基于數(shù)學(xué)建模方法的工程數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革試點研究

劉亞風(fēng)

［摘 要］基于工程數(shù)學(xué)課程發(fā)展和創(chuàng)新人才培養(yǎng)的需要，高校進行工程數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革試點研究具有現(xiàn)實意義。文章以高校學(xué)生為主體，改革教學(xué)模式和考核模式，實現(xiàn)以主動學(xué)習(xí)、適度競爭、過程管理、目標考核為宗旨的教學(xué)邏輯改革，探索新工科背景下的工程數(shù)學(xué)課程人才培養(yǎng)模式，以促進高校學(xué)生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展。

［關(guān)鍵詞］高等教育；教學(xué)理論；工程數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模

［中圖分類號］ G642 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 2095-3437（2023）20-0046-04

工程數(shù)學(xué)課程在不同高校的內(nèi)容設(shè)置存在一定差異，一般來說主要包括高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率與數(shù)理統(tǒng)計理論等基本內(nèi)容[1-2]。高校學(xué)生能否有效掌握工程數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)理論知識和思維方法，將對后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)產(chǎn)生重要影響[3]。目前部分高校的工程數(shù)學(xué)教學(xué)存在以下問題：片面強調(diào)數(shù)學(xué)的嚴格思維訓(xùn)練和邏輯思維訓(xùn)練，缺乏從具體現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問題的一般抽象和將一般結(jié)論應(yīng)用于實際情況的思維訓(xùn)練[4]；教學(xué)方法主要為教師在講臺上“唱獨角戲”，學(xué)生容易形成僵化的思維習(xí)慣，嚴重限制了工程數(shù)學(xué)課程和學(xué)科應(yīng)用實踐的發(fā)展。因此，如何提高工程數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量，是相關(guān)高校的重要課題之一。

一、現(xiàn)狀問題分析

（一）知識調(diào)查

筆者以問卷的方式對西南大學(xué)電子信息專業(yè)研究生的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)情況進行了調(diào)查。結(jié)果顯示，被調(diào)查學(xué)生來自十多個本科專業(yè)，對數(shù)學(xué)知識的掌握程度不盡相同。學(xué)生已學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)課程包括高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、離散數(shù)學(xué)、概率論、復(fù)變函數(shù)、數(shù)學(xué)物理方程等，其中以高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)為主。這說明工程數(shù)學(xué)教學(xué)需根據(jù)學(xué)生的知識背景和數(shù)學(xué)知識掌握程度調(diào)整和創(chuàng)新教學(xué)方式。

（二）問題分析

目前，部分高校的工程數(shù)學(xué)教學(xué)方式仍以傳統(tǒng)講授為主，強調(diào)推理的嚴謹性、解題的技巧性[5]。這使得學(xué)生只能被動地學(xué)習(xí)，強記一些基本知識，求解固定的數(shù)學(xué)題目，以應(yīng)付考試和取得高分為目標，缺乏將工程數(shù)學(xué)專業(yè)知識應(yīng)用到實際場景中的能力。在這種情況下，學(xué)生難以搞清楚工程數(shù)學(xué)的理論知識和實際問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣不高。然而，工程數(shù)學(xué)課程的教學(xué)目標是讓學(xué)生掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)思想、理論方法和工程問題解決技巧。因此，要打破傳統(tǒng)“滿堂灌”的教學(xué)模式，開展工程數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)，必須實現(xiàn)教學(xué)模式、教學(xué)理念的革新。

二、教學(xué)模式改革

數(shù)學(xué)建模是根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型并進行求解的一種方法。數(shù)學(xué)建模將實際問題進行簡化、抽象、處理之后，以解答問題為目標建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，其間可以用信息技術(shù)作為輔助，求解得到的結(jié)果也需要進行解析、檢測。將數(shù)學(xué)建模引入工程數(shù)學(xué)課堂當中，不僅能為工程數(shù)學(xué)課程提供生動、有趣的實例，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且能以此為契機對工程數(shù)學(xué)課程的教學(xué)模式和評價模式進行改革，更有助于厘清和深入挖掘工程數(shù)學(xué)課程的教學(xué)邏輯和教育邏輯。因此，課程組結(jié)合數(shù)學(xué)建模方法對工程數(shù)學(xué)課程進行了教學(xué)改革試點研究，通過自主選題、自由組隊、主動學(xué)習(xí)、定期匯報、教師引導(dǎo)等教學(xué)過程設(shè)計，將學(xué)生分成若干個小組，以小組討論的方式進行工程數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)，尋求數(shù)學(xué)建模實例的答案，并改革評價標準，以平時匯報和課程論文作為考核方式。課程設(shè)計流程圖具體見圖1。

（一）題目篩選

教師要對數(shù)學(xué)建模題目進行篩選，使其盡可能地全面覆蓋工程數(shù)學(xué)課程的基本知識點。將數(shù)學(xué)建模問題與工程數(shù)學(xué)知識相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)工程數(shù)學(xué)相關(guān)的知識內(nèi)容。同時，為了激發(fā)學(xué)生的興趣，可提供科技前沿、現(xiàn)實問題和娛樂游戲等三種類型的數(shù)學(xué)建模題目，具體的題目及學(xué)生選擇情況見表1。

（二）自由組隊

在教學(xué)過程中，學(xué)生通過自由組隊分成不同的小組，以小組的形式進行學(xué)習(xí)與討論，共同完成本課程的學(xué)習(xí)任務(wù)。這種小組合作的方式突破了“教師教，學(xué)生聽”的傳統(tǒng)教學(xué)方式的限制，不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，還可以培養(yǎng)其合作能力。學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)解決問題，并通過小組討論和相互啟發(fā)，解決個人自學(xué)難以解決的問題，這激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維，為學(xué)生的全面發(fā)展奠定了良好基礎(chǔ)。小組學(xué)習(xí)方式在一些課堂上或多或少地被采用，但效果并不理想，主要存在以下幾點問題：一是小組人員組成不夠合理，成員興趣不同；二是課堂時間短，很難進行充分的討論；三是教師的課堂監(jiān)督引導(dǎo)方式不合理，容易使學(xué)生產(chǎn)生敷衍心態(tài)；四是沒有強有力的任務(wù)驅(qū)動，小組形式有名無實。

（三）定期匯報

組會是自然科學(xué)領(lǐng)域研究生培養(yǎng)中常見的實踐模式，是以學(xué)生為主體的團隊學(xué)習(xí)活動。這種形式已被證明是非常好的個性化教學(xué)模式。借鑒組會形式，以小組為單位對題目的完成情況用PPT進行定期匯報，匯報人員由小組成員自主選擇決定。在匯報過程中，不同小組之間可以相互提問題，營造競爭學(xué)習(xí)的氛圍。小組本質(zhì)上是以促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)為中心的“研究學(xué)習(xí)共同體”，是激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維以及加強學(xué)生學(xué)習(xí)交流的催化劑。每個小組的定期匯報由小組成員自行輪流組織，這也反向督促學(xué)生在定期匯報中展示自己的綜合實力和素質(zhì)，自覺將外部壓力轉(zhuǎn)化為內(nèi)部動力。小組定期匯報的參與者分享的多元知識可以幫助學(xué)生拓展思維空間，增強以感知、批評、想象和實踐為特征的創(chuàng)新能力；學(xué)生通過小組匯報可以持續(xù)接觸不同的數(shù)學(xué)建模問題以及相應(yīng)的工程數(shù)學(xué)知識。此外，小組定期匯報為教師觀察、判斷和綜合評價學(xué)生提供了現(xiàn)實依據(jù)，有利于教師客觀公正地評價學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，并在過程評價和結(jié)果評價中及時有效地進行指導(dǎo)。教師要在正確的時間引導(dǎo)和激勵學(xué)生，控制研究方向及進度，指導(dǎo)學(xué)生遇到困難時利用工程數(shù)學(xué)知識解決問題，最終完成各種與理論相結(jié)合的模型探討，提升學(xué)生的創(chuàng)新能力。

（四）課程論文考核

隨著培養(yǎng)新時代復(fù)合型創(chuàng)新人才理念的提出，對于不斷出現(xiàn)的新變化，評價方法也應(yīng)進行相應(yīng)改革，以有效發(fā)揮其積極作用。必須改革傳統(tǒng)的理論考試模式，消除“以考試成績論優(yōu)差”這一做法造成的弊端。

以小組合作為例，借鑒學(xué)術(shù)報告、論文、答辯等方式，引導(dǎo)學(xué)生通過小組成員的分工合作來完成項目。同時，將小組整體成績作為重要的考核項目之一，在機制方面保證小組成員合作的積極性，采用“專題探究、小組考核、及時指導(dǎo)”的方法，考核成績由平時的PPT匯報表現(xiàn)和課程論文質(zhì)量構(gòu)成。例如，PPT匯報作為平時成績占 40%，課程論文占60%。PPT報告交流有亮點、成員團結(jié)協(xié)作，就能得到更好的評價。對個別達不到要求的學(xué)生，要及時提醒、警告，并及時獎勵表現(xiàn)優(yōu)秀的組長，促進組員之間的進一步合作。更重要的是，課程論文本身就是學(xué)生平時完成并在上課期間匯報的內(nèi)容，將平時匯報的內(nèi)容和期末考核相關(guān)聯(lián)，學(xué)生平時學(xué)習(xí)和完成課程任務(wù)的積極性和主動性就有了制度上的保證。

三、教學(xué)改革邏輯分析

工程數(shù)學(xué)圍繞專業(yè)培養(yǎng)目標，以學(xué)生為主體，力求提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。這意味著工程數(shù)學(xué)應(yīng)該從“繼承”的教學(xué)觀念轉(zhuǎn)變?yōu)椤皠?chuàng)新”的教學(xué)理念，注重滲透現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的應(yīng)用等內(nèi)容，重新建立適應(yīng)當下需求的知識框架。

（一）興趣激發(fā)

引入數(shù)學(xué)建模的目的在于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)工程數(shù)學(xué)的積極性。在整個課程設(shè)計過程中，題目篩選、自由組隊、定期匯報等各個環(huán)節(jié)的設(shè)計都體現(xiàn)出以學(xué)生為主體、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的出發(fā)點。在題目篩選過程中，結(jié)合科技前沿、娛樂游戲、實際應(yīng)用等，選擇學(xué)生最感興趣的方向，這對于學(xué)生未來學(xué)習(xí)和長遠發(fā)展具有持續(xù)推動作用，對學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)起著關(guān)鍵作用。同時，采用自由組隊、自主選擇題目的方式，能更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性。而且，興趣愛好不同、性格差異較大的小組成員在小組學(xué)習(xí)和互動過程中也能彼此激發(fā)，優(yōu)勢互補，共同進步。

（二）合作競爭

教學(xué)設(shè)計思路是將競爭模式與合作模式相結(jié)合，構(gòu)建“小組合作，組間競爭”的新型教學(xué)模式，即“合作—競爭”教學(xué)模式。在合作的模式下，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中能夠相互合作，學(xué)習(xí)效率大幅度提升。例如，在小組內(nèi)每個成員都有相同的目標，就某一問題闡述各自的解決方案并相互討論，在實踐教學(xué)環(huán)節(jié)承擔(dān)不同的任務(wù)并相互協(xié)作，最后通過合作實現(xiàn)共同目標。同時，給每個小組分配PPT定期匯報任務(wù)，而具體匯報人由小組成員自主決定。集體匯報的過程是一次小組之間相互展示學(xué)習(xí)進度及學(xué)習(xí)成果的過程，自動把競爭引入教學(xué)過程當中。團隊之間的競爭能夠有效激發(fā)個人爭取團隊成功的積極性和使命感，從而起到取長補短、相互促進的作用。

（三）監(jiān)督管理

考慮到部分學(xué)生自我約束能力和自我管理能力不足的問題，需要對學(xué)生進行一定程度的監(jiān)督管理。例如，以定期匯報作為對學(xué)生平時管理的重要方式，幫助教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和進展，實現(xiàn)任務(wù)管理和監(jiān)督學(xué)習(xí)。通過改革考核方式，以過程性評價為導(dǎo)向，實現(xiàn)對學(xué)生學(xué)習(xí)效果的目標管理。在課堂上，各學(xué)習(xí)小組以書面形式呈現(xiàn)學(xué)習(xí)成果，并由小組代表匯報學(xué)習(xí)成果和重要學(xué)習(xí)過程，任課教師對相關(guān)內(nèi)容進行提問，小組成員以答辯的方式進行內(nèi)容闡述，全班學(xué)生作為評審對每個小組的回答進行打分。小組匯報和答辯能夠及時肯定小組的學(xué)習(xí)成果，同時糾正一些錯誤內(nèi)容，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)、指明方向，從而提高工程數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量。學(xué)習(xí)小組的匯報由學(xué)生自主輪流組織，匯報次數(shù)和匯報效果可作為課程評價的標準和依據(jù)。教師要適時啟發(fā)、鼓勵、把控方向，形成一種自然而然的監(jiān)督管理方法。最后，課程論文可作為期末考核的依據(jù)。課程論文的內(nèi)容由平時的學(xué)習(xí)情況及匯報總結(jié)組成，從一開始學(xué)生就知道考核任務(wù)和目標。因此，學(xué)生平時學(xué)習(xí)任務(wù)的完成質(zhì)量就可以很好地體現(xiàn)在期末考核結(jié)果中，避免學(xué)生為了考試而背誦課本的情況，既減輕了學(xué)生期末備考的壓力，又從根本上確保了學(xué)生平時學(xué)習(xí)的動力。

四、效果評價

（一）教師評價

基于數(shù)學(xué)建模方法的工程數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革試點研究結(jié)果表明，該課程改革能夠有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性。學(xué)生主動與教師討論的次數(shù)增加了，知識水平和學(xué)習(xí)能力都得到了提升。并且，在解決問題的過程中，部分學(xué)生還引入了全新的數(shù)學(xué)方法來解決問題。例如，一個小組經(jīng)過探討和學(xué)習(xí)，引入“蒙特卡洛法”來解決路徑選擇問題，可見，學(xué)生的主動學(xué)習(xí)能力和解決問題能力有了顯著提高。在課程學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)得到了完善，自主創(chuàng)新能力也得以同步提升，教學(xué)效果良好。不僅如此，新的教學(xué)模式能夠及時發(fā)現(xiàn)和解決學(xué)生學(xué)習(xí)中的困難和問題。學(xué)生不僅可以在小組學(xué)習(xí)中充分討論相關(guān)問題，而且在匯報過程中可以得到授課教師的答疑和指導(dǎo)，大大提高了學(xué)習(xí)和解決問題的效率。此外，不同小組針對同一選題會有不同的解讀角度，教師在教學(xué)過程中可以因材施教，針對性地應(yīng)用合適的方法幫助學(xué)生各取所需、揚長補短。

（二）學(xué)生評價

通過對參與試點教學(xué)的班級進行問卷調(diào)查，筆者發(fā)現(xiàn)有69.7%的學(xué)生認為自己對這門課的學(xué)習(xí)態(tài)度發(fā)生了變化，并且變得比以前更加積極（見圖2）。在學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)方面，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)主動性、組內(nèi)成員交流、組間成員交流、與老師互動交流的平均分數(shù)（滿分5分）分別是4.22分、4.14分、4.42分、3.89分、4.14分，總體上體現(xiàn)出了學(xué)生較好的學(xué)習(xí)狀態(tài)（見圖3）。

在各項能力的培養(yǎng)效果上，包括專業(yè)知識能力、學(xué)習(xí)創(chuàng)新能力、團隊合作能力和溝通表達能力評價在4分以上的比例分別是78.57%、78.57%、92.86%、90.47%，表明基于數(shù)學(xué)建模方法的工程數(shù)學(xué)教學(xué)改革試點工作取得了初步成效。

五、總結(jié)與展望

工程數(shù)學(xué)不僅是理工科的基礎(chǔ)課程，也是核心課程之一，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是工程數(shù)學(xué)的重要目標。本課程在教學(xué)模式改革、考核方式革新和數(shù)學(xué)建模融入教學(xué)等多方面引導(dǎo)下，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)新思維能力和溝通表達能力。本次教學(xué)創(chuàng)新模式實踐效果顯著，將課程講授、理論應(yīng)用、自主創(chuàng)新融為一體，教學(xué)效果得到教師團隊和學(xué)生的一致好評。未來，基于數(shù)學(xué)建模方法的工程數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革還需要在多個方面縱深推進，如分組靈活性、選題范圍以及小組間討論方式等。

［ 參 考 文 獻 ］

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［責(zé)任編輯：劉鳳華］