跨越認知斷層 走向深度學習
——“三角形的面積”教學實踐與思考

浙江省溫州市濱江外國語小學 林志輝

浙江省溫州市百里路小學 朱昭偉

【教學內容】

人教版數學五年級上冊P95-96。

【緣起】

“三角形的面積”作為人教版數學五年級上冊《多邊形的面積》單元“平行四邊形的面積”之后的內容，是在學生掌握了三角形的特征及長方形、正方形、平行四邊形的面積計算的基礎上進行教學的，同時又是進一步學習梯形面積、圓的面積和立體圖形表面積的基礎，是小學階段“圖形與幾何”領域不可或缺的重要內容。概覽國內人教、北師大、蘇教等幾個版本的教材，我們可以發現有些版本的教材同時采用割補法、倍拼法轉化推導三角形的面積公式，所有版本的教材都采用了倍拼法轉化推導三角形的面積公式。可見，教材對于面積轉化推導過程及倍拼法的重視程度。

那么，學生是否具備轉化推導三角形的面積的知識及經驗基礎呢？學生能否自行領悟“倍拼法”轉化推導三角形的面積呢？在本課之前，學生已經經歷了運用數格子等方法抽象概括長方形、正方形面積公式的過程，而在學習平行四邊形的面積中，又初步掌握了運用轉化思想和割補方法推導平行四邊形面積公式的方法，為三角形面積公式推導奠定了一定的基礎。具體到“倍拼法”，雖然學生之前學習過倍拼內容，但采用“倍拼法”進行面積轉化，卻是在本課第一次出現。通過前測，我們也發現，雖然大部分學生能用“數格子”“割補法”或直接運用面積公式求出格子圖中的三角形的面積，但近80%的學生對于公式的推導過程并未真正理解。另外，盡管相對于“等積轉化”，運用“倍積轉化”推導三角形面積公式更加形象直觀，卻只有16%的學生想到用“倍拼法”進行面積轉化。

那么，本節課如何帶領學生經歷三角形面積探索的全過程，跨越“等積轉化”到“倍積轉化”的認知斷層，積累活動經驗，發展空間觀念呢？我們的想法是以核心大問題為引領，以關鍵問題為驅動，在圖式相融、方法勾連中，跨越認知斷層，進而實現三角形面積的深度學習。其教學目標確定為：

1.理解并掌握三角形面積轉化的方法及面積公式，能正確計算三角形的面積。

2.經歷三角形面積的探索過程，積累活動經驗，進一步感悟轉化的思想和方法，發展空間觀念和初步的推理能力。

3.感受數學知識間的聯系，收獲學習成功的體驗，激發數學學習的興趣。

【教學實錄】

一、“前測”對比，初感轉化

（一）問題引領

師：這是一個平行四邊形（見圖1），它的面積是多少？如果在它里面畫一個面積最大的三角形，三角形的面積是多少？

圖1

（二）“前測”對比

1.反饋前測

師：其實，對于這個問題，課前我們已經做過研究。有的同學認為這個三角形（見圖2）的面積是最大的，它的面積怎么計算？

圖2

生：此時把平行四邊形分成兩個一樣大的三角形，所以，三角形的面積是平行四邊形面積的一半，可以列式“10×4÷2”，它的面積就是20 cm2。

師：有同學列了同樣的算式，但是他畫的三角形卻不一樣，想象一下，可能是怎樣的？

（學生思考想象，教師出示學生預學作品，見圖3）

圖3

2.對比聚焦

師：這兩個三角形形狀不同，為什么都可以用“10×4÷2”求面積呢？

生：因為它們都是同一個平行四邊形面積的一半，所以都可以先算平行四邊形的面積，再除以2。

師：都是同一個平行四邊形的一半，平行四邊形在哪里？

（課件出示平行四邊形）

師（追問）：為什么求它們的面積都要除以2？

【設計意圖：課前預學以“在平行四邊形內畫一個面積最大的三角形，并說明怎樣計算它的面積”這樣富有挑戰性的問題激活學生的已有經驗。在課始階段以普遍性作品反饋、對比，勾連三角形和平行四邊形的面積，引導學生在圖式轉化中初感三角形的面積轉化。】

二、自主探索，再感轉化

（一）自主探索

師：有的同學認為此時三角形的面積也是最大的，怎么計算它的面積呢？（見圖4）

圖4

師：想一想、畫一畫、算一算，在學習單（1）上表示出你的想法。

（學生自主探索，教師巡視）

（二）作品反饋

教師巡視并收集學生的代表性作品，反饋學生的作品：

1.割補法

作品一（見圖5）：

圖5

師：這是A同學的作品，你是怎么想的？

生：我是把三角形兩邊的部分通過割補，轉化成一個長方形，長方形的長是三角形底邊的一半，就是5cm，寬等于三角形的高是4cm，長方形的面積是5×4=20（cm2），長方形的面積等于三角形的面積，所以三角形的面積是20cm2。

作品二（見圖6）：

圖6

師：這是B同學列的算式：10×2=20（cm2） 。猜猜看，他是怎么想的？

生：把三角形上面部分進行分割，再通過割補轉化成一個長方形，長方形的長是10cm，寬是三角形高的一半也就是2cm，長方形的面積是10×（4÷2）=20（cm2），長方形的面積等于三角形的面積，所以三角形的面積是20cm2。

作品三（見圖7）：

圖7

師：剛才把三角形轉化成面積相等的長方形求出它的面積。那么，這名同學又是怎么轉化并計算面積的？

2.倍拼法

師：這個作品（見圖8），你們明白他的想法嗎？

圖8

生：我用兩個一樣的三角形，拼成一個平行四邊形，這時平行四邊形的長就是三角形的底等于10cm，平行四邊形的寬就是三角形的高等于4cm，平行四邊形的面積就是三角形面積的2倍，我先求出平行四邊形的面積，再除以2，所以三角形的面積是10×4÷2=20（cm2）。

3.小結優化

（1）課件演示（見圖9）

圖9

（2）對比優化

師：這些方法都能推導求出三角形的面積，都可以轉化成“10×4÷2”求出面積，這里的“÷2”是什么意思？

生：這里的“÷2”表示兩個同樣的三角形拼成一個平行四邊形，平行四邊形的面積是三角形的2倍，先求出平行四邊形的面積，除以2就是三角形的面積了。

【設計意圖：此環節讓學生充分地自主探索，選取有代表性的作品多層次展示交流，由圖到式、由式想圖不斷進行圖式想象勾連，發展空間觀念。在不同方法對比勾連中引導學生感知三角形面積的轉化，逐步明晰倍拼法的優越性。】

三、推廣歸納，完善轉化

（一）由式想圖，滲透等底等高

師：回看這個平行四邊形（見圖10），你還可以畫出哪些三角形用這個算式計算面積？

圖10

（課件拉動三角形的頂點，形成新的三角形，見圖11）

圖11

師：為什么都可以用這道算式計算？

生：底都是10cm，高都是4cm，三角形的面積就都是10×4÷2=20（cm2）。

【設計意圖：利用幾何畫板技術，在變化中尋找不變之處，既有想象和課件直觀感受關鍵因素，又有抽象理性叩問。】

（二）推廣歸納，得到面積公式

師：現在你能寫出三角形的面積計算公式嗎？

生：三角形的面積公式=底×高÷2。

師：是不是所有的三角形都可以這樣求面積？

（學生想象，任意拉動三角形，再倍拼驗證）

師：為什么都可以用底×高÷2來求面積？

生：因為不論三角形長什么形狀，都能找到一個和它形狀一樣的三角形拼成平行四邊形，平行四邊形的面積是底×高，所以三角形的面積=底×高÷2。

師：轉化前后的三角形和平行四邊形有什么關系？

生：三角形的底是平行四邊形的底，三角形的高是平行四邊形的高，平行四邊形的面積是三角形面積的2倍。

師：現在我們能明確三角形的面積=底×高÷2。

【設計意圖：“是不是所有的三角形的面積都可以用底×高÷2表示？”“為什么都可以用底×高÷2來求面積？”“轉化前后的三角形和平行四邊形有什么關系？”問題串不斷叩問，結合幾何畫板直觀展示，促使學生思維更清晰、更深入、更全面、更合理。】

四、融會貫通，拓展延伸

（一）反思推理

反思1：為什么最大？

師：再來看這個問題，現在你能說明為什么此時三角形的面積最大了嗎？（見圖12）

圖12

生：三角形的面積是平行四邊形的一半，平行四邊形的面積是40 （cm2），三角形的面積最大只有20（cm2）。

生：要使面積最大，那么底要最大，高最大。此時底和高已經是最大的了，所以面積也就最大了。

反思2：還是最大嗎？

師：此時三角形的面積還是平行四邊形里最大的嗎？（見圖13）

圖13

師：現在你怎么想？（見圖14）

圖14

生：這兩個三角形的底相等，高相等，面積肯定也相等，肯定也是最大的20cm2。

（二）延伸拓展

1.在梯形ABCD中畫一個面積最大的三角形，面積是多少？（見圖15）

圖15

2.圖中有幾對面積相等的三角形？面積是多少？（見圖16）

圖16

【設計意圖：此環節緊扣核心問題，一脈相承，首尾呼應，既有反思推理，又有公式靈活運用。練習開放且富有層次性，既是對本課的拓展練習，又有對三角形面積和梯形面積的勾連。】

五、課堂小結

（略）

【反思】

正如前文提到的，學生在“等積轉化”和“倍積轉化”間存在著認知斷層。同時，本課又是在平行四邊形面積推導基礎上進一步加深對轉化思想的感悟，在首次領悟“倍積轉化”的同時完成對多種轉化推導的融會貫通。本節課，我們嘗試以核心問題為引領，跨越認知斷層，以關鍵問題為驅動，帶領學生經歷轉化、推導的全過程，實現三角形面積的深度學習。

（一）核心問題引領，跨越認知斷層

本節課從前測開始，始終圍繞核心問題（在平行四邊形中畫一個面積最大的三角形，并說明如何計算三角形的面積）進行引領教學。課前預學孕伏，大部分學生想到了平行四邊形對角分割成三角形的情況，說明學生在問題解決中能自然把三角形和平行四邊形進行勾連。課中有層次交流碰撞：“對角線分割作品對比異同”“非對角線作品自主探索”“等底等高三角形理性叩問”“面積最大三角形反思推理”“梯形中最大三角形延伸”。全課一脈相承，在核心問題的引領下，跨越認知斷層，從“知其然”走向“知其所以然”，從而進一步嘗試走向“知何由以知其所以然”。

（二）關鍵問題驅動，親歷轉化全程

“這個三角形的面積怎么計算？”“為什么求它們的面積都要除以2？”“這里的‘÷2’是什么意思？你最喜歡哪種方法？”“是不是所有的三角形都可以這樣求面積？”“為什么都可以用‘底×高÷2’來求面積？”“轉化前后的三角形和平行四邊形有什么關系？”“為什么此時三角形的面積最大？”回溯全課，我們不難發現本課在核心問題引領的同時，不斷以關鍵問題驅動教學。學生縱向親歷從特殊到一般、從感性直覺到理性分析、從“具象”到“表象”到“抽象”的三角形面積轉化推導的全過程，橫向感悟了“割補等積”“雙拼倍拼”等不同方法間的融通勾連，不斷將思維引向更清晰、更深入、更全面、更合理。