利用底邊過焦點的阿基米德三角形性質(zhì)解高考題

甘肅省靈臺縣第一中學(xué) (744400) 王海燕

阿基米德最早利用逼近思想證明了拋物線的弦與拋物線所圍成封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與過弦端點的兩條切線所圍三角形面積的三分之二.后來人們稱由拋物線的弦與過該弦端點的兩切線所圍成的三角形為阿基米德三角形.其中該弦稱為阿基米德三角形的底邊，阿基米德三角形有許多性質(zhì)，底邊過焦點的阿基米德三角形有如下常見結(jié)論：

圖1

如圖1，AB是過拋物線C:x2=2py焦點F的弦，C在點A，B處的切線QA,QB交于Q點，點M(x0,y0)為AB的中點.△QAB即為阿基米德三角形，其中AB為阿基米德三角形的底邊，則

(1)切線QA,QB的交點Q在拋物線C的準(zhǔn)線上;

(2)底邊上的中線平行于拋物線的對稱軸，即xQ=x0;

(3)△QAB是直角頂點在拋物線準(zhǔn)線上的RtΔ，即AQ⊥BQ;

(4)FQ⊥AB;

(5)阿基米德三角形面積的最小值為p2.

事實上，利用上述結(jié)果有如下結(jié)論：

結(jié)論1 若切線QA,QB的交點Q在拋物線C的準(zhǔn)線上，則拋物線C的弦AB必過焦點.即命題(1)的逆命題也成立.

結(jié)論2 阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的對稱軸.即結(jié)論(2)可推廣到一般的阿基米德三角形.(證略.)

結(jié)論3 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，中點M(x0,y0)，則阿基米德三角形QAB的底邊AB所在直線方程為(x1+x2)x+-2py-x1x2=0；若AB過焦點，則可化為2x0x-2py+p2=0；切線QA，QB的方程分別為x1x=p(y+y1)，x2x=p(y+y2).(證略.)

例1 (2014·遼寧卷)已知點A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為( ).

例2 (2018·新課標(biāo)Ⅲ卷)已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點.若∠AMB=90°，則k=.

再如，(2021全國乙卷，理21)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F，且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點的距離的最小值為4.

(1)求p；

(2)若點P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點，求△PAB面積的最大值.

(2)△PAB是一般的阿基米德三角形，但可依性質(zhì)(1)的證明方法，利用導(dǎo)數(shù)求出直線PA，PB，進(jìn)一步可求得直線AB的方程，將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立后，依弦長公式表示出|AB|及點P到直線AB的距離，把△PAB的面積表示成P點縱坐標(biāo)y0的二次函數(shù)，由-5≤y0≤-3，可求得△PAB面積的最大值.

(1)證明：直線AB過定點；

(2)略.

(1)求拋物線C的方程；

(2)當(dāng)點P(x0,y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程；

(3)當(dāng)點P在直線l上移動時,求|AF|·|BF|的最小值.

(2)△PAB即為阿基米德三角形，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，依據(jù)結(jié)論3可得切線PA,PB的方程為x1x-2y-2y1=0,x2x-2y-2y2=0.由P(x0,y0)在切線PA,PB上,得x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0.所以(x1,y1),(x2,y2)為方程x0x-2y0-2y=0的兩組解.所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.

(3)略.