淺談梯度與等高線的關系

白冬梅

（中國礦業大學 數學學院 江蘇徐州 221116）

一、問題的提出

高等數學的梯度問題教學過程中，經常有學生提出諸如等高線和梯度有什么關系，梯度和方向導數有什么關系等問題。要回答這些問題，需要先理解一元函數的導數和多元函數的偏導數及方向導數等概念。

對于一元函數，自變量只有一個，當x近于x0時，x只能沿直線變動，移動的方向只有左右兩個方向。從幾何角度，一元函數表示二維平面上的一條曲線，曲線上某一點（x0，y0）處切線的方向有兩個，自變量由小變大時，函數值增大的趨勢用導數描述；自變量由大變小時，函數值增大的趨勢由負導數值描述。而對于多元函數，以二元函數為例，自變量有兩個，表示自變量的點（x，y）趨近于（x0，y0）時，不僅可以移動距離，而且可以按任意的方向來移動同一段距離。因此，函數的變化不僅與移動的距離有關，而且與移動的方向有關。而從幾何角度，一個二元函數表示三維空間中的一張曲面，曲面上從某一點（x0，y0，z0）處的切線的方向有無窮多個，自變量沿不同切線方向變化時函數值變化的趨勢則由方向導數描述。

下面我們從方向導數和梯度的概念出發，結合等高線的概念闡述它們之間的聯系。

二、方向導數，梯度

方向導數的計算公式[1]：如果函數f（x，y）在點P0（x0，y0）可微分，那么函數在該點沿任一方向l的方向導數存在。

其中cosα，cosβ是方向l的方向余弦。

方向導數是一個數，反映的是f（x，y）在P0（x0，y0）點沿方向l的變化率。方向導數為正，說明函數在該方向上遞增；方向導數為負，說明函數在該方向上遞減。

梯度[1]：設函數f（x，y）在平面區域D內具有一階連續偏導數，則對于每一點，都可定出一個向量這個向量稱為函數f（x，y）在點P0（x0，y0）的梯度，記作grad f（x0，y0）。

等高線[1]：在xoy平面上，曲線f（x，y）=C稱為函數z=f（x，y）的一條等高線.即取不同C值，在空間坐標系中用平面z=C去截曲面z=f（x，y），將截得的空間曲線投影到xoy平面上既得曲面z=f（x，y）的一條等高線。

三、方向導數與梯度、等高線的關系

將函數f（x，y）在點P0（x0，y0）處的梯度及沿方向l的方向導數聯系起來。定義與方向l同方向的單位向量el=（cosα，cosβ），再利用向量內積的計算公式可得

其中γ為P0（x0，y0）處梯度方向與方向l的夾角。

由（1）式可見方向導數的大小既與梯度的模有關又與γ的大小有關。

若l與梯度的方向相同，即γ=0，cosγ=1

也就是說函數在梯度方向的變化率是正的，且此方向的方向導數值最大，所以函數值沿該方向（梯度方向）逐漸增大且增大的速度最快，從而在梯度方向上函數值由小變大，即梯度方向由函數的低等高線指向高等高線。

以下我們討論等高線上點的切線方向與該點的梯度方向有什么關系？

由以上梯度的定義可知，函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）的梯度向量為：

則梯度向量斜率（即梯度相應于x軸正方向的傾角的正切值）為：

而等高線f（x，y）=C在點P0（x0，y0）處的切線斜率（即切線相應于 x軸正方向的傾角的正切值）為：

從而得到，在點P0（x0，y0）處的梯度向量的斜率與該點處等高線的切線斜率乘積為-1，綜上所述，梯度方向與等高線的法線方向一致，即梯度方向與等高線的切線垂直。

圖2 曲面 z =4-x 2 -y2對應于截面z=3，z=2的兩條等高線平面圖

四、舉例

我們通過高等數學中的典型函數為例，從方向導數，梯度，等高線的概念出發分析它們的用法。

例1

分析

在點（1，-1，1）處的梯度已知，那么函數u在（1，-1，1）處的三個偏導數就已知

例2

用Matlab軟件做出函數z=xy的曲面圖及等高線圖，并分析等高線與梯度的關系。

分析：從圖3可以直觀看出曲面為一個馬鞍面，在[-10，10]*[-10，10]上，該曲面一組對角上翹，一組對角下折。該曲面的等高線圖如圖4。

圖3 函數z =xy 曲面圖

圖4 曲面z=xy的等高線和梯度方向圖

討論：圖4中實線為函數z=xy的等高線，箭頭代表梯度的方向。箭頭越長的地點梯度越大，箭頭所指方向為函數值增大的方向，即曲面上高度增加的方向；且等高線越密集的區域，高度變化越快，反映出曲面坡度的緩陡：等高線稀疏的地方表示緩坡，密集的地方表示陡坡，間隔相等的地方表示均勻坡；兩對等高線凸側互相對稱時，曲面上表現為“馬鞍”形狀，故形象地稱為鞍部，曲面也常被稱為“馬鞍面”。

結語

本文分析了梯度、方向導數和等高線等概念之間的關系，并利用Matlab繪制了具體函數的等高線圖進行輔助教學，增強教學內容直觀性，加強學生概念理解與記憶，同時強化理論基礎與數值編程結合應用。