二次曲線相交弦與切割線定理及其應用

廈門大學附屬實驗中學 (363123) 吳賽瑛

一般的二次曲線可表示為Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0,其中A、B、C不同時為0.本文主要探討一般二次曲線相交弦與切割線的斜率性質及其在高考題、省市質檢題的應用.

定理已知點S不在二次曲線Γ:Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0上，過點S的兩條直線l1、l2分別交曲線Γ于P、Q和M、N，其中l1、l2的斜率分別為k1、k2(k1≠k2).若|PS||QS|=|MS||NS|，則當A=B,C≠0時，k1k2=1；當A≠B,C=0時，k1+k2=0.

證明：設S(x0,y0)，則l1、l2的方程分別為y-y0=k1(x-x0)，y-y0=k2(x-x0).設P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x3,y3)，N(x4,y4)，聯立

=(k12+1)(x1-x0)(x2-x0)=(k12+1)[x1x2+x02-x0(x1+x2)]

(1)求C的方程；

(2)對比二次曲線的一般方程的系數，可知A≠B,C=0，又|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，由本文定理可知直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和kAB+kPQ=0.

例2 (湖南省2022年高三六校聯考)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，過點F的直線交拋物線C于P，Q兩點，且直線PQ垂直于x軸，O為坐標原點，△OPQ的面積為2．

(1)求拋物線C的方程；

解：(1)易得y2=4x；(過程略)