學生對新概念的了解，對整體教材的把握，更有利于對學生思維的啟迪和疑難問題的解決。在代數訓練中可以滲透逆向思維和換元思想，常規的解法就是求出未知數的值，然后將其帶入未知式，最終求出答案。這種方式不但浪費時間，而且非常煩瑣，如果從反方向進行求解將會節省很多時間。在幾何證明題中可以滲透逆向思維和換元思想，在解題時需要注重題型的變化，打破思維限制和理解壁壘，理解它們的互逆關系，靈活地解決問題，強化學生解題的信心。

（四）數值向圖形的換元

在初中數學教學中經常會遇到圖形題，這類題型有一定的難度，需要學生具備豐富的數學知識和熟練的解題技巧，在數值和圖形之間進行合理的轉化，從而使抽象的問題簡單化，掌握換元的精髓。“以形助數”和“以數輔形”是常用的解題方法，初中數學教師要利用多媒體技術制作適合學生的電子課件，指導學生構造圖形等輔助元素，改變題目的形式，有效提高數學成績和綜合素養。例如，在教學拋物線知識的過程中會涉及數形換元，教師可以給學生列舉數學真題或者歷史名題，加深學生的印象。當考試中遇到此類題時能夠巧妙換元，根據已知數量關系很快找出位置條件，避免解題上的偏差。初中數學教師可以開展專題訓練，給學生帶來數值和圖形轉化的各類題型，引導學生把抽象的數學理論知識進行圖形化的處理。在這個過程中，學生要逐漸形成正確的解題觀念，提高自身的思維能力。

在新時期，換元法思想與初中數學的結合備受關注，成為當前初中數學教學的熱點話題。教師可以利用自習時間或者課后時間開展交流會，組織學生共同探討換元法解題的優勢和注意事項，這不僅實現了知識的共享，而且還鍛煉了學生的系統性思維能力。當學生遇到較為復雜的數學題時，教師可以開展小組合作學習，發揮集體的力量，以便擊破難題，解出答案。然后，教師可以對小組表現進行綜合性評價，便于今后更好地開展小組合作，幫助學生樹立自信心。

（五）多元向一元的換元

在求解方程組的時候，體現較多的就是多元向一元的轉化。常見的就是將三元一次方程組變為二元一次方程組，再變為一元一次方程，從而使解題過程變得清晰明了。眾所周知，思想方法才是數學的精髓，是聯系各類數學知識的紐帶，初中數學教師要秉持新課改的精神，通過例題講解的方式呈現數學思路，消除學生的畏難情緒，強化理解運用能力。方程組的學習具有承前啟后的作用，為學習函數打下基礎，因此必須指導學生快速梳理有用的數學信息，優化數學解題思維，逐步降低難度系數，巧妙解決方程問題，使換元法發揮出實踐價值。

初中數學教師還要引入一元一次與多元一次方程經典題目，讓學生挖掘其中的關系和區別，再分析如何巧妙換元，使學生能夠輕松地接受、完善數學知識體系。教師還可以給學生分享一些奧數競賽題——如何通過換元巧妙求解多元不定方程組，讓學生思考不同的換元方法，以此激發學生的創新思維，使數學課堂產生強大的吸引力和凝聚力。

換元法降低了方程的難度，符合學生的理解范圍，確保計算變得更為簡便與快捷，進一步啟發學生的變通思維。分式方程屬于初中教學中的難點，許多學生在處理問題時表現出陌生感，在處理問題時難以靈活應對。為了讓學生更好地掌握分式方程的解題方法，教師要指導學生將分式方程轉化為整式方程，提升數學實踐能力。在求解應用題的過程中，檢驗最終答案要從兩方面入手，一個是檢驗是否是分式方程的解，另一個是檢驗是否符合實際情況。

（六）空間向平面的換元

學生的空間思維和抽象思維還不成熟，在分析問題的時候容易出現漏洞，因此教師要善于運用換元法輔助教學，指導學生將空間問題轉化為平面問題，從而巧妙地替換未知量，確保立體幾何問題得到有效處理。初中數學教材中有多處體現空間和平面的轉化，教師要深入研究教材，總結轉化的形式和規律，逐步開發學生的空間觀念，實現科學簡化操作，增強數學綜合能力。

培養換元思維有助于豐富學生的思維方式，初中數學教師要通過信息技術給學生展示三維立體圖形的變換過程，充分考慮不同學生的感受，開發學生的換元思維及創新能力，有助于學生全方面發展。初中數學教師應該從實際學情入手，指導學生觀察幾何體的結構特征，學會選擇合適的變量去換元，強化空間想象能力，有意識地去發現事物之間的本質聯系，從而更好地學習數學。在日常教學中，有些學生已經能夠將空間問題轉化為平面問題，但是轉化之后卻不知道應該如何運算，最終仍然無法順利解答。這就需要學生發散思維，靈活運用三角函數法、均值不等式、坐標法、導數等等，找到解決問題的最終辦法。換元法思想有多維度、反復性的特征，要求學生多思考、多探究、多嘗試，學會“小題大做”和“大題小做”的解題方法，進行有深度的思考活動，達到深化理解、發展能力的目的。

三、結語

總而言之，換元法思想在初中數學教學中占據重要地位，能將數學知識簡單化，使學生更容易解決數學問題。初中數學教師要勇于創新，引導學生學習和運用換元法，樹立起基本的數學解題思路，并且不斷積累數學經驗，逐步提高數學綜合能力。還要積極探索換元法的應用場景，更好地應對多樣化的數學問題，激發學生的解題興趣，為長遠發展奠定基礎。