一道解幾試題的命制、求解、測評及教學啟示*

福建省福清第三中學 (350315) 何 燈福州教育研究院 (350001) 余小萍

2022年4月，筆者有幸參與福州市高二期中考試的命題工作.試卷的壓軸題是一道解析幾何問題，由于經歷了該題的命制、修正、定稿、檢測、閱卷、評價整個過程，筆者對此頗有感觸，遂整理成文，與同仁交流.

1、試題命制

命題雙向細目表中設定最后一道解答題考查橢圓及其性質，考查直線與橢圓的位置關系，體現基礎性、綜合性與創新性，預估難度0.3.

題型設定：參照細目表要求，筆者設定試題第二小題考查直線過定點問題(由于定值較易通過特殊情形猜測得到，故此處規避了定值問題的考查).

素材選取：由于命題時間有限，故筆者嘗試從現有試題入手進行適當的改編.在查詢資料過程中，筆者關注到試題(2022屆皖豫聯盟第二次聯考理科數學第21題)：

(1)求雙曲線C的方程；

(2)設斜率分別為k1,k2的兩條直線l1,l2均經過點Q(2,1)，且直線l1,l2與雙曲線C分別交于A,B兩點(A,B異于點Q)，若k1+k2=1，試判斷直線AB是否經過定點，若存在定點，求出該定點坐標；若不存在，說明理由.

注意到問題(2)結論具有一般性，基于類比思想，筆者嘗試將上述問題遷移到橢圓中.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設斜率分別為k1，k2的兩條直線l1，l2均經過點A，且直線l1，l2與C分別交于E，G兩點(E，G異于點A)，若k1+k2=1，試判斷直線EG是否經過定點？若是，求出定點坐標，若不是，請說明理由.

存在問題：本題問題(1)考查橢圓標準方程的求解，題型較常規；問題(2)中點A為象限內的點，導致后面計算k1+k2得到的形式較為復雜，給學生運算求解問題增加難度.基于試題重在考查學生思維，而非依賴運算增加學生求解難度，立足本市學情，平衡整卷考查的知識、能力、思想、素養的分布，命題組商討后，建議對試題進行適當調整.

(1)證明：|PF|≥2；

(2)過點A分別作斜率為k1，k2的直線l1，l2，l1與C的另一個交點為E，l2與C的另一個交點為G.若k1+k2=1，試判斷直線EG是否經過定點？若是，求出定點坐標，若不是，請說明理由.

考查意圖：本小題主要考查橢圓的圖象和性質、直線和橢圓的位置關系等基礎知識；考查推理論證能力、運算求解能力；考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想；考查直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養，體現基礎性、綜合性與創新性．

2、試題求解

解法二：當P點運動到A點位置時，可得|PF|=a-c=2；當P點運動到C的右頂點時，可得|PF|=a+c>2；當P點不在x軸上時，設F′為C的右焦點，在△PFF′中，可得|PF′|-|PF|<|FF′|，結合|PF′|+|PF|=2a=8，可得(8-|PF|)-|PF|<4，|PF|>2.綜上得|PF|≥2.

問題(2)解法一：(由于求解方法較多，此處僅給出閱卷過程中出現較多的兩種解法)設E(x1,y1)，G(x2,y2).

①當直線EG的斜率不存在時，點E,G關于x軸對稱，k1,k2互為相反數，k1+k2=0≠1，與條件矛盾.

化簡整理得y=

3、試題測評

(1)得分情況

試題滿分值12分，全市平均得分1.10分，問題(1)滿分值4分，全市平均得分0.83分，問題(2)滿分值8分，全市平均得分0.27分.

(2)典型錯誤及失分原因分析

問題(1)常見的錯誤有三個：

其二、認為當PF⊥x軸時(此時|PF|長為通徑的一半)|PF|取得最小值.失分原因是學生思維定勢，認為凡是垂直的時候，取值都是最短的.

其三、沒有經過嚴格的邏輯推理論證，直接利用了二級結論，得到|PF|≥a-c=2，導致大部分學生只能得到1分.失分原因是二級結論在解答題中的使用，需要先證明，教師在教學中必須讓學生牢記.

問題(2)常見的錯誤也有三個：

其一、大部分學生采用假設直線l1，l2的方程(其中一部分學生假設直線l1方程錯誤，如寫為y=k1(x-4)，或y=k1(x+2)等等)，導致求解出的E,G坐標形式較為復雜，無法繼續做下去，只能拿到較低分數.失分原因是應根據題設條件合理假設直線方程，展開問題求解，這樣才能能夠幫助我們揭示問題本質，減少運算量.

其二、假設直線EG方程為y=kx+t，沒有考慮到斜率k不存在的情形，假設直線EG方程為x=my+t，沒有考慮到m=0的情形.失分原因主要是平時解題過程中，沒有關注這些特殊情況.

其三、很大部分學生，假設直線EG方程之后，在處理完四步驟：聯(聯立方程)、消(消元)、判(判別式)、韋(韋達定理)后，就不再繼續做下去，或者運算能力沒跟上，導致計算錯誤.失分原因主要是圓錐曲線解答題較難，很大部分學生存在嚴重的畏難情緒，僅希望得到基礎分.

4、教學啟示

(1)二級結論能夠幫助我們快速的求解問題，課堂上，教師可以介紹一些常見的二級結論，在精不在多，更要進行嚴格的論證，讓學生知其然，更知其所以然.另外，應強調：二級結論在解答題中，要經過嚴格證明了，才能使用.

(2)解析幾何的學科特點就是“算”，它的難也難在運算上，而能力也恰恰體現在如何簡化運算上.教學過程中，提高運算能力不能僅從代數角度入手，單純提升學生代數算式的恒等變換能力，還要努力提高學生的幾何圖形分析能力，這樣才能從根本上提升學生的解幾問題的求解能力.

(3)試題始終在變，但萬變不離其宗.教學過程中，一味的追求題量，追求多種解法，并不可取.在教學過程中，更應該關注解法的生成過程，讓學生掌握通性通法的同時，也要給解法的每個步驟尋求一個合情合理的解釋(為什么是這樣解的？其中蘊含了哪些東西？)，讓解法生成的更自然一些.

(4)對試題進行深度挖掘，能夠幫助學生把握試題本質，達到會一道而通一片的效果.本題還可繼續引導學生探究k1+k2=t(t∈R)時，直線EG過定點的坐標；k1k2=t(t∈R)時，直線EG過定點的坐標；研究更一般的橢圓或雙曲線，定點坐標又將如何？條件與結論進行適當的調換，是否仍然能夠成立？這樣的結論能否遷移到拋物線之中？等等.通過這些教學情境的創設，能夠幫助學生掌握知識、熟練方法、體會思想，在潛移默化中提升學生能力，發展理性思維，培養起他們的數學核心素養.