以專業(yè)應(yīng)用為導向的研究生數(shù)學教學探索與實踐

陳菁菁 金美含 羅欽

[摘 要] “應(yīng)用數(shù)學”是工科類專業(yè)碩士研究生的必修課。從適應(yīng)當前技術(shù)發(fā)展對人才培養(yǎng)的需求出發(fā)，以專業(yè)應(yīng)用為導向的數(shù)學教學應(yīng)注重融合數(shù)學知識框架構(gòu)建、數(shù)學方法理解應(yīng)用與數(shù)學思維能力訓練三個方面的內(nèi)容。引入全面質(zhì)量管理PDCA理念，教師通過課前、課中、課后的PDCA循環(huán)過程，引導學生將數(shù)學知識、專業(yè)理論研究、解決實際問題構(gòu)建聯(lián)系，重點培養(yǎng)學生抽象思維和系統(tǒng)性思維的能力，為后續(xù)專業(yè)課程及其他相關(guān)學科的學習打下堅實的能力基礎(chǔ)。

[關(guān)鍵詞] 應(yīng)用數(shù)學;碩士研究生教學;專業(yè)應(yīng)用;PDCA循環(huán)

[基金項目] 2019年度廣東省教育廳廣東省本科高校教學質(zhì)量與教學改革工程建設(shè)項目“‘交通運輸’特色專業(yè)”;2021年度深圳技術(shù)大學研究生課程教學案例項目“應(yīng)用數(shù)學”（20213108080002）

[作者簡介] 陳菁菁（1977—），女，湖南新寧人，博士，深圳技術(shù)大學城市交通與物流學院教授，主要從事交通運輸規(guī)劃與管理、應(yīng)用數(shù)學教學研究;金美含（1988—），女（朝鮮族），吉林省吉林市人，博士，深圳技術(shù)大學城市交通與物流學院教授，主要從事時空大數(shù)據(jù)挖掘、應(yīng)用數(shù)學教學研究;羅 欽（1982—），男，湖南瀏陽人，博士，深圳技術(shù)大學城市交通與物流學院教授，主要從事軌道交通運營組織管理研究。

[中圖分類號] G643 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-9324（2022）25-0132-04 [收稿日期] 2022-03-14

科技需要數(shù)學的支撐，計算機、控制論、信息論、計算數(shù)學、博弈論等具有強大生命力的數(shù)學分支都是新技術(shù)的堅實基礎(chǔ)。數(shù)學應(yīng)用與行業(yè)發(fā)展相輔相成。數(shù)學是工程實踐的重要基礎(chǔ)，是研究生必備的基礎(chǔ)知識。利用數(shù)學工具解決工程問題的能力是工科研究生能力培養(yǎng)中非常重要的目標。一方面，傳統(tǒng)的數(shù)學教學偏重理論推導，缺少數(shù)學在工程中的應(yīng)用，特別缺乏專業(yè)針對性強的應(yīng)用;另一方面，技術(shù)和行業(yè)的發(fā)展，對數(shù)學應(yīng)用能力提出了新的要求，需要加強數(shù)學教學內(nèi)容與工程實際需求的緊密結(jié)合。

一、基于專業(yè)應(yīng)用構(gòu)建數(shù)學知識框架

數(shù)學是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間及信息等概念的一門學科，其分支龐大，內(nèi)容深奧，應(yīng)用廣泛，在數(shù)學教學中不可能面面俱到。而不同專業(yè)研究生的研究領(lǐng)域差異明顯，對數(shù)學知識的學習需求也存在差異。在數(shù)學知識內(nèi)容選擇上，教師應(yīng)分析專業(yè)領(lǐng)域的核心理論和發(fā)展趨勢，突出關(guān)鍵應(yīng)用，有重點有選擇地講授數(shù)學理論知識。同時，關(guān)注專業(yè)發(fā)展中新研究范式的變化對數(shù)學知識的更新和補充，為學生構(gòu)建與本專業(yè)或研究方向相關(guān)性強的數(shù)學知識框架，為今后的研究工作開展奠定有效的基礎(chǔ)。

（一）選擇面向?qū)I(yè)應(yīng)用的數(shù)學知識點

教師可以根據(jù)專業(yè)需求對數(shù)學能力的要求，來選擇教學內(nèi)容知識點。以交通運輸專業(yè)為例，該專業(yè)方向的研究生主要以交通系統(tǒng)為研究對象，面向由千萬級個體出行需求與多種交通方式供給構(gòu)成的復(fù)合網(wǎng)絡(luò)，研究其構(gòu)建和運行的相關(guān)問題。

在面向交通運輸專業(yè)研究生的應(yīng)用數(shù)學課程中，除了常規(guī)概率統(tǒng)計、運籌學等基礎(chǔ)數(shù)學知識點外，根據(jù)交通行業(yè)發(fā)展和研究新范式的引入，增加復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論和大數(shù)據(jù)分析方法等針對性強的知識點。交通運輸專業(yè)涉及的教學知識點如表1所示。

（二）梳理關(guān)鍵數(shù)學知識點的應(yīng)用體系

當知識點以一種層次網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的方式進行儲存時，可以大大提高知識應(yīng)用時的檢索效率。教師針對關(guān)鍵知識點，以專業(yè)應(yīng)用為導向，建立該知識點的結(jié)構(gòu)，幫助學生將碎片化的知識點加以歸納和整理，按層次排列，使之條理化、綱領(lǐng)化，做到綱舉目張。教師通過數(shù)學原理講解和專業(yè)應(yīng)用案例分析，比較不同數(shù)學方法的差異，特別是針對實際問題時不同數(shù)學方法應(yīng)用的優(yōu)勢和局限性。

以交通出行預(yù)測應(yīng)用為例，對于交通運輸專業(yè)研究生而言，交通出行預(yù)測是該研究領(lǐng)域的基礎(chǔ)，數(shù)學模型是出行預(yù)測的重要手段。在教學過程中，一方面，從數(shù)學原理層面講解各類預(yù)測模型的基本原理、發(fā)展趨勢、模型改進方向等;另一方面，結(jié)合該專業(yè)應(yīng)用的不同細分領(lǐng)域，梳理出數(shù)學模型的應(yīng)用體系[1]，引導學生構(gòu)建數(shù)學知識與專業(yè)應(yīng)用的聯(lián)系。

二、基于案例教學設(shè)計數(shù)學思維能力訓練

在研究生進入獨立研究階段，往往會出現(xiàn)遇到問題找不到解決思路，知道數(shù)學原理卻無法有效與專業(yè)研究進行對應(yīng)的問題。研究生的“應(yīng)用數(shù)學”課程具有理論與應(yīng)用的雙重屬性，比較適合作為學生思維能力訓練載體，且以專業(yè)為單元的教學規(guī)模、小班化教學，具備開展思維訓練的可行性。

通過案例教學將知識講授、思維訓練融為一體，是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象思維和解析實際問題能力的有益嘗試[2]。教師可以利用案例式教學法，以專業(yè)研究的熱點和難點為切入點，結(jié)合專業(yè)實際問題特點，針對主要知識點模塊，收集典型案例，重點講授數(shù)學應(yīng)用思想和科學分析方法在專業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用。教師可以設(shè)計循序漸進的課堂討論和頭腦風暴環(huán)節(jié)，聚焦某一個問題展開深入討論，包括實際問題與數(shù)學模型的差異性討論、數(shù)學假設(shè)的合理性討論、數(shù)學解析的局限性討論、實際問題的復(fù)雜性討論等。

（一）對現(xiàn)實問題的抽象分析能力

抽象能力就是在思維活動中，通過對事物整體性的科學分析，從復(fù)雜問題中剖析出問題的主線和主要因素，將問題一般化，以分析、綜合、比較為基礎(chǔ)，為判斷和推理提供前提條件，是實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型或數(shù)學分析的關(guān)鍵，也是工科研究生開展研究工作的必備素質(zhì)。

教學過程中，教師可以以專業(yè)實踐中的案例為切入點，聚焦學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題能力的訓練。可以遵循以下步驟來開展課堂教學工作：（1）教師選擇行業(yè)熱點研究問題，拋出該問題的現(xiàn)象，通過課題互動討論，啟發(fā)學生思考，并共同總結(jié)問題的核心，特別要注意問題的邊界條件。（2）聚焦某一核心問題進行分析，采用5W1H框架（如表2）分析問題要素，定位問題方向和關(guān)鍵要素。（3）引導學生嘗試將具象問題抽象為一般問題，再選擇數(shù)學方法，鼓勵學生提出不同的方法選擇，并對比不同學生在這個過程中的思考，學生間互相啟發(fā)，有助于提升學生的積極性，也可以從中發(fā)現(xiàn)學生個體思維差異。

（二）構(gòu)建專業(yè)邏輯與數(shù)學邏輯的關(guān)聯(lián)

研究生的培養(yǎng)更加注重學生在專業(yè)領(lǐng)域的深度研究能力，而數(shù)學能力是研究能力向縱深發(fā)展的堅實基礎(chǔ)。但他們往往無法將數(shù)學邏輯與專業(yè)邏輯進行深度融合，影響了數(shù)學方法應(yīng)用的有效性。在教學過程，針對現(xiàn)實問題，通過問題剖析和數(shù)學方法的運用，把一個現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學可以解析的問題，并進行求解，得到經(jīng)數(shù)學分析得出的結(jié)論。同時，需要把這個結(jié)論還原到現(xiàn)實問題中，解釋現(xiàn)實問題，轉(zhuǎn)化為決策能力，進而提升解決問題的能力。

在課堂上，教師和學生通過專業(yè)或行業(yè)熱點問題相關(guān)案例剖析討論，針對案例的應(yīng)用場景，啟發(fā)學生建立專業(yè)邏輯與數(shù)學邏輯的關(guān)聯(lián)。一方面，可以圍繞某一個數(shù)學理論或原理，選取專業(yè)相關(guān)的多個實例，讓學生從不同的角度理解某一個理論原理的多維度應(yīng)用。比如，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論可以應(yīng)用于交通網(wǎng)絡(luò)分析，這一理論既可以針對靜態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征進行研究，也可以針對動態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)的可達性進行研究。另一方面，從某一個專業(yè)的典型案例出發(fā)，將多個數(shù)學理論原理串聯(lián)起來，讓學生理解數(shù)學應(yīng)用的交叉性和復(fù)雜性，比如關(guān)于交通設(shè)施設(shè)備管理優(yōu)化，既會涉及運籌優(yōu)化模型，又會涉及大數(shù)據(jù)分析方法。

（三）貫穿系統(tǒng)性思維

對于研究生而言，不論是探索性研究，還是宏觀態(tài)勢研究和微觀機理研究，系統(tǒng)性思維能力的培養(yǎng)尤為重要。在對數(shù)學知識點的針對性、局限性、關(guān)聯(lián)性有較為全面認知的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學生在宏觀上思考其在整個數(shù)學理論中的作用以及與其他理論之間的聯(lián)系，在微觀上思考其概念本身的深度，其具有的特點、滿足的性質(zhì)及發(fā)展的趨勢等，這些是構(gòu)建學生系統(tǒng)性思維的有效方法。

教師在案例講解中，設(shè)計多個環(huán)節(jié)，有意識地讓學生把特定問題放到全局中思考。比如，在將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學問題時，提出諸如問題邊界在哪里、問題邊界是否會影響數(shù)學模型的構(gòu)建、數(shù)學模型的約束條件是不是反映了問題在全局中的位置等問題，提示學生思考的維度和廣度。在案例總結(jié)環(huán)節(jié)，鼓勵學生從更多的角度思考已經(jīng)有答案的問題，突破局部思維的局限，提出解決的方法，數(shù)學模型的求解結(jié)論應(yīng)符合更多元的實際場景。在課程報告撰寫環(huán)節(jié)，要求學生將課堂上案例分析采用的數(shù)學方法拓展到類似領(lǐng)域，并進行可行性論證和闡述。

三、基于PDCA循環(huán)理念的教學實施設(shè)計

在以專業(yè)應(yīng)用為導向的研究生數(shù)學教學過程中，強調(diào)思維能力的訓練和培養(yǎng)，強調(diào)與專業(yè)研究的深度融合。這種教學有別于傳統(tǒng)的以經(jīng)典教材為主導的數(shù)學教學方式，需要不斷根據(jù)學生的反饋，了解學生對知識的理解和能力的變化，適時反思總結(jié)教師和學生在“教與學”過程中可優(yōu)化提升的部分，才能夠達到螺旋提升的目標。借鑒全面質(zhì)量管理PDCA循環(huán)的理念，通過Plan（計劃）、Do（執(zhí)行）、Check（檢查）和Assess（評估）四個環(huán)節(jié)的不斷循環(huán)，持續(xù)改進過程和方法。按照PDCA四個階段設(shè)計課內(nèi)課外相結(jié)合的教學任務(wù)（如表3所示），以專業(yè)案例教學為中心，對每個案例教學進行回溯總結(jié)，并形成“教與學”雙向反饋模式，評估每一個案例教學的有效性，為教學的持續(xù)改進提供依據(jù)。

結(jié)語

以專業(yè)應(yīng)用為導向是研究生數(shù)學教學的核心目的，無論是數(shù)學知識和專業(yè)案例的針對性選擇，還是學生的思維能力訓練，都需要相關(guān)教學環(huán)節(jié)的精細化設(shè)計，對授課教師的專業(yè)素養(yǎng)和數(shù)學能力都提出了更高的要求。本文提出通過課前、課中、課后的PDCA循環(huán)過程，融入啟迪數(shù)學思維的過程訓練，啟發(fā)學生構(gòu)建專業(yè)領(lǐng)域數(shù)學知識框架，重點強調(diào)數(shù)學方法的理解和應(yīng)用分析，以引導學生將數(shù)學知識和專業(yè)理論研究和實際問題解決建立聯(lián)系，為后續(xù)專業(yè)課程及其他相關(guān)學科的學習和自主學習打下堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻

[1]劉麗華，王煒，華雪東，等.城市交通需求預(yù)測理論與模型研究綜述[J].科學技術(shù)與工程，2021，21（30）：12804-12813.

[2]江志超，鄧鳳茹，畢曉華，等.案例教學法在研究生數(shù)值分析課程教學中的應(yīng)用探究[J].北華航天工業(yè)學院學報，2017，27（6）：40-42.

Exploration and Practice of Graduate Mathematics Teaching Guided by Professional Application： Taking the Course of Applied Mathematics for the Graduates of? Transportation Major as an Example

CHEN Jing-jing， JIN Mei-han， LUO Qin

（College of Urban Transportation and Logistics， Shenzhen Technology University， Shenzhen， Guangdong 518118， China）

Abstract： Applied Mathematics is a compulsory course for the graduate students majoring in engineering. To meet the needs of talent training under the background of current technological development， mathematics teaching oriented by professional application should pay attention to the integration of the three aspects of mathematical knowledge framework construction， the understanding and application of mathematical methods， and the training of mathematical thinking ability. By introducing the PDCA concept of comprehensive quality management， teachers can guide students to build a connection between mathematical knowledge， professional theoretical research， and practical problem-solving through the PDCA cycle process of before-class， during-class and after class， focusing on cultivating students’ abstract thinking and systematic thinking ability， so as to lay a solid foundation for the learning of the follow-up professional courses and other related courses.

Key words： Applied Mathematics; master’s degree teaching; professional application; PDCA cycle