面向空天類專業的“計算方法”實踐教學改革

張 進，陳青全，朱閱，楊 震

（國防科技大學空天科學學院 湖南 長沙 410073）

1 課程概況與改革需求

隨著信息科學與計算機技術的高速發展，數值計算及分析軟件的研制和應用已經遍及工程和科學計算的各個領域。計算機是20 世紀最偉大的科學技術發明之一，但沒有軟件的有效支持，超級計算機的能力也得不到充分發揮，而軟件的核心是算法。數值計算方法常簡稱計算方法，是工科院校本科學生的學科基礎課，是科學計算的重要基礎之一。

各高校，特別是工科院校，都非常重視計算方法的教學，并進行了大量教學改革研究，對計算方法教學的一些難點也有共識。國防科技大學空天科學學院開設該課程已超過20 年，主要面向航空航天（簡稱空天）類專業大二本科生開設，每年約5－6 個班次。雖然教學團隊積累了豐富的經驗，基于課程本身的特點及空天類專業的培養需求，計算方法教學實踐中仍然存在幾大問題沒有得到很好解決。

1.1 課程內容之間缺乏連貫性

課程主要講授的內容包括：解線性方程組的直接法、插值法與最小二乘法、數值積分與微分、常微分方程數值解法、逐次逼近法（線性方程組的迭代法、非線性方程與方程組的迭代法、特征值計算的冪法）等。雖然逼近、迭代兩大思想貫穿多個內容，且部分內容應用于多章（如插值法應用于數值積分、常微分方程數值解法公式的構造等），但由于每章針對的問題不同，問題之間的支撐關系沒有明確交代，學生仍然難以形成貫穿全課程的體系思路，特別在方法如何使用、如何配合的問題上比較迷茫。

1.2 學時相對較少，重理論輕實踐

計算方法既有數學課程的理論抽象性和嚴謹性，又有解決實際問題的實用性和實踐性。教師們在教學中很早便意識到實踐鍛煉的重要性，需要強調編程實驗。然而，由于該課程內容豐富，安排課時卻相對較少，造成教師教學時為了強調理論的完整性與公式推導，對實踐部分分配課時不足，上機實驗內容及形式相對呆板，缺少應用問題的興趣激發和算法設計的訓練，造成學生完成課程學習后運用計算方法解決實際問題的能力仍然較弱。

1.3 重公式推導，輕直觀引導

數值計算公式大多冗長煩瑣，課堂上直接推導費時費力，且學生也很難跟上老師公式推導的節奏，更難長久記憶。當整節的課程都是大量公式推導時，學生上課疲于聽講，沒有主動思考，容易產生煩躁和厭學的情緒，教學效果欠佳。

1.4 空天專業聯系弱

目前，計算方法課程內容緊密結合了高等數學、線性代數等數學知識以及計算機程序設計等計算機知識，但沒有針對空天專業特點進行內容個性化定制，也未將后續專業課程中的科學計算問題融入計算方法課程，使得學生應用數值計算解決專業問題的能力較弱。

計算方法作為空天類本科專業的學科基礎必修課，對后續專業課的學習具有重要支撐作用。如何在計算方法課程中融入有專業背景的科學計算問題，對學生科學計算思維與能力的培養，專業實踐啟蒙，以及達到學以致用的效果等都至關重要。

2 實踐教學改革

2.1 改革思路

針對當前課程內容缺乏連貫性、學時相對較少而重理論輕實踐、重公式推導而輕直觀引導、與空天專業聯系弱等不足，建設空天案例體系以加強課程與空天類專業聯系的同時串聯計算方法知識點，建設圖形動畫集以直觀引導理論學習并提高教學效率，進行線上線下混合式教學縮減課內講授學時，設計競賽性上機實驗和開發自動化驗證平臺以激發學生興趣并鍛煉動手能力；開展課程思政建設，培養空天精神。

2.2 改革措施

2.2.1 貫穿全課程的空天案例體系建設

以神舟飛船交會對接任務設計、控制中的數值計算需求為牽引，結合計算方法課程知識點，對實際問題進行適當簡化，并用課程中的方法進行求解，進而建立了貫穿課程各章的空天案例體系。飛船從發射入軌到交會對接涉及多個階段，對應的設計控制問題均需要計算方法的支持。例如：在發射入軌階段，火箭上升過程中需要在線計算大氣阻力，而阻力的計算需要大氣密度這一隨高度變化的參數，實際任務中往往通過高度-大氣密度表，基于高度插值的方式計算大氣密度；為了預測后續任務的準確時刻、航天器的狀態，需要進行軌道預報，實際任務中往往基于位置速度的常微分方程組，采用Runge-Kutta 法進行求解；在地面控制部分軌道機動的計算需求解非線性方程組，在自主控制部分軌道機動計算需求解線性方程組等。通過將圍繞一個航天任務的數值計算案例引入計算方法課程，激發了學生學習的興趣，加強了課程與空天專業的聯系，學以致用；同時，用任務需求貫穿各知識點，在學生知識結構中形成網絡，相互關聯，更有利于學生后續對方法的應用與拓展。

2.2.2 直觀易懂的計算方法演示圖形動畫集建設

計算方法課程一些關鍵概念、方法的公式推導過程較冗長，僅直接講解公式，效率低，學生易疲勞且方法思想掌握效果不好。通過剖析關鍵概念與算法公式的特點，以幾何曲線、形狀的動態組合進行展現，并將不同方法、計算迭代/步進過程以動態曲線等形式進行比較，使復雜的公式、概念更易于理解接受，提升教學效果與效率。例如：常微分方程求解的Euler 公式步進過程可以用動畫的方式逐漸展現過點與斜率做直線，進而通過多組直線構成的折線來近似原曲線的過程，幫助學生直觀形象地理解Euler 公式的實質；Runge-Kutta 公式的構造可用多個斜率構成的圖形幫助學生直觀形象地理解其使用加權平均斜率的實質。

通過幾何圖形幫助理解公式幾何意義的教學方法，已在計算方法的部分內容中使用，教學改革中盡可能讓這種方法覆蓋大部分重點、難點的概念與公式，并通過圖形動畫的精心設計與制作以提高展示效果。另一方面，增強了計算方法中各方法的步進過程、不同方法求解過程的動態比較等以加深理解。

2.2.3 線上線下混合式教學

在學時不能增加的情況下，要增加編程實踐內容，則必然要擠壓理論部分教學的學時。基于東北大學的國家精品MOOC“數值分析”，構建了SPOC 線上課堂，給學生分配部分易學或拓展理論知識點作為自學內容，學生基于MOOC視頻、課件、在線習題開展自主學習，部分緩解了課內學時有限的問題。

2.2.4 競賽性上機實驗設計與自動化驗證平臺開發

通過上機實驗來鍛煉學生應用計算方法的能力，在不少計算方法課程教改論文中有關注，也在一些課程教學中得到貫徹執行。然而，已有的計算方法上機實驗中，學生只需輸入程序、調試，然后獲得期望的正確結果，撰寫實驗報告，即滿足要求。這種方式關注算法設計與正確實現，忽視了我們需要培養的數值計算思維的其他重要方面，如算法的精度、穩定性、效率等，而且學生主觀能動性也未得到充分調動。通過結合計算方法課程主要算法及空天案例設計競賽性的實驗內容，開發了自動化驗證平臺，讓學生在有限的時間里在線提交解決實驗問題的計算程序，并以程序提交時間、結果正確性、計算精度、穩定性、運行效率等作為指標進行競爭性實時排名，而排名又作為得分重要依據。在線自動化驗證平臺的開發，縮短了學生熟悉程序的時間，提高了實驗效率、鍛煉了動手能力，也激發了學生主動學習的興趣。同時，自動化驗證平臺也大大減少了老師批改程序作業的工作量。另外，課程大作業分組開展，不限制具體題目，但要求必須用到課內講授的特別是實驗過的算法，以進一步鍛煉學生動手能力，并充分發揮各自的聰明才智；大作業采用課件的形式進行展示匯報，并互相提問回答，鍛煉了學生的交流表達能力。

2.2.5 課程思政建設

課程思政方面，從數學家的貢獻、計算方法中各算法的科學家的故事等入手，幫助學生培養民族自豪感、刻苦學習、不畏艱難的精神。同時，特別注意挖掘航天歷史上與數值計算相關的關鍵問題與事跡。例如，Gauss 對軌道邊值問題求解中的貢獻幫助天文學家再次跟上谷神星，也幫助其一戰成名，而這與常微分方程邊值問題求解及非線性方程求解緊密相關；航天領域的軌道初值問題本質是Kepler 方程這一非線性方程的求解問題，通過介紹Kepler 雖然視力不佳但通過對老師觀測數據的分析與數學推導提出行星運動三大定律的故事，引導學生志在空天、追求卓越。

3 改革效果

3 年多來，課程教學團隊將教學改革逐步推行至學院航空航天類專業全部教學班次，參與學生近400 人，取得了顯著成效。對2021 年秋季學期4 個教學班105 名學生的調查問卷結果中，大部分認為對知識點的關系有較好理解并對專業課有所期待，說明案例體系起到了搭建基礎與專業橋梁的作用；91%的學生認為啟發了用數值計算的思想來解決其他課程部分問題的思路，說明有效地培養了數值思維；75%的學生認為在線實驗自動化驗證平臺幫助其提高了實驗效率；75%的學生認為開放式大作業題目有利于各展所長；36%的學生自信可以用計算方法來解決其他實際問題，而50%的學生認為有效入了門但還有很長的路要走，說明編程實踐鍛煉取得了良好的效果。

改革后的課程為學生學習后續專業課程提供了更好的實踐基礎，架設了基礎課與專業課的橋梁，助力學生在各類競賽中獲得了豐碩的成果?！坝嬎惴椒ā闭n程也被評為2021 年湖南省線上線下混合式一流課程。

4 結論

針對“計算方法”課程內容缺乏連貫性、學時相對較少而重理論輕實踐、重公式推導而輕直觀引導、與空天專業聯系弱等不足，建設了空天案例體系、圖形動畫集，構建了線上線下混合式教學環境，開發了在線實驗自動化驗證平臺，進行了課程思政建設。教學效果表明，改革后的課程有效培養了學生數值計算的思想，學生的理論與實踐結合的能力得到顯著提高，真正架設了基礎課與專業課的橋梁。研究成果可作為其他數值計算相關課程教學的參考。