巧用模型數學建模 養成數學核心素養

江蘇省宿遷中學 (223800) 孫彩紅

數學建模作為數學學科的六大核心素養之一，是指在具體創新與應用情境中，合理分析并理解應用問題，借助數學視角的切入來分析問題、發現問題、提出問題，進而結合實際問題，合理并吻合地構建相應的數學模型，結合實際應用問題進行對應的數學推理與運算，進而實現解決實際應用問題的目的.特別，在一些創新應用場景中，根據實際情境與創新應用，與已知數學模型加以聯系，合理構建對應的數學模型來分析與求解問題，是數學建模中的一種基本素質.

1.簡單函數模型

簡單函數模型主要包括一次函數、二次函數、反比例函數等一些最簡單的基本初等函數類型，借助這些簡單函數模型來處理一些簡單的應用問題，效果直接明了，也是數學建模當中的“主力軍”.

A.40% B.50% C.60% D.70%

點評：解決簡單函數模型的數學應用問題，關鍵是理清題目中的創新情境及其內涵，構建簡單函數模型，并合理構建與創新定義、創新情境以及創新應用等相關的方程、不等式等，進行分析與求解處理.

2.指數(對數)函數模型

指數(對數)函數模型主要包括指數函數、對數函數模型，是實際應用問題中比較常見的兩類特殊函數模型，變量之間存在幾何級數的關系，在一些醫藥衛生、信息技術等應用方面有其獨特的應用.

例2 (2021年北京延慶區一模試題)對酒駕的規定如下：駕駛員的100ml血液中酒精含量為[0，20)mg時，不構成飲酒駕車行為(不違法)；達到[20，80)mg的即為酒后駕車；80mg及以上為醉酒駕車.若某駕駛員喝酒后其血液中的酒精含量達到了1.6mg/ml，則在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小時大約減少20%，要想不構成酒駕違法行為，那么他至少經過( ).(參考數據：0.84=0.41，0.86=0.26，0.88=0.17，0.810=0.11)

A.4小時 B.6小時 C.8小時 D.10小時

分析：利用題中的條件，根據指數函數模型，列出血液中酒精含量與酒后時間的關系式，根據不構成飲酒駕車行為(不違法)構建不等式，通過指數不等式的轉化，并利用參考數據加以分析與判斷.

解析：設酒后經過x小時后就不構成酒駕，依題意可得160×(1-20%)x<20，則有0.8x<0.125，結合參考數據0.88=0.17，0.810=0.11，可知x≥10，所以他至少經過10小時，故選D.

點評：解決涉及指數(對數)函數模型的創新應用問題時，關鍵是利用題目條件構建指數型(或對數型)函數模型，利用已知信息建立對應的方程、不等式等加以分析與求解，并利用應用問題的實際加以合理分析、判斷與決策等.

3.三角函數模型

三角函數模型是生活應用中具有一定周期規律的一類數學建模類型，此類函數模型具有一定的起伏性與周期性，是現實生活場景中很多問題所具有的一種獨特的基本性質，具有較好的數學模型構建與實際應用價值.

分析：根據題目中已知的三角函數模型，利用正弦型函數的圖象與性質，并結合三角函數的圖象的最高點與最低點，確定參數A、B的值以及周期，進而確定參數ω的值，通過特殊值求解的φ值，得到三角函數y=f(x)的解析式，進而加以三角函數求值與判斷即可.

圖1

點評：在實際應用中，涉及一些呈周期呈現的函數問題時，經常利用三角函數模型來解決，通過三角函數的相關知識來解決已知三角函數模型求解對應的數學問題；把實際問題抽象轉化成相應的三角函數問題，進而利用三角函數的定義、圖象、性質等相關知識來分析與解決問題.

4.圓錐曲線模型

圓錐曲線模型包括橢圓、雙曲線以及拋物線模型，是在航空航天、現實應用等眾多場景中具有特殊幾何性質的一類數學模型，借助特殊的幾何性質以及光學性質來合理構建對應的數學模型，進而解決相關的應用.

例4 (2021年河南開封市高三(上)第一次模擬試題)某學習小組研究一種衛星接收天線(如圖2所示)，發現其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內的衛星波束呈近似平行線的狀態射入到拋物線形的接收天線，經拋物線接收天線的反射聚焦到該拋物線的焦點處(如圖3所示)，若該拋物線形的接收天線的口徑(直徑)為4.8 m，深度為1 m，則該拋物線的焦點到頂點的距離為m.

圖2 圖3

分析：根據題目條件，利用已知的拋物線模型，建立坐標系，進而設置相應的拋物線的方程以及對應點坐標的確定，將點A的坐標代入，確定參數p的值，進而可得拋物線的方程，由此確定該拋物線的焦點到頂點的距離即可.

圖4

解析：如圖4，構建相應的坐標系，設拋物線的方程為y2=2px(p>0)，由題得，點A(1，2.4)在拋物線上，所以2p=2.42，解得p=2.88，所以所求拋物線的標準方程為y2=5.76x，因此該拋物線的焦點到頂點的距離為=1.44.

點評：本題以“衛星接收天線”為背景考查拋物線的圖象和性質等知識，求解此類問題的關鍵：一是“盯題眼”和“細觀圖”，能從圖中觀察出已知條件；二是利用方程思想，利用拋物線上點的坐標求出拋物線方程，從而得解.

在實際應用中，要從數學的視角切入，構建對應創新場景或創新應用與已知數學模型、相關數學基礎知識等之間的聯系與應用，并借助相應的數學模型所對應的數學知識來分析與求解，有效滲透數學的“四性”(即基礎性、綜合性、應用性與創新性等)，合理引領與指導高中數學教育，同時也為高校選拔人才提供育人方向，并在此基礎上回歸并落實“四基”(即數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗等)，提倡學以致用，強調全面育人、數學核心素養導向.