高等數學一流課程的建設與實踐

孫艷蕊 宋叔尼

東北大學理學院，遼寧 沈陽 110819

在第十一屆“中國大學教學論壇”上，教育部高等教育司司長吳巖做了題為“建設中國金課”的報告，提出了“兩性一度”的金課標準。“兩性一度”，即高階性、創新性、挑戰度。教育部《關于一流本科課程建設的實施意見》指出了一流課程建設的基本原則，其中包含了提升高階性、突出創新性和增加挑戰度。課程目標要堅持知識、能力、素質的有機融合，培養學生解決復雜問題的綜合能力和高級思維。教學方法要體現先進性與互動性，大力推進現代信息技術與教學深度融合，積極引導學生進行探究式與個性化學習。根據這一理念，東北大學（以下簡稱“我校”）自主開發了“大學數學網絡學習平臺”和高等數學MOOC，為學生提供學習平臺與優質資源，以提升學生的自主學習能力。下面主要論述我校高等數學課程在這一方面的建設與實踐。

一、改革教學方法，注重知識、能力、素質的培養

現代化人才的培養應以創新意識和創造性能力的培養為基礎，因此構建創新型人才培養模式是高等數學教學改革的必然要求。以往墨守成規的教學方法和模式顯然不再適合新形勢的發展需要。新時代背景下，加強學生創造力的培養和潛能的開發，將傳統與現代的內容有機結合，合理運用先進技術、科學方法和新理念培養學生的創新素質顯得尤為重要。

數學教學是數學思維活動的教學。數學的思維活動過程大致可分為知識的發生和知識的整理兩個階段。知識的發生是指概念形成、結論被發現的過程；知識的整理是指用演繹的方法進一步理解知識、開拓知識的過程。因此，數學教學不應只是數學知識的講授，而是要展現獲取這些數學知識的思維過程，重視知識的發生過程，探索數學的發現過程。

美國當代認知心理學家哈佛大學布魯納教授指出：“發現不限于尋求人類尚未知曉的事物，確切地說，它包括用自己的頭腦親自獲得知識的一切方法。”因此，我們在講高等數學的每個概念、定理時，應盡量講解其發現過程，引導學生如何去發現、去猜想，激發學生對科學的興趣，增強他們創造的信心，讓他們覺得發明創造離自己并不遙遠。下面舉幾個例子介紹我們的做法。

（一）Lagrange中值定理的“產生”

在講授Lagrange 中值定理前，教師要求學生從幾何角度討論Rolle 定理結論的實質。學生很快發現，定理的結論在幾何的表示曲線上存在一點，該點的切線平行于連接曲線端點的弦。讓學生進一步觀察與思考：如果將Rolle 定理中端點的函數值相等這一條件去掉，還存在相同結論嗎？有的學生發現，將圖形旋轉一下，結論還是成立的。這時可以告訴學生，將這一結論用式子表達出來就是著名的Lagrange 中值定理。學生很興奮，他們了解了“知識發現”的過程，能感覺到發明和創造并不神秘。這不僅增強了學生創造的信心和發明的欲望，而且調動了他們學習的熱情，使枯燥的定理學習變得有趣起來。

（二）Lebesgue積分的“產生”

發現新知識的方法比教授學生科學知識更重要。我們講的定積分是指Riemann 積分，該定義要求函數在討論的區間上有界。問題來了：函數有界是否一定Riemann可積？這時，教師可以引導學生去找反例。從Riemann 和的極限出發，是否有這樣的有界函數：無論怎樣劃分函數的定義區間，函數值在相應的小區間上變化都比較大，使得Riemann 和的極限不存在。在這樣的分析引導下，有學生想到了Dirichlet 函數。通過讓學生研究討論Dirichlet函數在Riemann積分意義下的不可積性，使其發現Dirichlet 函數間斷得比較“厲害”，Riemann積分分割的是函數的定義域，導致Riemann 不可積。引導學生變換一個角度思考問題：可否變分割函數的定義域為分割函數的值域，這樣就能避免Riemann 積分對Dirichlet這樣的函數所產生的缺陷。在這種分析的基礎上向學生介紹Lebesgue 積分，學生會覺得Lebesgue 積分的出現很自然。這既開闊了學生的視野，介紹了新知識，又使學生了解了變向思維、逆向思維的方法。在展現獲取數學知識的思維過程中，作為教師，我們也深深地感受到挖掘科學思維方法比數學活動的結果更重要。

（三）多元函數積分的“出現”

教師在開始多元函數積分的講授之前，先讓學生回憶分析定積分的概念。定積分的概念的實質就是分割、求和、取極限。分割什么？函數的定義域。對什么求和？對分割后得到的各個小區間上任一點的函數值與小區間“度量”的積求和。接下來再分析二元函數。一般來說，二元函數的定義域是平面區域、平面曲線。讓學生類比定積分的定義，給出上述2 種情況“ 分割、求和、取極限”的過程，然后告訴學生這就是二重積分和平面上的第一型曲線積分。這些積分能不能再推廣？再讓他們分析三元函數，做相應的“分割、求和、取極限”，同時給和的極限“取名”。有些學生給出了“三重積分”“空間第一型曲線積分”“曲面積分”的名字和定義。通過這種類比教學，不僅激發了學生的學習興趣，而且給了他們發明創造的信心和方法。

二、將數學建模的思想融入教學中，培養學生解決復雜問題的綜合能力

數學建模是利用數學方法解決實際問題的一種實踐，可將數學建模的思想融入課程教學中培養學生的創新思維和創新能力。傳統的高等數學教學過程一般側重于概念、理論和解題方法與技巧的講解，學生完成高等數學課程后，難以運用數學思想和方法解決實際問題。為此，我們在高等數學的教學過程中，要把數學建模的思想融入課堂教學中。

例如，在解釋了閉區間上連續函數的零點定理后，我們再解釋為什么平時坐的四條腿的椅子總能找到一個放穩的位置。表面上看，這和零點定理無關，但經過分析建模發現，這是一個典型的零點定理應用題。

首先做一些假設：（1）假設椅子的四條腿一樣長，椅子腿是中心對稱的；（2）地面高度連續變化，地面相對平坦，可使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。接下來將這個問題用數學語言描述出來，也就是建立模型：（1）將椅子的位置和四只腳著地的關系表達出來；（2）給出衡量椅腳是否著地的標準；（3）將問題抽象成數學問題。這就是將實際問題轉化成數學問題，即建模的過程。

在每章的最后，教師都給出一個類似小型建模的題目，讓學生可以在課上討論也可以在課后自主完成。例如，在曲線曲面積分部分讓學生證明Kepler 第二定律，在微分方程部分研究懸鏈線方程的建立等。這不僅培養了學生利用所學知識解決復雜問題的能力、數學應用能力，而且培養了學生學習數學的興趣。

三、現代信息技術與教學深度融合，積極引導學生進行探究式與個性化學習

現代信息技術與教育教學的深度融合，促使一流課程建設成為當前高等教育發展的必然趨勢。2010 年以來，我們在相關課題研究的基礎上，集中力量進行了高等數學課程信息化建設，將多媒體引入高等數學課程的教學，自主構建了“大學數學網絡學習平臺”，開發了高等數學MOOC和與之配套的《高等數學》新形態教材。

（一）多媒體引入高等數學的教學

國家名師李尚志教授曾經說過，將“復雜抽象的概念和理論”變成“顯然的東西”是建設精品課程的主要指導思想。而現代信息技術是實現這一思想的重要手段。將現代化教學手段引進課堂并不是簡單地將講義搬上屏幕，而是利用信息技術讓抽象的數學在某種意義上變成啟迪學生思想的“可視數學”。這不僅能培養學生學習高等數學的興趣，活躍學生的數學思維，而且以前很難實現的教學過程也可以輕松實現。我們將信息技術引進課堂，取得了較好的教學效果。

例如，極限的思想、微元法的思想、泰勒多項式逼近函數等內容，這些過去我們只能讓學生去想一個無限的過程，最后得出結論。其論證過程在黑板上根本無法形象、直觀地顯示出來，學生也難以理解。將多媒體教學引入高等數學教學后，利用數學現代化教學手段，以前在黑板上較難表現的函數極限過程、逼近過程，都可以直觀、生動、形象地演示出來，這樣將學生的抽象思維和形象思維緊密地聯系起來，收到了較好的教學效果。例如，講解定積分概念時，借助多媒體課件將求曲邊梯形面積的分割、近似、求和、逼近四個步驟用動畫演示。隨著分割的不斷加細（小矩形無限增加），小矩形面積的和無限地逼近曲邊梯形的面積，直觀上感覺小矩形面積的和已與曲邊梯形的面積重合。通過這一過程的演示，學生進一步理解了極限的思想，也更好地理解了定積分的定義。

現代教育技術的應用使課堂教學更加豐富多彩，生動形象、寓教于樂的啟發滲透式教學過程，既加深了學生對知識的理解，又激發了學生的學習興趣，對提高學生綜合素質起到了顯著作用。

（二）自主研發“大學數學網絡學習平臺”，培養學生的自主學習能力

我們利用信息化技術自主研發了一個“大學數學網絡學習平臺”，平臺包括學習系統和測試系統。學生學習各知識點后，可以進入學習系統自主練習。完成練習后，系統會自動批改并給出習題的解析，有利于學生了解自己對所學知識點的掌握情況。這樣可以促進學生的平時學習，使其注重學習過程，培養學生的自主學習能力。每章結束后，由課程負責人給出測試模板，教師再根據自己的教學進度，生成不同的測試題，學生在規定時間內到數學實驗中心進行測試。測試系統給出成績，學生和教師都可以查看答題情況。教師能通過網絡動態地了解學生自主學習的情況，并對教學安排及時做出調整，對學生進行個性化的指導。

（三）高等數學MOOC的建設

在線開放課程作為一種新興的教育形式，極大地推動了教育教學改革。其不僅改變了學生的學習方式，而且改變了教師的教學方式，給學生的學習提供了更大的自主性，讓學生獲得了更多參與和互動的機會。教學模式從以教師為中心轉變為以學生為中心。這就要求建設更新的教學資源，以滿足新形勢下教育教學的需求，同時，要改變教學方式，以適應學生學習方式的變化。

為了實現教學模式從以教師為中心向以學生為中心教學的轉變，達到培養能力、傳授知識的教學效果。2015 年底，我們開始了高等數學MOOC 的建設，精心設計，名師講解并配以豐富的教學資源以及駐點問題、章節測驗、作業、期末測試、概念辨析、課堂討論等環節。2016 年9 月，我校高等數學MOOC 在“中國大學MOOC”平臺上線，2018年被認定為國家精品在線開放課程。借助MOOC 資源，教師能更好地因材施教，為學生提供個性化授課方式，增強學生自主學習和獨立思考的能力，逐步實現從教師為中心到學生為中心的轉變。

（四）《高等數學》新形態教材建設

為滿足“互聯網+”環境下高等數學課堂教學改革的需要，實現教育教學與信息技術的深度融合，在多年教學改革的基礎上，結合新形勢下大學數學教育教學理念和教學方法的發展，我們開始了《高等數學》新形態教材的建設，并于2019年8月由高等教育出版社出版。

教材注重初等數學和高等數學的銜接。初等數學和高等數學在研究內容和研究方法方面有很大的不同，做好初等數學向高等數學的過渡是非常有必要的。在引言中，我們從問題出發，列舉一些初等數學可以解決的問題，如勻速直線運動的速度與路程、規則圖形的面積與周長、有限個數的和等。并對應地給出初等數學解決不了的問題，如變速直線運動的速度與路程、不規則圖形的面積與周長、無限個數的和等。針對這些問題給出解決思路，指出高等數學研究的內容和方法。在講授極限、導數、積分、級數等概念時，將這些問題都作為引例，讓學生感覺到這些概念的產生都是有實際背景的。

教材突出數學思想的來龍去脈。每個概念和理論力求從實際問題或幾何直觀引入，揭示數學概念和公式的實際來源與應用，使學生更容易理解和接受。教材設置了思考、注以及擴展知識等，以引導學生思考問題，培養學生的數學思維。

與通常的高等數學教材不同，我們的教材將不定積分和定積分進行融合講解。在變上限函數及其導數后很自然地給出原函數的概念，即講完微積分基本定理后，自然地引出問題“如何求一個函數的原函數？”，再講解不定積分的概念及其計算。這使原函數、不定積分概念的引出更自然，更符合學生的認知過程。將不定積分的計算和定積分的計算有機融合，使內容比較緊湊。將無窮級數放在上冊的最后一章作為前面極限和積分的應用，構成了單變量的完整知識體系。將微分方程放在全書的最后一章，作為前面所學內容的應用。

四、考試模式的改革

2016年9月開始，我們將“中國大學MOOC”平臺、自主構建的網絡學習平臺、在線測試系統進行有機結合，探索出了一套過程化考核模式。

一是借助MOOC 平臺，學生根據課堂學習情況，在MOOC 平臺上學習相應內容，根據課程進度，提交自己的作業到網上并完成作業互評。這部分占總成績的10%。

二是借助網絡學習平臺，課程負責人根據教學進度按章節的知識點發布測試題，教師設定考試時間，學生按教師設定的時間上網按時完成測試。這部分占總成績的15%。

三是教師日常考核：根據MOOC 作業以及單元學習、測試成績，學生參與MOOC 的交流討論情況以及學生的課堂表現和參與情況給出考核。這部分占總成績的10%。

四是綜合測試（期中+期末）：包括基本概念的理解、運算和推理能力、創新能力和應用能力的考核。這部分占總成績的65%（15%+50%）。

這種考核模式將考試過程變為教育過程，變成素質和能力考核的過程，有利于培養學生的學習能力和研究能力。

五、結語

我們在高等數學課程建設方面雖然取得了一些成績，但高等數學一流課程建設仍任重而道遠，我們將以此作為起點，進一步提升高階性、突出創新性和增加挑戰度，努力使高等數學課程建設更上一層樓。