運用逆向思維巧解數學問題

封回美

【摘要】逆向思維能夠解放學生的思維方式，能夠加強學生數學思維的廣度與深度;靈活應用逆向思維有利于優化初中解題教學的質量與效率.因此，數學教師要從概念、公式、解題方式等多角度出發，指導學生從對立面發散思維，從求解倒推回已知條件，從而另辟蹊徑，以逆向的思路來輕松解決難題，從最本質的角度提升學生的解題能力.

【關鍵詞】逆向思維;解題能力;發散思維

多數初中生經過長時間系統化的數學學習，已經初步形成了自己固定的思維方式.而在數學解題中，這種一成不變的定式思維容易禁錮學生的解題靈感，使得數學解題思路復雜化.針對這種問題，教師要指導學生從對立面發散思維，從求解倒推回已知條件，從而另辟蹊徑，以逆向的思路來輕松解決難題.由此可見，靈活應用逆向思維有利于優化初中解題教學的質量與效率，鍛煉學生數學思維的深度與廣度.

本文例舉了利用逆向思維解題的典型例題，綜合分析，提出了在初中數學解題教學中培養學生逆向思維的可行策略.

1 逆向思維在初中數學解題中的具體應用

相比傳統的思維方式，逆向思維更能夠激發學生的創造性思維，有利于打破僵化的解題模板，進而拓寬數學課程的邊界，開辟全新的解題思路.學生利用逆向思維進行數學解題，能夠將解題條件化隱為顯，將數學問題化難為易，將解題思路化繁為簡，從而高效提升數學解題的效率與準確性.逆向思維已經深入滲透著初中數學題的各個領域之中，發揮著不可替代的重要作用.本文從三角形相關問題、不等式和一次函數這三個知識點出發，簡單分析利用逆向思維解題的典型例題.

1.1 利用逆向思維，巧解不等式

以不等式問題的解題教學為例，教師可以充分利用逆向思維，按照反設-歸謬-結論的步驟，證明結論的可行性.

例如設x，y都是正數，且x+y>2，試用反證法證明1+x<2y和1+y<2x中，至少有一個成立.

證明 假設1+x<2y和1+y<2x都不成立，則有+x≥2y和1+y≥2x，

將兩式相加得 2+（x+y）≥2（x+y），

所以x+y≤2，這與x+y>2矛盾，

所以1+x<2y和1+y<2x中至少有一個成立.

1.2 利用逆向思維，巧解三角形問題

在解決三角形相關問題的過程中，逆向思維能幫助學生更好地拓展思路，根據題目的求解與特點，來靈活巧妙地運用相關的定理與性質.教師可以以勾股定理逆定理這一教學內容為例，向學生分析逆向思維的具體應用.勾股定理逆定理從勾股定理的對立面進行思考，充分體現了逆向思維，幫助我們更靈活高效地判定直角三角形.

例如已知△ABC，三邊長分別是a、b、c，a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1（n>0），求證△ABC是直角三角形.

證明 因為n>0，

所以2n2+2n+1>2n2+2n>2n+1，

即c>b>a，

又因為a2+b2=（2n+1）2+（2n2+2n）2

=4n4+8n3+8n2+4n+1，

c2=（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，

所以a2+b2=c2 ，

根據勾股定理思維逆命題可得，△ABC是直角三角形.

1.3 利用逆向思維，巧解一次函數

一次函數知識點是初中數學課程的重難點.由于初中生尚未形成系統化的數學思維，難以靈活應用數學公式，因此多數學生難以深入掌握一次函數知識點，無法快速解答一次函數的相關問題.針對這個教學問題，教師便可以指導學生利用逆向思維，幫助學生深化對于一次函數知識的理解與掌握.

例如 以“當k>0時直線經過第一、三象限，由左到右遞進上升;當k<0時，經過第二、四象限，由左到右下降”這一定義法則為例，教師可以指導學生先掌握該定義法則.再利用逆向思維，將其轉換為“直線經過一、三象限時，由左到右上升，k>0;直線經過第二、四象限時，由左到右下降，k<0.”從而有效鍛煉學生的逆向思維，幫助學生高效解題.

2 在初中數學解題教學中培養學生逆向思維的可行策略

2.1從基礎概念出發，培養學生逆向思維

逆向思維的培養要細化到數學教學的各個環節之中.基礎知識教學是初中數學課程的重要環節.教師在傳授數學基礎概念時，要深入分析知識點的內涵與外延.

對于部分具有互逆性、雙面性的數學概念，教師可以采用“先正后逆”的教學方法，指導學生雙向思考，深化學生對概念的理解與掌握.并打破學生的定式思維，培養學生從多角度思考的解題習慣.這不僅僅能夠優化初中數學理論教學的質量，還能夠鍛煉學生思維的靈活性與廣泛性，在本質上提升學生的數學學習能力.

例如 “相反數”這一教學內容，教師便可以從正反兩個角度進行設問：“7的相反數是什么？”、“0.3的相反數是什么.”、“-4和什么互為相反數.”這能促進學生更全面地理解相反數的概念，從而熟練地求出一個已知數的相反數.

例如 一元二次方程這一知識點的教學過程中，教師便可以引導學生從正反兩個角度來理解“根”的概念.教師要先找準教學切入點，從正向角度出發，分析基礎概念：若x1、x2是方程ax2+bx+c=0的兩根，則ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0.進而引導學生利用逆向思維，從反向教學出發，分析基礎概念：若ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，且x1≠x2，則x1、x2是方程ax2+bx+c=0的兩根.比起傳統的單向教學，“先正后逆”的策略能在日常的基礎教學中循序漸進地培養學生的逆向思維，引導學生形成辯證思考的解題習慣，鍛煉學生數學思維的系統性與全面性.

2.2從數學公式出發，培養學生逆向思維

在數學解題教學中數學公式發揮著至關重要的作用，是學生解決數學問題的必要工具.數學公式的內容是一成不變的，但數學公式的形式卻是千變萬化的.倘若學生懂得靈活變換公式，就能夠快速找準破題點，高效解決數學難題.然而多數學生的公式運用能力有限，他們對于數學公式的掌握僅僅止于機械記憶，而沒有正確認識公式的雙向性，難以得心應手地運用公式，無法充分發揮數學公式在解題中的作用.

針對這個問題，教師便應該加強逆向指導，通過變式的手段來鍛煉學生的逆向思維，幫助學生開展深層次的數學學習.

例如平方差公式的教學過程中，學生倘若只是死記硬背，將難以高效的運用.因此教師應該指導學生將公式a2-b2=（a+b）（a-b），轉化為a2-b2= a2-ab+ab-b2，再消去-ab、ab兩項.通過簡單的逆向推導，使得抽象的公式變得一目了然，在鞏固學生基礎知識的同時，也培養了逆向思維.

例如 在正弦定理的教學過程中，教師可以先進行驗證推導，得出正弦定理公式：asinA=bsinB=csinC= 2，r=D.幫助學生初步掌握正弦定理的內在規律.進而循循善誘，引導學生發散逆向思維，開展多維度的分析思考，要求學生思考正弦定理的變式形式.

最后，教師要鼓勵學生積極發言，認真傾聽學生的回答.進行梳理總結，列出正弦定理的所有變式形式;

1、a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC;

2、asinB=bsinA;bsinC=csinB;asinC=csinA;

3、a：b：c=sinA：sinB：sinC.

從而給予學生獨立思考的機會，有效開拓學生的思路，幫助學生將所學知識吸收內化為自身能力.

2.3 從解題方法出發，鍛煉學生逆向思維

在傳統的填鴨式教育中數學解題教學普遍存在模板化的問題.這便嚴重導致多數學生的解題思路被模板所禁錮，缺乏創新與多樣性.在解題過程中，學生常常因為思維的僵硬固化，而沒有靈活運用逆向思維，使得解題效率低下.因此教師必須打破模板，傳授給學生多元化的解題方法，指導學生正確應用逆向思維.

一是反證法.反證法是一種間接證法，其巧妙地應用了逆向思維，能夠構建快捷高效的解題思路.反證法通過提出結論的對立面來制造矛盾，例如與已知條件矛盾;與已知的公理、定義、定理、公式矛盾;與反設矛盾;自相矛盾.進而分析矛盾，證明結論的對立面的不可行性，從而來證明結論的可行性.教師要指導學生熟練掌握反證法，按照反設-歸謬-結論的步驟，將其靈活應用至代數、立體幾何、解析幾何等等知識領域.

二是舉反例法.在判斷數學命題時，只要可以舉出該命題的反例，便能證明該命題為假.教師可以指導學生通過文字、數據和圖形這三個形式，舉出簡單、清晰、有力的反例，幫助學生認識數學知識的本質屬性，引導學生辯證地思考數學問題.

三是倒推分析法.正向思維和逆向思維兩者密不可分、相輔相成.教師應該指導學生先應用正向思維進行思考，進而在正向思維的基礎上合理應用逆向思維.

例如 當學生應用正向思維解題遇到困難時，教師應該指導學生采取倒推分析法，從結論出發，分析充分條件，最后倒推至已知條件來反向證明結論.學生掌握了這三種解題方法，便能做到雙管齊下，從正反兩個角度出發，利用發散性思維與創造性思維，高效開展數學解題.進而充分鍛煉自身數學思維的深刻性與條理性，循序漸進地培養自身的逆向思維.

2.4 從解題運算出發，鍛煉學生逆向思維

運算是數學解題的關鍵步驟，其在極大程度上影響著學生的解題效率與解題準確性.而逆向思維被廣泛應用至初中數學解題運算步驟之中.因此，教師要引導學生了解運算方式之間的互逆關系，幫助學生利用逆向思維，更加靈活高效地開展數學運算.

例如（1）已知∣a-2∣+（b-3）2=0，求代數式a2+3ab-b3的值.

（2）已知x2+x-1=0，求代數式2x3+4x2+3的值.

分析 （1）先應用非負數的知識，求出a、b后，再直接把a、b的值代入式子就可以求值了，這使用了直接代入的方法.（2）如果用同樣的方法則很繁瑣，如果用和（1）逆向的思維方法，考慮整體代入，先把已知變為x2+x=1，再把2x3+4x2+3作如下的變化逐步代入：2x3+4x2+3=2x3+2 x2+2 x2+3=2x（x2+x）+ 2 x2+3=2x+2 x2+3=2（x2+x）+3=5.這里在代入的方法上，一個是直接代入字母的數值，另一個是不求出x的值，而是求出x的代數式的值，這是互逆的兩種思維方法.

除此之外，逆向思維還被廣泛應用于加、減、乘、除、多項式乘法等等運算方法之中，其具有不可替代的解題優勢.教師必須加強解題運算訓練，幫助學生掌握多元的運算方式，在無形之中引導學生構建系統化的逆向思維模式.

逆向思維能靈活運用于初中數學的各個領域，是學生解題過程中必不可少的工具.逆向思維能夠打破填鴨式教學下學生僵化的思維方式，鍛煉學生數學思維的廣度與深度.因此教師必須從概念、公式、解題方式等多角度出發，強化逆向指導，從最本質的角度提升學生的解題能力.

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