應(yīng)用固體力學(xué)實(shí)例的研究性教學(xué)與學(xué)習(xí)的具體實(shí)踐*

李世遠(yuǎn) 劉丁源 姜不易

（中國(guó)石油大學(xué)（北京）石油工程學(xué)院 北京 102249）

引言

應(yīng)用固體力學(xué)（原課程名為應(yīng)用彈塑性力學(xué)）,是校級(jí)品牌課及研究生精品課程。應(yīng)用固體力學(xué)以固體材料或結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變理論以及在工程中的應(yīng)用為主要對(duì)象的一門基礎(chǔ)性、實(shí)踐性很強(qiáng)的應(yīng)用學(xué)科，在石油工程、航天航空工程、船舶與海洋工程、汽車工程、電力工程等領(lǐng)域均有重要應(yīng)用。本課程的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生堅(jiān)實(shí)地掌握彈塑性力學(xué)基本概念和方法，培養(yǎng)學(xué)生初步具備利用彈塑性力學(xué)知識(shí)解決實(shí)際工程問(wèn)題的能力，并成為高層次工程科技研究人才。作為石油與天然氣工程學(xué)科的研究生課程，應(yīng)用固體力學(xué)的特色在于行業(yè)應(yīng)用，而針對(duì)研究生的培養(yǎng)，通過(guò)研討式以及研究小論文的撰寫，把課程的基礎(chǔ)理論與研究生進(jìn)行科研訓(xùn)練相結(jié)合，從而體現(xiàn)應(yīng)用固體力學(xué)在油氣工程領(lǐng)域的應(yīng)用背景和價(jià)值[1]。

一、研究性教學(xué)與學(xué)習(xí)方法在課程實(shí)踐中的應(yīng)用

應(yīng)用固體力學(xué)課程內(nèi)容主要包含的彈塑性理論，包括應(yīng)力、應(yīng)變、本構(gòu)關(guān)系、彈塑性力學(xué)問(wèn)題的提法、彈塑性平面問(wèn)題、變分原理及其應(yīng)用等內(nèi)容。對(duì)于這些內(nèi)容，學(xué)生普遍反映其理論性、抽象性都比較強(qiáng)。對(duì)于研究生工科專業(yè)，特別是以石油工程本科為主要教育背景的授課對(duì)象來(lái)說(shuō)，要加強(qiáng)其力學(xué)基礎(chǔ)理論的培養(yǎng)，同時(shí)也要增加具體實(shí)例的研究性教學(xué)與學(xué)習(xí)。而具體實(shí)例的產(chǎn)生，可以由任課教師尋找，同時(shí)為了調(diào)動(dòng)和挖掘?qū)W生的積極性和創(chuàng)造性，課程的研討性論文，主要讓學(xué)生們就自己感興趣的理論求解的案例，自己導(dǎo)師或課題組研究領(lǐng)域當(dāng)中，涉及彈塑性力學(xué)并與工程緊密結(jié)合的案例，自己尋找、自己思考、自我結(jié)合，形成具體實(shí)例的實(shí)際分析與研究拓展[2]。

具體實(shí)例的引入教學(xué)法不是簡(jiǎn)單地把實(shí)例作為例題分析與講解，而是在教學(xué)基本知識(shí)和內(nèi)容要求的基礎(chǔ)上，選擇適當(dāng)?shù)木唧w實(shí)例，通過(guò)對(duì)這些實(shí)例的觀察、分析、建模，提出問(wèn)題，并解決問(wèn)題。石油與天然氣工程學(xué)科研究生選修應(yīng)用固體力學(xué)課程的研究方向，主體是油氣井工程領(lǐng)域，包括油氣井力學(xué)與控制工程、油氣井巖石力學(xué)與工程、油氣井流體力學(xué)與工程等，也有油氣田開發(fā)工程領(lǐng)域，包括油氣田開發(fā)領(lǐng)域中的壓裂增產(chǎn)、滲流力學(xué)和流固耦合等。這些研究領(lǐng)域與彈塑性力學(xué)、應(yīng)用固體力學(xué)緊密相關(guān)。研究生科研訓(xùn)練當(dāng)中很重要的素質(zhì)之一，就是將理論推導(dǎo)和理論模型，通過(guò)數(shù)值方式進(jìn)行建模、計(jì)算和分析，把理論研究和數(shù)值研究作為重要的研究手段，相互驗(yàn)證，相輔相成[3]。

二、研究性教學(xué)與學(xué)習(xí)的案例及分析

案例1 圓孔孔邊應(yīng)力集中

這是一個(gè)典型的彈性力學(xué)問(wèn)題，對(duì)一個(gè)含圓孔的平板進(jìn)行均勻拉伸，孔邊的應(yīng)力將遠(yuǎn)大于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力，這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。本案例來(lái)自學(xué)生的探究，通過(guò)運(yùn)用有限元軟件Abaqus，建立數(shù)值模型，開展數(shù)值模擬后，將數(shù)值結(jié)果和理論結(jié)果進(jìn)行比較。

對(duì)邊均勻受拉力作用的圓孔平板，圓孔半徑為a，且與板的尺寸相比很小。可得到應(yīng)力分布的理論解析式：

故根據(jù)教材的實(shí)例模型，建立下圖所示模型，板子尺寸為長(zhǎng)100*寬50，圓孔尺寸為R=10.58，對(duì)板子兩側(cè)施加10MPa的均布載荷。米塞斯應(yīng)力分布云圖，如圖1所示。

圖1 圓孔孔邊應(yīng)力集中

根據(jù)書中公式的解析，我們可以知道，R=a，Θ=90°或270°時(shí)，孔邊最大拉應(yīng)力為平均拉應(yīng)力的三倍。R=a，Θ=0°或180°時(shí)，孔邊壓應(yīng)力等于平均拉應(yīng)力大小。但是，根據(jù)米式云圖分布計(jì)算來(lái)看并不滿足此規(guī)律，等效應(yīng)力計(jì)算公式見下。

反觀書中的前提條件可知，當(dāng)2a<

通過(guò)不斷縮小孔眼半徑，我們可以看到，數(shù)值越來(lái)越接近理論解析，故孔的半徑要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于板子時(shí)才能滿足等量關(guān)系（圖2）。

圖2 不同孔眼半徑對(duì)結(jié)果的影響

案例二 均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁的彈塑性力學(xué)求解

一個(gè)簡(jiǎn)支梁，總長(zhǎng)L=0.4m，橫截面尺寸b=6mm,h=10mm，彈性模量E=200GPa，泊松比μ=0.3。受向下的均布載荷 q=500 N/m 。示意圖，如圖3所示。求解簡(jiǎn)支梁的等效應(yīng)力、切應(yīng)力以及各方向的位移。

圖3 簡(jiǎn)支梁模型示意圖

第一步運(yùn)用ANSYS中自帶的插件Geometry建立一個(gè)梁模型，長(zhǎng)0.4m，寬6mm,高10mm，下一步設(shè)置20鋼的材料參數(shù)，然后選取Size為0.2mm的單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分。參數(shù)和網(wǎng)格如圖7所示。最后，設(shè)置應(yīng)力和位移邊界條件：對(duì)梁的左端選取固定約束，對(duì)梁的右邊選取位移約束，Z方向自由，X,Y方向位移為0;在梁的上方施加一個(gè)500N/m的均布載荷。完成以上步驟即可開始求解，如圖4。

圖4（A） 梁的幾何參數(shù)

圖4（B） 梁的材料參數(shù)設(shè)置

圖4（C） 網(wǎng)格劃分圖

求解得到簡(jiǎn)支梁總位移云圖和中性軸位移曲線，如圖5所示。觀察得到位移關(guān)于梁的中點(diǎn)呈對(duì)稱關(guān)系，位移方向向下，中間位移最大，達(dá)到1.673mm，兩邊位移最小，整個(gè)梁呈“凹”形。

圖5（A） 簡(jiǎn)支梁位移云圖

圖5（B） 中性軸位移曲線圖

求解Y方向正應(yīng)力得到應(yīng)力云圖和中性軸應(yīng)力曲線，如圖6所示，由于應(yīng)力向下，因此Y方向最大正應(yīng)力在兩端取到，除兩中點(diǎn)外，其余部分應(yīng)力均較小，相差不大。

圖6（A） Y方向應(yīng)力云圖

圖6（B） 中性軸Y方向應(yīng)力曲線

求解Z方向正應(yīng)力得到應(yīng)力云圖和中性軸應(yīng)力曲線，如圖7所示。觀察圖7可以發(fā)現(xiàn)，Z方向正應(yīng)力關(guān)于中性層對(duì)稱，上部為負(fù)，即壓應(yīng)力，下部為正，即拉應(yīng)力。中性軸的Z方向正應(yīng)力在中部分布均勻，在兩端有劇烈變化。

圖7（A） Z方向正應(yīng)力云圖

圖7（B） Z方向中性軸正應(yīng)力曲線圖

求解中性軸的切應(yīng)力得到切應(yīng)力云圖和切應(yīng)力沿軸向的分布曲線圖，即圖8。左側(cè)切應(yīng)力為負(fù)，右側(cè)切應(yīng)力為正，切應(yīng)力的分布曲線與材料力學(xué)分析得到的分布規(guī)律一致。切應(yīng)力最大為2.3169MPa。

圖8（A） 中性軸切應(yīng)力云圖

圖8（B） 切應(yīng)力分布曲線圖

案例三 懸臂梁模型的數(shù)值模擬驗(yàn)證圣維南原理

圣維南原理是指如作用在彈性體表面上某一不大的局部面積上的力系，為作用在同一局部面積上的另一靜力等效力系所代替，則載荷的這種重新分布，只在離載荷作用處很近的地方，才使應(yīng)力的分布顯著的變化，在離載荷較遠(yuǎn)處只有極小的影響。

通過(guò)對(duì)懸臂梁活動(dòng)端用兩種不同的方式，施加20N的力，第一種為中間點(diǎn)施加20N的集中力，第二種方式為，給5個(gè)均布點(diǎn)分別施加4N的集中力，通過(guò)模擬看到云圖顯示基本相同（如圖9），故無(wú)法準(zhǔn)確判斷不同力系對(duì)應(yīng)力分布的影響，所以提取了固定端和活動(dòng)端的應(yīng)力數(shù)值。

圖9 模型和應(yīng)力分布圖

通過(guò)米塞斯應(yīng)力數(shù)值顯示，左端固定端四點(diǎn)數(shù)值相同，離載荷較遠(yuǎn)處影響較小，但是離載荷作用很近的地方，應(yīng)力分布發(fā)生顯著變化，故圣維南原理在此例中得到一定的驗(yàn)證（如圖10、11）。

圖10 左端固定端四點(diǎn)應(yīng)力顯示

圖11 右端自由端五點(diǎn)應(yīng)力顯示

結(jié)語(yǔ)

本文主要展示了應(yīng)用固體力學(xué)研究性教學(xué)與學(xué)習(xí)模式及具體實(shí)踐，以發(fā)揮學(xué)生主動(dòng)性，運(yùn)用數(shù)值模擬方法實(shí)現(xiàn)理論與解析分析的具體實(shí)例，分別以圓孔孔邊應(yīng)力集中、均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁、懸臂梁模型驗(yàn)證圣維南原理為例，學(xué)生運(yùn)用數(shù)值模擬計(jì)算驗(yàn)證了理論解和相關(guān)基本原理等[4]。通過(guò)案例研究，培養(yǎng)了學(xué)生的理論分析和數(shù)值模擬的能力，有助于滿足復(fù)合型創(chuàng)新人才的培養(yǎng)目標(biāo)，同時(shí)有助于增加課程的實(shí)用性、創(chuàng)新性及學(xué)習(xí)主動(dòng)性。研究生通過(guò)自主學(xué)習(xí)和模擬研究的過(guò)程，本身也是一種意志品質(zhì)和嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)精神的訓(xùn)練，是一種課程思政育人過(guò)程。研究性的教學(xué)與學(xué)習(xí)模式會(huì)在今后課程中不斷得到深入實(shí)踐和發(fā)展。