一道高考模擬題的推廣及其證明

江西省修水縣第一中學 (332400) 冷清榮

圓錐曲線的定點定值問題是高考常考的一個熱點與難點問題，本文通過一道模擬題對其進行探究、類比及其推廣.

一、試題展示與解析

圖1

(1)求橢圓E的方程；

(2)若直線AM,AN與橢圓E的另一個交點分別為P,Q，記直線PQ,OH的斜率分別為k1,k2，判斷k1k2是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由.

二、結論的推廣及其證明

評注：本解法中沒利用韋達定理，而且也沒有完整求出P,Q兩點的橫坐標，計算更加直觀簡潔.

圖2

類似地，我們可進一步推廣到拋物線，得到一個美觀簡潔而且與直線l:x=t位置無關的結論.

圖3

推廣3 如圖3，已知拋物線F:y2=2px,(p>0)，點H是直線l:x=t上的動點，以點H為圓心且過原點的圓與直線l交于M,N兩點，若直線OM,ON與橢圓F的另一個交點分別為P,Q，記直線PQ,OH的斜率分別為k1,k2，判斷k1k2是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由.