圍繞主題漸次生長：數學習題課的教學追求
——以蘇科版數學九（下）“二次函數”習題課教學為例

■姜國生

二次函數是九年級的重點內容，新授課之后往往要安排必要的習題課進行鞏固訓練，如果教師選擇的習題比較零散，則不利于學生掌握同一類問題。因此，筆者圍繞二次項系數為1的二次函數問題研發了一節習題課，在教研組內執教公開課后，取得較好的課堂效果，也獲得組內同行的好評。下面，筆者整理本節課教學設計，并給出教學立意的闡釋，供同行們研討。

一、教學設計

1.基礎熱身

例1如圖1，已知拋物線y=x2。

（1）在圖1中，求拋物線y=x2與直線y=1的兩個公共點坐標；

（2）在圖1中，求拋物線y=x2與直線y=4的兩個公共點之間的距離；

圖1

（3）在圖2中，求拋物線y=（x-1）2與直線y=4的兩個公共點之間的距離；

圖2

（4）在圖3中，求拋物線y=-（x+2）2+2與直線y=-2的兩個公共點之間的距離。

圖3

［設計意圖］通過上述4個題目，學生對二次項系數為1的二次函數圖像的形狀特征更加熟悉，為后續的變式應用奠定基礎。

變式1在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=x2+mx+n的對稱軸為直線x=2，且經過點A（0，3）。將這個二次函數的圖像沿y軸向下平移，請問：當向下平移幾個單位時，所得到的新的函數圖像與x軸的兩個交點之間的距離為4。

［設計意圖］有些學生先寫出二次函數表達式y=x2-4x+3。教師要引導學生寫成頂點式y=（x-2）2-1，讓學生結合例1積累的圖像特征，得到新的函數圖像與x軸的兩個公共點之間的距離。

2.拾級而上

例2如圖4，已知正方形OBCD的三個頂點坐標分別為B（1，0）、C（1，1）、D（0，1）。試分析拋物線y=（x-h）2（h為常數）與正方形OBCD的邊的公共點個數，并指出相應的h的取值范圍。

圖4

［設計意圖］教師通過追問的方式，引導學生自主梳理不同的臨界情形對應的公共點個數，讓學生明白本題的本質就是拋物線y=（x-h）2（h為常數）的頂點在x軸上平移。

變式2已知M（x1，y1）、N（x1，y1）為拋物線y=ax2（a≠0）上任意兩點，其中0≤x1＜x2。若對于x2-x1=1，都 有|y1-y2|≥1，則a的 取 值 范 圍 為__________。

［設計意圖］變式2主要是針對例2的變式訓練與學情反饋。首先，教師要引導學生學會利用“以形助數”進行分析，構造出圖5。然后引導學生分情況討論，其中包括當a＞0時，對于x2-x1=1，都有|y1-y2|≥1，所以a|x12-x22|≥1，解得a≥1。同理，當a＜0時，解得a≤-1。最后得出a≥1或a≤-1。

圖5

3.拓展提升

例3在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=x2-2mx+m2-1。直 線y=-x+b與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，過點B作垂直于y軸的直線l交拋物線于點P、Q，若△OAP和△OAQ中有且僅有一個為鈍角三角形，結合圖像，求m的取值范圍。

［設計意圖］教師引導學生將拋物線表達式改寫成頂點式y=（x-m）2-1，讓學生能看出該拋物線的平移規律，求出一次函數表達式y=-x+3。此時再構造圖6、圖7這兩種臨界情形，教師鼓勵學生結合圖形自主分析講解。

圖6

圖7

變式3如圖8，已知關于x的二次函數y1=-x2-2x+n、y2=a（x-3）2-n+1（a＞0）滿足對于任意的實數x，都有y1≤1+2n≤y2成立。直線y=kx-k+1（k＞0）與函數y1的圖像交于A、B兩點，與函數y2的圖像交于C、D兩點。若對于任意的k＞0，都有AB≤CD，結合函數圖像，直接寫出a的取值范圍。

圖8

［設計意圖］學生可以求出n的值為-1，知道直線y=kx-k+1（k＞0）經過定點（1，1）。解決本題的關鍵是教師要啟發學生發現兩條拋物線的頂點關于點M（1，1）中心對稱，引導學生結合圖像觀察，最終求出a的取值范圍。

4.回顧小結

小結問題1：本節課繼續研究的是二次項系數為1的二次函數（比如y=x2），你對這類函數的圖像特征有哪些新的認識？

小結問題2：本節課的變式問題與開課時回顧的二次函數（比如y=x2）的圖像特征有什么緊密的聯系？可舉例交流。

［設計意圖］通過課后的小結問題，教師帶領學生課后回顧和反思，一方面回顧本節課所學，另一方面積累本節課教學中的解題經驗和策略。

二、教學反思

1.聚焦核心知識，精心選取習題

在一些重要的章節學習之后，教師會安排幾個課時的習題課教學，這對于鞏固新知是非常必要的。教師如果隨意選取習題，缺少明確的主線或主題，則難以取得良好的教學效果，往往會出現“練過、講過，學生還是出錯”的情形。筆者認為，安排習題課首先要明確教學目標，找出教學主線，圍繞教學主線精選習題。這樣一節課下來，學生對這一類問題及變式題就能有著較為全面的理解，學習效果也能顯著提升。

2.習題課要加強前后教學環節的關聯

為了防止習題課走偏成“題海戰術課”，筆者將本節課習題進行大致歸類，設計成3～4個題組，每個題組是一個教學活動（或教學環節），按由易到難的順序展開教學。每個教學環節最好有明顯的關聯或遞進關系。例如，“基礎熱身”主要是帶領學生復習二次項系數為1的二次函數的圖像特征，而后續的“拾級而上”“拓展提升”這兩個教學環節分別與第一個教學環節關聯和呼應。當學生面對這些變式問題沒有思路時，可以“退回”到第一個教學環節中，重新獲得一些思路和啟示后再挑戰難題，這也是一種“以退為進”的解題策略。

3.精心預設小結問題，引導學生回顧反思

筆者發現，很多習題課教學的最后都沒有課堂小結的時間。著名數學教育家波利亞說過：“習題課教學環節能促進學生對本節課所學的主題、經典圖形、重要性質有一個重新審視、積累經驗的作用。”如本文中的小結問題一樣，教師可以圍繞本節課所學，預設幾個有針對性的小結問題，然后讓學生在這些小結問題的引領之下學會回顧反思，促進經驗分享和知識積累；還可以讓學生課后繼續圍繞本節課訓練的主線，把曾經練習過的同類習題收集、整理在一起，讓學生以解題隨筆或數學寫作的方式梳理成文，在潛移默化中提升解題能力。