初中數學解題中隱形條件的挖掘

王根全 孫蕾

【摘要】隱含條件是在初中數學的解題當中具有兩面性的作用，一方面它需要學生對題目進行細致的分析，增加學生解題的時間，加大學生解題難度，但另一方面它們能夠為學生后續的解題提供方向，提高學生的解題效率.因此在日常解題中，教師要鼓勵學生合理挖掘隱含條件，總結隱含條件的挖掘方法，培養科學的解題習慣，在快速的解題過程中提高解題能力.

【關鍵詞】初中數學;隱形條件;解題能力

1 利用已知條件進行挖掘

對于某些題型，隱含條件一般就藏在已知條件之中，需要學生對已知條件進行轉化思考，發現其與結論的另一種內在聯系.在以往的解題中，學生往往只能注意到已知條件帶來的直接結論，不會對它們進行更深層次的思考，忽略了隱藏條件的推理，這樣不僅會降低解題效率，還可能導致解題失誤.因此，學生要善于對已知條件中的隱含條件進行挖掘，實現對條件的靈活運用，提高解題的能力.

例1 已知菱形ABCD的邊長為5，其對角線相交于點O，且AO、BO的長度x是方程x2+（2a-1）x+a2+3=0的解，請確定函數中a的值.

分析 此題所給得條件主要有菱形的邊長以及函數解析式的形式，需要求解其解析式中的未知數a.

根據一元二次方程中根與系數的關系可以知道：m+n=1-2a和mn=a2+3這兩個條件，但是m與m都是未知的，無法求解未知數a的值.此時需要結合題目中的已知條件“菱形”以及“邊長為5”來挖掘隱含條件：菱形的對角線互相垂直，即對角線的一半與菱形的邊可以構成一個直角三角形，故有：m2+n2=52.然后將m2+n2化為m+n和mn的形式，將其代入到方程中就可求得a的值.

解答 設菱形線段AO、BO分別為m、n，可知m、n為一元二次方程x2+（2a-1）x+a2+3=0的根.

所以 m+n=-ba=1-2a，mn=ca=a2+3，

由于菱形的對角線互相垂直，則AO、BO與菱形的邊AB構成一個直角三角形，

所以 m2+n2=52，

因為m2+n2=（m+n）2-2mn，其中m+n=1-2a，mn=a2+3，

所以 （1-2a）2-2（a2+3）=25，

所以 a2-2a-15=0，

解之得 a=5或a=-3.

2 利用數形結合進行挖掘

數形結合的思想本身就是在圖形中實現對隱含條件的挖掘，這類方法一般會出現在函數題或是幾何題中，需要學生將直觀的圖像與代數公式聯系起來，比如從圖像中發現代數公式的約束條件或是對分類討論的情況進行排除，這種基于數形結合思想的隱含條件挖掘法能夠大大地簡化解題過程，優化學生的解題思路，提高學生解題的效率和能力.

例2 已知二次函數y=k（x+a）2+b，其圖像經過點M（-9，4），其頂點與原點O的距離為13，其圖像的對稱軸為x=-12，求該解析式的完整形式.

分析 首先結合題目中給出的已知條件整理出已知的參數：由于其解析式為y=k（x+a）2+b，則其對稱軸為x=-a，頂點坐標為（-a，b），結合題目信息可知：-a=-12，a=12.然后根據剩下的信息繪制出函數的大致圖像，并挖掘圖像中的隱含條件：由于其頂點與原點O的距離為13，根據數形結合利用勾股定理可知：a2+b2=132這一隱含條件，已知a=12，則b=±5.又因為其圖像經過點M（-9，4），將x=-9，y=4代入到解析式即可知關于k的方程：4=k（-9+12）2±5，解之可得k有兩個值分別為1和-19，最后將k值代入即可得出原函數的解析式形式.

解答 根據函數解析式的形式y=k（x+a）2+b，

可知 圖像的對稱軸為x=-a，頂點為（-a，b）;

因為圖像的對稱軸為x=-12，所以-a=-12，a=12，

又因為其頂點與原點O的距離為13，結合勾股定理可知a2+b2=132，

所以 b=±5，

因為函數圖像經過點M（-9，4），將其代入函數解析式

可得 4=k（-9+12）2±5，分別求解

可得 當b取-5時，k1=1;

當b取5時，k2=-19，

綜上所述，函數解析式為：y=（x+12）2-5或y=-19（x+12）2+5.

3 利用取值范圍挖掘隱形條件

在初中數學題目中，尤其是函數類題目中，其函數值的取值范圍或是定義域本身的取值范圍都會直接影響到最終的結論.因此學生在解答這類題目時，首先要對函數的值域和定義域的取值范圍進行確定，通過對函數形式的變形等挖掘那些隱藏在取值范圍內的隱含條件，簡化后續的解題步驟，實現解題效率的最大化，提高題目求解的準確率.

例3 已知函數y=f（x）=-12x2+x，試確定是否存在實數a、b，當x的取值范圍為[a，b]時，函數值y的取值范圍是[2a，2b].

分析 此題常規的解法是分類討論法，即分三種情況對a、b的值進行討論求解.將a、b的取值分為a≤b≤1，b≥a≥1以及a≤1≤b三種情況，然后結合二次函數的圖像位置進行分類討論，這樣的解法過于耗時，且步驟比較復雜.在該題中，學生應該聚焦于函數本身的形式，通過對函數表達式進行變形來提前確定函數值域，即從取值范圍挖掘隱含條件：f（x）=-12x2+x=-12（x-1）2+12，則隱形條件為f（x）≤12.這樣就可以大大縮小a、b的取值范圍，只取上述三種情況的最后一種情況：a≤b≤1，然后將（a，2a）、（b，2b）代入函數表達式中，通過解方程即來確定a、b的值，若方程可解則說明存在實數a、b，當x的取值范圍為[a，b]時，函數值y的取值范圍是[2a，2b].

解答 已知f（x）=-12x2+x，

其形式可化為 f（x）=-12（x-1）2+12，

所以 f（x）≤12，當且僅當x=1時取等號.

根據題目中函數值y的取值范圍是[2a，2b]，

所以 2b≤12，即b≤14.

根據題目可知

f（a）=2af（b）=2b，

所以 -12a2+a=2a-12b2+b=2b，

又因為 a≤b≤14，

所以 a=-2b=0，

所以當a=-2，b=0時，函數值y的取值范圍為[-4，0].