解析幾何中“非對稱式”問題的解題策略
——解析幾何中的一類開放性試題探究

張 軍

(遼寧省大連市第二十四中學)

數學教育承載著落實立德樹人根本任務、發展素質教育的功能.高考評價體系確立了高考考查中要增強試題的靈活性和開放性,改變相對固化的試題形式,減少死記硬背和“機械刷題”現象.開放性試題是與封閉性試題相對應的概念,一般來說,封閉性試題具有確定的條件、方法和答案,而開放性試題是指圍繞某一個核心主題,提供一定的核心材料,要求學生就試題設問進行深層分析和開展探究的一種命題形式,即題目的條件是不完備的、解題策略是多種多樣的.數學開放性試題的核心是考查學生綜合運用所學數學知識解決問題的能力,從而激發學生獨立思考和創新的意識.

解決開放性問題難在要求學生的思維要多向輻射,它沒有固定的解題模式.由于開放性試題所提的問題要么是條件不充足或條件是多種多樣的,要么結論被隱去或不確定,要么只是給出一定的問題情境,其條件、解題策略和結論都需解題者從情境中尋找和設定,收集其他必要的信息,才能著手解題,所以它的解答有的是沒有固定的、現成的模式可循,有的是答案可能易于被發現,但是求解過程中往往需要學生進行主動思考,從多個角度進行探究.這一探究過程往往能夠拓寬和深化解題思維過程,揭示解題過程的思維途徑,培養學生的探究思維,提高學生的數學核心素養.

一個含有若干個變量的多項式中,如果任意交換兩個變量的位置,多項式不變,則稱這樣的多項式關于這兩個變量是對稱的,否則稱為非對稱式.在解析幾何中,當直線和曲線相交時經常會涉及與交點有關的開放性試題.對于這類試題,在求解過程中如果相應的目標式子是關于兩個交點的橫(或縱)坐標x1,x2(或y1,y2)的和或積的式子,這個式子往往是關于x1,x2(或y1,y2)對稱的,這時只要把直線方程和曲線方程聯立,利用根與系數的關系即可解決問題.然而在有的時候,往往也會出現相關的目標式子不是簡單的關于x1,x2(或y1,y2)的和或積的對稱式子,也就是出現了非對稱的形式,此時就不能通過根與系數的關系進行簡單的代換來解決,下面舉例介紹如何解決這類開放性試題.

1 多解探究

2 鞏固練習

圖1

圖2

練習3 如圖3 所示,已知點F1(－1,0),F2(1,0),以線段F2G為直徑的圓內切于圓O:x2＋y2＝4,點G的軌跡為F.

圖3

(1)求點G的軌跡E的方程;

(2)若軌跡E與x軸的左、右兩個交點分別為M,N,過定點P(－3,0)的直線l與軌跡E交于R,S兩點,設直線MR與NS交于點T.試探究點T是否在一條定直線上.若是,求出此定直線方程;若不是,說明理由.

圖4