從教學架構與瓶頸突破談數學思想方法教學

張芳

［摘 要］數學思想方法是數學教學的核心內容。架構有效的數學思想方法教學體系，突破數學思想方法傳統教學的瓶頸，是數學思想方法教學的應有之義。教師要抓住數學思想的序列性、結構性和本源性，尋覓數學思想方法的教學蹤跡，打通數學思想方法的教學關節，追尋數學思想方法的教學原點。

［關鍵詞］小學數學；思想方法；教學架構

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2022）26-0096-03

數學思想方法對學生數學學習的重要性不言而喻。有人說數學思想方法是數學的靈魂，它猶如一只“看不見的手”，始終牽引著學生的數學學習。應當說這樣的評價還是非常中肯的。小學數學教學歷來重視思想方法的教學，尤其是在課程改革之后，在三維目標當中明確了“過程與方法”這一目標，這里所說的方法對數學學科而言就是數學思想方法。在課程改革的推進中，核心素養以及數學學科核心素養又代表著數學教學的目標與方向。在數學學科核心素養（此處借鑒其他學段的數學學科核心素養來理解）當中，有多個組成要素，如數學抽象、邏輯推理及數學建模中都蘊含著豐富的數學思想方法。因此，當下的小學數學教學，必須重視數學思想方法的價值，要在具體的教學過程中，讓學生對這些數學思想方法有充分的體驗。只有有了充分的體驗，學生的數學學習才是完整的，數學教學的目標才能夠有效達成。

從實際教學來看，盡管數學思想方法是數學教學歷來所重視的，但是在實際教學中又存在“兩張皮”的現象：一方面，教師都認識到數學思想方法是重要的，在教學研討交流以及論文當中也都強調數學思想方法的重要性；另一方面，部分教師在實際教學時總認為思想方法是“虛”的，他們更重視“實”的數學知識教學，從而輕視數學思想方法的滲透、啟迪。教學數學思想方法似乎缺乏一個有力抓手，因此，應當處于“核心地位”的數學思想方法的教學卻始終處于教學的“邊緣地帶”。如何有效地架構數學思想方法的教學體系，突破數學思想方法傳統教學的瓶頸，是教師教學中要研究的一個重要課題。

研究這個課題，離不開對教學架構的理解，尤其是在理解的過程中，對數學思想方法教學所面臨的困境的判斷。只有明確了困境所在，才能發現教學的瓶頸，也才能尋找到有效的突破途徑。

一、序列性：覓得數學思想方法的蹤影

序列性是一種非常重要的數學思想方法的教學思路，如果說傳統的教學只側重于學生對數學思想方法的體驗的話，那序列性的教學思路要求的是，學生既對數學思想方法進行體驗，同時也對這些數學思想方法進行比較。相比較而言，這一教學思路更能夠深化學生對數學思想方法的認知，更能夠讓學生在比較的過程中認識到數學思想方法的運用情境與技巧等。根據序列性的教學思路，數學思想方法的教學，首先要求教師深度解讀教材，從中梳理、發掘出序列性的數學思想方法。如此，數學思想方法的教學就能前有鋪墊、滲透，后有鞏固、拓展。一方面，教師應當多層次審視，讓數學思想方法清晰地展現；另一方面，數學思想方法的滲透、鋪墊、教學不宜采用“直入式”“告訴式”等教學方式，而應加強引導，加強啟迪，從而真真正正讓數學思想方法的教學落地生根。

在數學教學中，教師要循序漸進地發掘數學思想方法可以分成板塊來進行研究，比如“數與代數”領域有哪些數學思想方法，“圖形與幾何”領域有哪些數學思想方法，“統計與概率”領域有哪些數學思想方法，等等。不僅如此，教師還要深度研究同樣的數學思想方法在不同的學段、不同的年級、不同的知識領域有著怎樣的應用。以“極限思想”的序列化教學為例，過去，教師往往認為小學低年級學段沒有知識點可以滲透極限思想，不像在小學高年級學段學習“圓的周長”“圓的面積”等相關知識時會有“化曲為直”“化圓為方”等極限思想。其實不然，極限思想在小學階段的教學應當是一以貫之的，應當是富有序列性的。比如在小學低年級學段，學生學習自然數、整數等，教師就可以利用數軸讓學生不但認識數本身，而且認識數與數之間的關系。學生在尋找最大的數的過程中，通過數軸的無限延伸，能感悟到極限思想。再比如，學生在學習小數、分數時，教師可以引導學生將整數“1”平均分成10份、100份、1000份等，在這個過程中，學生能感受、體驗到極限思想。尤其是在教學無限循環小數時，教師更是可以讓學生感受、體驗無限逼近的數學思想方法。

序列性，不僅僅要求教師將數學思想方法融入自己的日常教學中，更要求教師對每一個數學知識點用恰當的方式、創造合適的機會，去滲透、提煉、提升對應的數學思想方法。由于數學思想方法在教材中是隱蔽的，這就要求教師相機、有序，以及分層次、分階段地滲透數學思想方法，并適當地進行點撥、提升。如此，學生方能覓得數學思想方法的蹤影。

二、結構性：打通數學思想方法的關節

和數學知識一樣，數學思想方法也是具有結構性的，也就是說，不同的數學思想方法之間是彼此相關聯的。因此，教師在數學教學中要打通數學思想方法的結構關節，讓數學思想方法集約成一個系統的整體。教學中，教師要尋求不同的數學知識、規律之中的相同思想訴求。比如轉化思想是一種普適性的數學思想，往往和數形結合思想、假設思想等數學思想方法交織在一起。同樣，對于某一個知識點，往往會涉及許多的數學思想方法。顯然，數學思想方法所表現出來的結構性，意味著在具體的教學過程中數學思想方法的滲透不是孤立的，應當是系統的、關聯的、有結構的。當多種數學思想方法同時出現在一個學習情境中時，教師要分清楚主次，用核心的數學思想方法帶動相關聯的數學思想方法，這樣學生在這一學習情境中就能夠體驗到多種數學思想方法的運用，從而收獲整體性的理解。

比如教學北師大版教材四年級下冊的“平均數”，不僅要讓學生理解統計量的意義，還要引導學生學會求平均數。一種方法是引導學生去“勻”，即“移多補少”；另一種方法是讓學生“先求和，再平均分”。在這個過程中，教師可以滲透多樣化的數學思想方法，如估算、估測等思想方法。教師還可以引導學生畫出條形圖，將數與形結合起來。教學中，教師甚至可以改變某組數據中的一個數據，讓學生再次計算平均數，從而讓學生感受、體驗到“平均數作為反映一組數據整體水平的統計量，受到一組數據中的每一個數據的影響”。這樣的一種估算、估測思想，這樣的一種數形結合思想，這樣的一種動態關聯的思想，這樣的一種歸納、抽象、建模的數學思想，是學習平均數這樣的統計量時，整體體驗到的。學生可以借用不同的數學思想方法相互印證，如用“估算法”等進行驗證，再用“數形結合”的思想方法進行驗證等。

這樣的一個教學過程，數學思想方法主要體現在科學的教學結構上。從教學設計來看，教師先引導學生理解統計量的意義，然后引導學生掌握求平均數的方法，這實際上是一個理論與實踐相結合的教學過程，良好的教學結構，會讓學生知其然且知其所以然。與此同時，這個教學過程中所滲透的估算、估測及數形結合等思想方法，可以實現在良好的教學結構當中向學生進行有效的滲透。這樣教學，學生所理解到的數學思想方法就不再是抽象的、由文字描述的思想方法，而是在體驗過程中領悟、在領悟之后能夠反哺運用的思想方法。實際上，在數學教學中，數學思想方法往往不是獨立的，而是相互交織在一起的。作為教師，就要引導學生在數學學習中找到數學思想方法之間的關聯，讓數學思想方法能夠有效地滲透在學生的學習過程中，而且能夠得到靈活、靈動、多元地運用。教師要從整體著眼、從關聯入手、從思維發力，進而助推、延伸學生的數學學習。若能引導學生數學思想方法的學習從“平面鋪陳”向“立體建構”“立體運用”轉變，就能有效促進學生數學核心素養的發展。

三、本源性：追尋數學思想方法的原點

思想與觀念是相通的，屬于抽象、頂層的觀念。人們常說，數學思想方法是數學之“根”。事實上，每一種數學思想方法都有其邏輯起點，也都有其思維起點。在數學教學中，教師不僅要引導學生接觸、感受、體驗數學思想，還要引導學生追尋數學思想的本源，讓學生揭開數學思想方法的神秘面紗，認識到數學思想方法的生長點。有了這樣的思路，那么學生在感受數學思想方法時，就能夠知其然且知其所以然了。這對小學生而言是非常重要的，學生在數學學習的初始階段就能夠對數學思想方法形成比較深刻的理解，對他們今后的數學學習而言，有著非常重要的意義。回到起點，回到原點，追溯數學知識的本源，就能提升學生的數學學習力。

教育家弗賴登塔爾曾說：“將數學作為一個現成的產品來教，只是一種模仿的數學。而將之作為一種‘再創造’的過程來教，就是一種發現的數學。”弗賴登塔爾還曾說：“泄露一個可以由學生自己發現的秘密，那是壞的教學方法，甚至是一種罪惡。”可見，數學思想方法的教學也不應是說教式的，而應由教師進行啟迪，讓學生自主建構、感悟。教師要將數學思想方法作為一種“本源的方法”“原初的方法”來進行教學。比如教學北師大版教材六年級上冊“圓的認識”時，筆者首先組織了一個小組活動，讓學生分成男女兩組進行畫圓比賽，給男生組提供的工具是橡皮筋，給女生組提供的工具是繩子。活動中，筆者引導學生感悟“圓就是到定點的距離等于定長的所有點的集合”，感受“圓，一中同長”的哲理。教學中，筆者還從正四邊形、正八邊形等正多邊形入手，利用多媒體動態演示正多邊形逐漸轉化為圓的過程。通過這樣的演示，學生深刻感受、體驗到“圓出于方，方出于矩”的極限思想。教學中，教師不必“和盤托出”數學思想方法，而是引導學生在觀察活動、操作活動中慢慢感悟、品味、發現。正如史寧中教授所指出的：“如果將數學思想方法的教學與具體數學知識的教學剝離開來，數學思想方法就是空洞的、抽象的，是沒有價值的。只有將數學思想方法與具體的數學知識相結合，與具體的數學知識背景相結合，用數學知識來分析和解決問題，數學思想才能發揮其存在價值。”

數學思想方法的教學應當“隱藏”起來，采用“隨風潛入夜，潤物細無聲”的教學方式。在教學中追尋、追溯數學思想方法的本源，就是要加強數學思想方法的滲透，彌合數學思想方法教學的斷層，讓數學思想方法的教學能切入學生數學學習的“最近發展區”。這是一個非常重要的教學思路，盡管數學思想方法的作用非常關鍵，但是這并不意味著數學思想方法就應當成為顯性的教學內容，為了讓數學知識的建構過程更符合學生的學習需要，用數學思想方法來驅動知識的發生是必要的，這種必要性并不能否定數學知識教學的顯性特征，也不能讓數學思想方法的教學變得標簽化。讓學生在建構數學知識的過程中體驗數學思想方法的運用，才是科學合理的教學思路。

需要再次強調的是，數學的思想方法是有“根”的。作為教師，就是要挖掘數學思想方法的根，包括源于數學的生長之根、源于學生生活的經驗之根等。只有通過追尋、追溯數學思想方法之根，才能讓數學思想方法以更加鮮活的姿態呈現給學生。

總而言之，在數學教學中，探尋數學思想方法的有序性、結構性和本源性，能讓學生全面而深刻地感悟數學思想方法的內涵、意義和價值。回到數學思想方法來進行數學教學，能改變數學教學的“無根狀態”。在數學教學中，教師要對教材中的知識進行深度發掘，要根據學生的認知水平選擇合適的教學方式，從而讓學生受到數學思想方法的熏陶，領略到數學思想方法的魅力。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 米山國藏.數學的精神、思想和方法[M].毛正中等譯.成都：四川教育出版社，1986.

[2] 史寧中.漫談數學的基本思想[J].數學教育學報， 2011（4）.

[3] 曹才翰， 章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2006.

[4] 王林等.小學數學課程標準研究與實踐[M].南京：江蘇教育出版社，2011.

（責編 楊偲培）