淺談在課堂教學中如何滲透方程與函數思想

倪行舟

(福建省福清市海口中學 350300)

對于數學教學來說，培養學生建模思想貫穿于整個初中數學教學的始終，是學習、理解和運用數學知識的重要手段.《數學課程標準》指出：“引導學生在實踐場景當中對數學問題進行剝離，創建相應的數學模型，尋求數學問題的結果，進而對數學問題予以解決”.因此教師在教學過程中不能單純或急于追求實現教學目標，而要根據具體的數學問題引導學生建立模型，還要不斷地調整與創新，逐步培養學生解決數學問題的能力.

1 創設符合學情的學習環境，培養學生建模思想

數學教學的重要目的之一是培養學生的數學思維能力，因此課堂上必須創設良好的學習環境以促使學生學習.教師作為課堂教學的指導者，要根據學生的心理特點和實際情況來制定相應的學習方案，通過設計嚴謹的教學環節與有趣的數學問題，讓學生進行數學思維的學習與訓練，這是進行建模教學的前提與條件.

基于情境明確數學教學問題，逐步引導學生構建自身的數學思維體系.在數學教與學體系中，問題始終是核心，教師的教學需要將數學問題作為切入點.因此教師應善于利用教材，設計符合學生的學習情境，從而引導學生對建模思想產生興趣.教師在這個過程中需要引導學生發現公式與定理的生成過程、原理與方法的獲得過程、函數與方程模型的建立過程.

對互動合作的教學機制與模式進行創新，引導學生開展交流活動.在進行數學教學活動時，教師需要為學生們提供出更多的自我表達和互動交流的平臺與機會，使學生能對自己的學習成果進行組織和梳理，并能清楚、準確地表達出來.

2 培養學生閱讀理解能力，引導學生參與建模

蘇聯著名數學教育家斯托利亞爾曾經表示：在數學教學體系中，數學語言始終是知識的有效載體.那么，教師在進行實踐教學工作時，我們需要關注學生自身數學閱讀能力與素養的形成.課堂上抓住一切時機讓學生進行閱讀，自己理解，或與同學進行交流，切忌教師包辦代替.還要教給學生科學合理的閱讀方法，開始時教師可給予示范，接著讓學生進行練習，帶著學生進行不斷地訓練與強化，以達到培養學生主動閱讀、有效閱讀、科學閱讀的良好習慣.

實際問題與方程、不等式、函數往往相結合，許多信息是“生活化”而非“數學化”的語言，數據多、關系隱蔽等等.因此，在平時的教學中教師要注重示范，教給學生提取關鍵信息的方法，教給學生如何抓住問題的本質，如何有效使用表格或畫圖的方法將問題形象化，建立起直觀形象的數學信息.在面對較為復雜的問題時，指導學生理順各種數量關系，并想方設法轉化為數學的問題，呈現出問題中數學的“原貌”，為問題的解決鋪平道路.

例如：在人教版的七年級上冊教材當中有“電話計費”的問題，問題如下：下面表格各處的是兩種不同類型針對移動電話的費用計算模式：

表1

你認為選擇哪種計費方式更省錢呢？

A.對數學問題展開初步的解析與探索：假設一個月當中移動電話對應的主叫時間是t分(t代表的是正整數)．在對兩種不同的模式進行比對時，先對如下表格進行設計：

表2

B.對問題的深入探究：借助表格直觀發現：當t大于150且小于350時，建立方程求出界點，即58+0.25(t-150)=88，解得t=270，故t小于270時，選擇方式一省錢；t大于270時，選擇方式二省錢．這類試題重點是“建立方程模型”，引領學生經歷“猜想——探究——驗證”的過程，也就是說教師不要急于呈現問題的結論，讓學生體驗建立方程模型解決實際問題的一般過程.

3 設計層次性的數學問題，引導學生主動建模

教學的過程是學生對新知識的認識過程，同時又是學生心智的發展過程，因此必須遵循循序漸進、由低到高、螺旋上升的原則.同時還要考慮數學問題的設置要符合學生的認知程度與解決問題的實際水平，特別是學生對實際問題的分析能力與讀取信息的能力.

例如，進行圍欄面積教學時，先設計出第一個數學問題：如下圖1所示，用32 m長的圍欄，一面靠墻(墻體可利用的最大長度為15m)，圍成長方形的雞舍．設與住房墻垂直一側的雞舍長度為xm，面積用Sm2來表示.當S=120 m2時，求所圍長方形雞舍的長、寬分別為多少？

圖1 圖2 圖3

分析求長方形的面積首先要表示出長方形的長和寬，由雞舍垂直于住房墻的一邊為xm，利用總長32m的圍欄減去垂直于住房墻的兩邊，就表示出平行墻的一邊的長為(32-2x)m，學生很容易根據教師的引導列出一元二次方程：x(32-2x)=120，解得x1=6，x2=10．經檢驗當x1=6時，32-2x=20>15(不合題意，舍去)；當x2=10時，32-2x=12<15(符合題意)，故雞舍的長、寬分別為12m、10m．

教師再次強調解決圍欄問題首先是用未知數表示長和寬，然后建立方程模型，就能達到解決問題的目的.接著，追問：如果圍成中間隔有一道柵欄的長方形雞舍(如圖2)，此時，如何表示長方形雞舍的長和寬．學生根據剛才的解題經驗很容易表示出雞舍垂直于住房墻的一邊為xm，平行墻的一邊的長為(32-3x)m.

這時,我添加一個條件,當S=84 m2時，求雞舍的長、寬各是多少米？

學生很快地建立方程模型：x(32-3x)=84，并解得x1=6，x2=14/3.經檢驗當x1=6時，32-3x=14<15(符合題意)；當x2=14/3時，32-3x=18>15(不符合題意，舍去)，故雞舍的長、寬分別為14 m、6 m，問題就迎刃而解.

繼續追問:為方便進出，在雞舍的長和寬邊上各留一個1 m的門(如圖3)．此時，又如何表示長方形雞舍的長和寬．

學生1：先垂直于住房墻的一邊為xm，此時柵欄與留門分別xm與(x-1)m，用總長32m減去垂直于住房墻三邊用的圍欄，即[32-x-x-(x-1)]m，而{[32-x-x-(x-1)]+1}m就是表示平行墻的一邊的長.

學生2：由前兩個問題知在封閉的圖形中，即不留門時很容易表示雞舍的兩邊，故想象把留的門用材料堵上，留2個門就多準備這2個門的材料，所以問題就轉化用34 m圍欄圍成圖2的雞舍分析即可.此時垂直于住房墻的一邊為xm，平行墻的一邊的長為(34-3x)m．

多好的想法呀，將“留門”問題變成“堵門”問題，很容易解決圍欄“留門”的難題.

當S=96 m2時，求雞舍的長、寬各是多少米？

學生都能快速地建立方程模型破解“留門”問題.如果課堂教學時間允許的話，還可以拓展雞舍中間隔有2道柵欄或留更多的門的問題.

上述問題是由淺入深的進行，由圍成1個長方形到2個長方形，在升級到“留門”，由封閉長方形到不封閉的長方形，從中歸納出不封閉化為封閉來破題，也讓學生領略建立方程模型破解“留門問題”全過程,更能拓寬學生的視野,從而提升學生思維深度和縝密度.

4 巧用函數模型，破解最值問題

巧用函數模型解決數學問題，是初中學生學習的難點，也是中考的熱點，如何把繁鎖的問題進行轉化是破題的關鍵.近些年來，在中考的函數應用類題目當中，融入了多元化的現實題材元素，結合實踐生活背景創建數學題目，彰顯出數學知識的實用價值，因為在高中數學體系內，函數占重要地位，函數思想方法的形成與否會對學生高中知識學習水平產生直接的影響.此外，在中考數學應用類題目當中，函數應用題出現得最多，是中考題的一大亮點，符合時代氣息.因此，在課堂教學時，對“函數模型”的滲透是重中之重.

例如，某一公司的主營產品為某種類型的農產品，一箱此產品利用零售渠道獲取的利潤金額為70元，利用批發渠道獲取的利潤金額為40元．公司基于自身的經營性質作出規定，在產品總銷售數量當中，零售產品數量不得超過30%．目前，此企業需要賣出1000箱此類農產品，應該怎樣安排零售與批發的產品數量，企業才可以獲取最大化的總利潤？總利潤最大為多少？

解設該公司利用零售渠道賣出m箱農產品，所獲取的總利潤數額為w元.那么，利用批發渠道賣出的農產品對應的數量則是(1000-m)箱，

因為該企業利用零售渠道賣出的產品數量不超過整體數量的30%，所以m≤300，結合題意信息可知，w=70m+40(1000-m)=30m+4000，m≤300．又因為30>0，所以w隨著m的增大而增大，所以m=300時，取得最大值49000元，此時1000-m=700．

因此，此企業通過零售與批發渠道賣出的產品數量分別為300箱與700箱時，所獲取的總利潤是最多的，總利潤最大值為49000元．

本題是一道對一次函數的實踐運用的好題目：創建出一次函數的模型，運用一次函數自身的性質與自變量對應的取值范圍來對最值的數學問題予以解決.

總之，數學問題中的許多背景素材，都與生活密切相關，在實踐中發現數學問題，運用數學模型有效剖析問題，是在解決數學問題時所運用的一般性思路.其次，在解決幾何問題時時常常用到方程與函數模型.在開展教學活動時，教師要認識到建模思想的重要性，設置合理的問題，引導學生深入探究，理解其內涵.