高職《高等數學》知識育人體系探析*
——“定積分及其應用”為例

秦 娟

（延安職業技術學院 陜西延安 716000）

隨著全國高校思想政治工作會議召開，近年來，實施課程思政逐步從部分高校在“點”上的探索發展為我國高等教育界在“線”上的共識，進而形成“面”上的行動導向，最終構成“體”上的遍地開花。那么要推進課程思政建設，這是一個需要教師長期實踐、不斷探索的過程[1]。

高職《高等數學》課程作為一門面向工科專業開設的重要公共基礎必修課，為學生后續學習專業課程奠定堅實的理論基礎。課程本身蘊含深厚的數學思想及創新思維，對于培養學生的科學精神、邏輯思維及思辨能力具有極其重要的影響。

高等數學的學習是一個由簡及難，不斷遞進的過程，這就好比是建造房屋的勞動過程。數學知識體系好比房屋主框架，學生學習態度、學習方法不同，就會形成自己專屬的裝修風格，從而導致有的學生住的是毛坯房，有的學生住的卻是高樓大廈，讓學生明白只有付出才有回報。

本文依據數學知識邏輯關系，確定了以“一元微積分學”知識主線，分成函數與極限、導數與微分、導數的應用、不定積分、定積分及其應用五個模塊教學內容，形成了“知→析→用→拓”的遞進式知識體系，創設了“點→線→面→體”多維度立體式教學框架，搭建了全面覆蓋、全課育人、全程銜接的《高等數學》課程育人體系。

習近平總書記在2018 年出席博鰲亞洲論壇年會開幕式的演講中曾引用了“積土而為山，積水而為海”，這句話出自《荀子·儒效篇》，喻指成功需要由點滴積累而來，只有堅持不懈，才能實現其量變到質變的過程。下面以“定積分及其應用”為例開展《高等數學》知識育人體系研究。

一、聚焦核心知識，挖掘思政點，點動成線

“定積分”作為一種抽象概念，對于很多學生來說是一個難點，而對于老師來說，不容易對其講解到位，但是“定積分”作為一種思想，不僅體現了傳統文化的博大精髓，而且在實際生產生活中也具有普遍意義[2]。

表1 定積分及其應用

本文以課程核心知識點“識微見遠質為本，積本求原行最真——定積分及其應用”為例，通過用心挖掘數學知識點所映射的思政元素點，并且精心設計教學活動，圍繞數學文化、辯證思維、大國工匠等思政要素，將數學內容蘊含的思政點與教學活動的設計點有機融合，點動成線，開展課程思政案例分析，旨在使學生明白學習就是積少成多、由小見大、日積月累的一個過程，學習的目的就是為了探求其本質，但是要想達到這個目的必須付諸行動，全身動起來“心動、腦動、行動”，讓課堂活起來。

二、圍繞知識邏輯體系，串聯思政主線，線動成面

教師在教學實施過程中，結合數學學科特點，通過專業引領創設情境“知”概念；利用實物展示、數學軟件“析”性質；巧設比喻擬人、趣味練習“用”公式；結合數學文化、社會熱點“拓”應用，使學生在無形中將知識融會貫通，串聯思政主線，進而達成“價值塑造、知識傳授和能力培養”三維目標，逐步實現三全育人的思政效果。

圖1 知識育人框架圖

針對“定積分概念及其幾何意義”知識點，以“積土為山，積水為海”為思政點，抓住“化整為零—近似代替—積零為整—無限逼近”所反映出來的積分思想，通過動畫演示劉徽“割圓術——割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”，使學生感受我國傳統文化的博大精髓，以及古人的智慧，同時教育學生滴水可以穿石的精神，使學生學會用數學的眼光觀察解釋周圍的生活現象，在面對困難時，學會化整為零、各個擊破，在追求夢想時，要學會積零為整、厚積薄發。更要珍惜現在的學習時光，不斷地積累知識和經驗，才能使學習效果實現質的飛躍，將來才能更好地去報效祖國。正如荀子所說：不積跬步無以至千里，不積小流無以成江海！雖然夢想很遠，但是積微方能成著，不放棄不拋棄，一路堅持，希望終究會實現。

圖2 定積分概念分析圖

針對“微積分基本公式”知識點，以“變動不居，積微成著”為思政點，基于辯證思維視角使學生學會善于發現和掌握規律，從變動不居的現象中發現本質，通過實踐而發現真理，又通過實踐而證實真理和發展真理。

針對“反常積分”知識點，以“一反常態，異途同歸”為思政點，激勵學生相信堅持的力量，透過現象看本質，明白“一反常態乃表象，異途同歸才是真”的道理，鼓勵和鞭策學生要努力學習，依據自身優勢，立志成為獨特的自己，彰顯個人風采。

例如，曲線y=ex與x負半軸和y軸所圍成的圖形面積，可以借助定積分的形式與極限思想表示為，簡記為。由于它在形式上與定積分相似，但又有別于定積分，所以我們給它起個名字叫作反常積分。至此，我們了解了反常積分其實是定積分的一種推廣。

在講解平面圖形面積及立體體積時，則以“積銖累寸，厚積薄發”為思政點，引導學生學會多角度思考問題。

例 求曲線y2=2x與y=x-4所圍成的圖形的面積。

圖3 幾何圖形

解法一：先將文字語言轉化成幾何圖形，畫出圖像簡圖，求曲線交點以確定積分區間，聯立兩曲線方程，解出它們的交點。然后選擇積分變量為橫坐標x，積分區間為[ ]8,0，此時圖像的下方邊界由兩條不同的曲線組成，需要以直線x=2把圖像分成 1A和 2A兩部分，分別求出它們的面積為

解法二：同上述方法一樣，先將文字語言轉化成幾何圖形，畫出圖像簡圖，求曲線交點以確定積分區間，聯立兩曲線方程，解出交點坐標，然后選擇積分變量為縱坐標y，其變化范圍為[- 2,4]，于是得體積微元為

由上述兩種方法可以看出，從不同角度觀察圖形，同一個問題可以選擇不同的積分變量，雖然所得結果一樣，但積分變量選擇得當，可使計算簡便、事半功倍；同時一題多解，可以拓寬思維，感受數學魅力。正如帕金所說：“從不同的角度運用知識，知識才能活；只有活的知識才能成為力量”。

三、結合知識面搭建教學框架，面動成體

加拿大數學家詹姆斯斯圖爾特的私宅是一座美得令人驚嘆又帶有強烈個人風格的豪華建筑，他一生的激情所在、最大成就化作曲線凝聚在這座婉轉流動的建筑之中。這種設計正是受了微積分的啟發。因此別墅被命名為“積分之屋（Integral House）”，那么在《高等數學》教與學過程中如何建造數學學習的積分之屋的呢？

通過學生學情分析，對接人才培養方案及課程標準，確定教學目標。為了達成目標，將“知—析—用—拓”四步驟貫穿于不同教學環節，設定對應教學策略。充分利用多種教學資源，合理使用教法學法，激活知識，以知促行，以行踐知，逐步實現三全育人。

圖4 教學策略圖

課前，教師發布任務，學生探索完成，根據完成情況，教師及時調整策略。課中，圍繞“知—析—用—拓”遞進式知識體系，不管是橫向，還是縱向，構建“點—線—面—體”的多維度立體式教學框架。這就好比是建造房屋，萬事開頭難，“知”無疑就是地基的作用，通過融入數學文化、生活現象、動畫演示等變抽象為直觀，引導學生理解知識點，扎實基礎，易化難點。在老師的啟發引導下，學生大膽設疑猜想，軟件輔助分析，并利用口訣巧記等梳理頭緒，攻克難點。在掌握了理論知識后，如何用才是重點，為了突破重點，設計符合學生個體優勢的教學策略：愛玩—趣味練習；不服輸—小組競賽；膽子大—上臺講解；細心—動手實操?？傊?，變優勢為動力，用行動破重點。

數學的學習離不開生活，通過情境創設，建立模型，引導學生應用數學知識解決實際問題，進而將知識內化。基于職教云平臺，對教與學全過程進行多維度的系統評價，發揮導向和激勵作用，以檢驗教與學的效果是否達成。

課后，針對學生的個性化特征，創新作業擴視野，實現學生個性化發展：布置特色作業，豐富知識外延，拓寬學生視野，打造自己專屬的積分之屋。

結語

課程思政的實施貴在愛生之心，重在自然融入，精在嚴謹貼切，妙在畫龍點睛，讓思政之鹽溶于教學之水，才能落實立德樹人根本任務，實現三全育人目標[3]。

依據《高等數學》課程學科特性，找對思政契合點，深度挖掘知識內涵，將數學思維與實際生活結合，讓學生感受到數學之魅，體驗到科學精神、工匠精神、家國情懷、危機感和使命感等思政要素，并熱衷于對數學知識的探索和追求，達到潤物無聲的效果，促進學生智慧生成，從而使數學課堂綻放思政之花，豐收學習碩果。