優化數學活動 促進概念理解
——以二年級上冊“角的初步認識”教學為例

浙江杭州市蕭山區新塘小學（311200） 朱瑩瑩

數學課程標準指出，“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。”“教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會……”這給課堂教學提供了一個啟示：教師應關注數學活動，以數學活動引導學生觀察、思考、實踐、交流，真正理解和掌握概念的本質。

一、教材分析

在人教版中，“角”的內容分兩次進行學習，分別安排在二年級上冊和四年級上冊。二年級是初步認識角，感知角的大小，會畫角（直角、銳角和鈍角）以及能用角的知識解決簡單的數學問題。四年級是對角的再認識，在射線的基礎上建立角的概念，認識平角和周角，會用量角器量角。

“角的初步認識”這一單元的學習有三個目標：（1）認識角，知道角的特征和各部分名稱；（2）畫角，從一個點起，用尺子向不同的方向畫兩條筆直的線；（3）區分角的大小，能通過兩條邊張開的程度區分角的大小。這三個學習目標都是在幫助學生建立角的概念：目標（1）是從實例中抽象出角的特征，即角由一個頂點和兩條邊組成；目標（2）既讓學生掌握畫角這項技能，又讓學生通過畫角感受角的產生過程；目標（3）讓學生感悟角是兩條邊所夾的部分，角的大小與角兩條邊張開的程度有關。

二、后測分析

本學期，筆者所在學校的數學組以“角的初步認識”開展教學研究。在一個班的教學完成后，就對這個班進行后測，后測主要是為了了解學生對知識的掌握情況，從而為改進教學提供依據。

1.調查內容的測試與結果

數學組擬定4個題目進行調查，結果如圖1所示。

圖1

2.調查結果的梳理與分析

（1）從調查結果來看，第1題回答得較理想，只有個別學生因為寫了錯別字被扣分。

（2）第2題，全班都能正確判斷哪個是角，但在判斷理由中，有9人認為右圖的兩條直線沒有連接起來，因此它不是角。這說明學生是根據角的表象進行判斷的，沒有進一步抽象出角的特征。

（3）第3題，學生都能畫出角，但細看他們畫角的步驟，卻發現了很多問題，具體有2種情況。

第一，先畫一條線，再畫另一條線（如圖2）。

圖2

第二，先畫邊再畫頂點，而不是按射線延長的方向畫（如圖3）。

圖3

從畫角調查的結果來看，這個環節的目標落實不到位。

（4）第4題，只有26名學生認為角的大小與兩條邊張開的程度有關，有17名學生認為角的大小和邊的長短有關，還有2名學生空著。可見，角的大小和什么有關，學生體會不深刻，還需要改進教學。

三、教學思考

“角的初步認識”這一單元屬于概念課，概念形成和概念同化是兩種基本的概念獲得方式。由于二年級學生的認知結構簡單、數學知識貧乏，因此他們一般通過概念形成的方式來學習，也就是借助具體的例子和各種數學活動，概括出概念的關鍵特征。通過教材分析及后測結果分析，我們認為在教學時可以把數學活動做精做細。

1.讀懂并用好活動材料

小學生學習數學概念離不開活動材料的支持，尤其是角這個圖形。人教版教材中提供了剪刀、鐘面和三角尺，細細品味書中給出的幾種材料，三角尺是靜態的，剪刀和鐘面中的角是動態的，后兩種通過旋轉可以形成任意角，有利于學生感受角的大小和方向。這些材料的選擇，為角的概念的學習提供了有效的保障。

2.根據學情調整活動方式

例如，在畫角時，可以讓學生先思考：畫角時，要畫出角的什么特征？通過引導學生思考，關注活動重點，讓數學活動更有目的性。當然，也可以讓學生先畫再思考，在反思、交流的過程中掌握畫角這一知識點。還可以由教師先示范，學生再模仿。雖然活動方式多樣，但教師需要根據學生的學習情況，選擇合適的活動方式。

3.根據目標修改活動內容

例如，活動的內容可以來源于學生出現的問題，針對學生出現的問題，教師可設計有效的數學活動，幫助學生解決問題。通過后測發現，體會角的大小是學生認知的難點，在后續的教學中我們將根據教學目標重新設計、修改活動內容，以提高課堂教學效果。

四、教學實踐

基于對“角的初步認識”的深入分析與思考，我們對原來的教學設計進行修改，以期可以呈現更好的教學效果。

1.用好活動材料，認識角

二年級學生正處于從以具體形象思維為主向抽象邏輯思維過渡的階段，因此，數學概念的教學要重視活動材料的運用。

【調整前】

在教學中，教師先呈現剪刀、鐘面和三角尺三種材料，讓學生找一找角，隨著學生的回答，課件直接出現一個角。在后面概括這些角的共同特征時，學生認為尖尖的部分就是角，而直接忽視了兩條邊的存在。為了增強材料的刺激性，我們在呈現方式上做了調整。

【調整后】

（教師利用課件出示一把慢慢張開的剪刀，形成一個銳角）

師：你能指出剪刀的一個角嗎？

（學生上來指其中的一個頂點，但沒有指出它的兩條邊）

師（在黑板上畫一個點）：角是這樣的，你同意嗎？怎么指才可以把剪刀中的角完整地指出來？

（學生再次指角，按“頂點→邊→邊”的順序指）

（教師利用課件出示一個鐘面，分針從12走到了4，形成一個鈍角。學生按“頂點→邊→邊”的順序指角）

師：這些圖形都被稱為角，那它們有什么共同特征呢？

在這個環節中，教師將剪刀、鐘面中的角動態呈現，使“角”從整體到分步呈現。雖然只是呈現方式的改變，但是卻增強了角的“頂點”和“邊”的刺激性，將學生的注意力吸引到角共同的關鍵屬性上來。

2.改變活動方式，畫好角

【調整前】

師：畫一個角，我們要把角的哪些東西畫出來？

生1：兩條直的邊和一個頂點。

師：誰來說一說畫角的步驟。

生2：先畫頂點，再畫兩條邊。

師：請按照這個步驟試著畫一畫。

（學生按步驟畫角）

學生是學習的主體，教師要做的是如何引發學生的思考，讓學生通過自己的探索解決問題。如果教師先示范再讓學生模仿，那學生便只是按部就班地畫角，至于為什么這么畫，學生一點也不理解。基于這樣的認識，我們對活動進行了調整。

【調整后】

師：畫一個角，我們要把角的哪些東西畫出來？

生（齊）：兩條直的邊，一個頂點。

（學生嘗試畫角）

師：老師收集了兩份作業，我們先讓這兩名同學介紹自己是如何畫角的。

生1：我是先畫頂點，再從上到下畫出一條邊，接著從左到右畫出另一條邊。

生2：我是先畫頂點，再從頂點出發畫兩條邊。

師：兩名同學的畫法不同，你喜歡誰的？

生3：我喜歡生2的，因為他是從一個頂點出發畫出兩條邊的。

師（小結）：生1、生2都畫出了角的特征——一個頂點和兩條邊。畫角時，我們不僅要畫出其特征，而且還要注意畫法——從一點開始向不同的方向引出兩條直直的線。

活動方式從“教師示范”到“學生嘗試”的調整，讓課堂更開放，讓學生更活躍。通過“要把角的哪些東西畫出來”這個問題的引導，將學生的思維聚焦到畫角時要畫出角的特征，這樣的畫角嘗試更有目標性。

3.調整活動內容，辨角的大小

受生活以及教材中積累的比長短、比面積、比體積等經驗的遷移影響，有的學生認為兩條邊所夾部分“面”的大小就是角的大小，也有學生用兩條邊的終點連線的長短來判斷角的大小。基于這些情況，教師可以設計豐富的體驗活動，引導學生體會角的大小。

【調整前】

師：這里有一個角（圖略），如果要讓這個角變大或變小，該怎么做呢？

生（齊）：把兩條邊拉開，角就變大；把兩條邊拉攏，角就變小。

師：把兩條邊拉開，哪里變大了？

生1（指角）：角張開的“嘴巴”變大了。

（總結：角的大小與兩條邊張開的程度有關）

師（出示兩個不同的角，圖略）：剛才我們探究了怎樣讓角變大變小，現在我們來看看怎么比這兩個角的大小。

生2：先將兩個頂點疊合，再將其中一條邊疊合，最后看另一條邊的情況。

師（按照學生說的操作）：同學們發現了嗎？雖然一個角的兩條邊長一些，但是張開的程度卻沒有另一個角的大。因此，角的大小與兩條邊的長短無關。

調整前，教師出示的兩個角除了邊的長短不一樣，角的大小也不一樣。變量多了，學生關注的點就不集中。因此，學生對“角的大小與兩條邊的長短無關”的體會不深刻。

我們通過課后的訪談得知，很多學生是因為感覺角的兩條邊拉攏后占的“面積”小了，所以才覺得角小了。這說明學生的“明白”并不是真的明白。在教學中，我們也需要多問“為什么”“你是怎么想的”，以了解學生是否真的明白了。

為了讓學生深刻地理解“角的大小與兩條邊張開的程度有關，與兩條邊的長短無關”，我們對活動內容進行了調整。

【調整后】

師（出示一個角，圖略）：如果想讓這個角變大，該怎么做呢？

生（齊）：把兩條邊拉開，角就變大。

師：哪里變大了？

生（齊）：角的張口變大了。

師：如果想讓這個角變小，哪里變小了？

生（齊）：角的張口變小了。

師（小結）：看來，角的大小是指角兩邊張口的大小。張口變大，角就會變大，張口變小，角就會變小。請同學們拿出活動角擺出一個角。

師（展示學生擺出的角，如圖4所示）：這兩個角都是直角，比一比誰大？

圖4

生1：我認為左邊的角大，因為它的兩條邊長。

生2：我認為一樣大，因為它們的張口一樣大。

師：怎么證明這兩個角的張口一樣大？

生2（一邊操作，一邊說）：將兩個角的頂點疊合，再將兩個角的其中的一條邊疊合，兩個角的另一條邊也是疊合的情況，說明它們的張口一樣大。

師（將右邊的角放在投影儀上）：把這個角放大，現在再和左邊的角比一比，誰大？

生4：還是一樣大，雖然它的邊變長了，但是張口大小沒變。

師：如果想讓右邊的角比左邊的大，該怎么做呢？

（學生改變右邊的活動角，如圖5所示）

圖5

在第一次比角中，教師給出的材料是兩個一樣大的直角，只是邊的長短不同。在引導比角的過程中，學生只需要關注一個變量——邊的長短，突出了角的大小和邊的長短無關。在第二次比角中，教師給出的兩個角排除了學生因為角所占“面積”的大小判斷角的大小的可能性。兩次比角活動，使學生真正理解“角的大小與兩條邊張開的程度有關，與兩條邊的長短無關”。

五、效果檢測

在調整教學設計后，我們選取了學習水平差不多的班級進行教學，并開展了后測。

調查的知識點角的各部分名稱能否根據角的特征判斷角和找角能否根據角的形成過程畫角能否體會角的大小和兩條邊張開的程度有關題目1.請你寫出角各部分的名稱。2.下面兩個圖形哪個是角，哪個不是角，為什么？3.請畫出一個角并寫出你是怎么畫的。4.你認為角的大小和（ ）有關。調整前正確率91.1%80%46.7%57.8%調整后正確率90.9%84.1%81.8%77.3%（）（）（）

從后測的數據可以看出，調整后的教學效果比調整前的好，尤其是畫角的活動，兩次數據相差很大。這些數據告訴我們，數學課要關注數學活動，要向學生提供充分從事數學活動的機會，使學生經歷、感受知識的形成過程。

綜上所述，在開展數學活動時，為了提高學生的學習興趣、活躍學生的學習思維，教師可以在活動目標、活動方式、活動內容等方面進行調整，從而提高課堂效率。這種調整值得教師借鑒，因為它確確實實讓學生學得更扎實！