留學生“微積分”課程思政融入的實踐與思考

成 敏，馮 瑋，南 哲

（浙江工業大學 理學院，浙江 杭州 310023）

微積分是一門研究運動與變化的學科，是數學中的一門基礎學科。微積分理論的實用性非常強，是研究各種科學的工具，是學生終身學習最重要的數學基礎。因此，我校為一年級留學生特別開設了全英文“微積分”公共基礎課。

“微積分”課程的學時相對比較多，而且面向全校留學生授課。對從世界各地來到我校的留學生新生來說，他們對“微積分”課程的重視程度非常高，并滿懷激情、濃厚興趣和學習動力。因此，以“微積分”課程為重要基礎課的平臺，因勢利導，融入思政教育，對于后續的留學生學風建設十分有益［1］。

隨著經濟社會的發展和進步，國家加大了本科院校人才培養力度，對留學生的人才培養也提出了目標和要求。優秀的高素質國際人才既要擁有扎實的專業知識和技能，還要有強烈的社會責任感、深厚的人文底蘊，做好中外合作的橋梁。因此，在完成“微積分”教學任務的同時，充分發揮教師的主導作用，盡力挖掘教學內容中富含的思想性和教育性元素，使留學生在學到知識的同時，樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀［2］。

一、課程思政教學整體設計思路

以課堂教學為主，結合自學、課堂討論、團隊合作訓練活動，充分利用線上優勢，線上線下融合。通過傳統課堂教學，進行知識傳授，使學生熟練掌握單變量及多變量微積分中的有關概念、定理以及思想。

將數學歷史文化融入課程，在課上有意識地講解世界數學發展史，滲透古代數學輝煌的歷史和成就，讓學生在學習數學知識的同時，充分感受古人努力鉆研的奮斗精神。通過學習數學文化，不僅可以培養學生的邏輯思維能力、抽象思維能力和形象思維能力，還可以激發學生學習數學知識的信心和求知探索的欲望。

以“數學建模”為引導，拓展課程思政渠道。教師在傳授數學理論與思想方法的同時，還可以結合學生專業課程的培養目標，積極拓展課程渠道，引導學生認識數學在科學技術中的重要作用，挖掘實際生活中的數學元素，探索數學理論與實際問題的密切聯系。

用科學家的奮斗經歷激勵學生堅定信念、勤奮學習。在授課過程中結合講述歷史上在微積分學科做出重大貢獻的數學家的故事。比如，作為微積分創始人的數學家牛頓和萊布尼茨茲憑著堅定的信念、百折不撓和頑強的奮斗精神，為偉大的科研事業勤勤懇懇、兢兢業業，奉獻了畢生精力。世紀優秀的數學家歐拉則拓展了微積分領域，為微分幾何及分析學重要分支（如無窮級數、微分方程）的產生和發展奠定了重要的基礎。歐拉即使在經歷了雙目失明的重創之后，仍然憑著不屈不撓的奮斗精神堅持不懈地進行研究。在“微積分”教學過程中，通過和留學生分享這些偉大數學家的勵志事跡，激勵留學生樹立目標，以頑強的毅力和昂揚的斗志腳踏實地地學好專業技能并不斷完善自我和超越自我［3］。

對于課堂中的難題，鼓勵學生在已有提示的基礎上逐步嘗試獨立完成。教師可對這類問題多設置一些提示環節。在培養留學生抗挫折能力的同時，也可以培養其樂觀的精神和面對困難戰勝挫折的決心。

二、留學生“微積分”課程案例舉例

本課程中，教師除了講授專業知識，還要圍繞理想信念、科學精神和奮斗精神等方面開展課程思政，引導學生對數學的內在含義、規律以及現實應用展開深度思考，將德育融入課程。

微積分中蘊含著關于世界觀的豐富哲理，例如普遍聯系、對立統一、量變到質變、否定之否定等馬克思主義哲學觀點原理［4］。在描繪正弦三角函數圖像時，可以引導學生抓住主要矛盾和矛盾的主要方面，將復雜的問題簡單化，根據五個關鍵點描繪正弦函數圖像與橫坐標軸的交點及圖像的最低點和最高點，直觀形象地體現正弦函數圖像的特點和本質，以此增強學生對馬克思主義哲學關于矛盾主要觀點的理解。講解三角函數的導數公式時，可以引導學生發現6種三角函數中，正弦、正切、正割的導數都是正的，而余弦、余切、余割的導數都是負的，找出記憶規律的同時，發現數學公式的對稱美。

基本初等函數是后續構建復雜函數的基本原件，只有對基本初等函數有了充分的認識后，才可以融會貫通，應用不同的變換法則，構造出更為復雜的函數。讓學生通過這一點認識到，高樓大廈起于一磚一瓦，要從小事做起，方能成就大事。

在研究二次函數圖像時，可以引導學生抓住主要矛盾和矛盾的主要方面，將復雜的問題簡單化，根據頂點信息來得到對稱軸、值域等其他信息，直觀形象地體現二次函數圖像的特點和本質，以此增強學生對馬克思主義哲學關于矛盾的主要觀點的理解。

定積分的數學思想可以概括為“分割（化整為小）、作積（局部近似）、求和（化小為整）、取極限（精確化）”。除了純粹的數學解釋，這一思想不管是對學生學習還是教師教學都有很大的啟發。比如，教師在課上可以將大問題盡可能切分成許多小問題，深入淺出地解釋給學生聽，使其有更加深入的理解。

切平面上的切點可以選擇的方向是無數的，但朝向極值點的方向只有一個，這就強調了眾多選擇中方向的重要性。在求偏導數時，要假定其他變量不變、視其為常數。這是分析問題的一種方式，即在分析某一個因素對整個事情的影響時，固定地只看一個因素。如果在眾多選擇中找到自己想要的，那么在那個方向上的二元的選擇就不再是問題。所以從二元函數到多元函數的變化，讓我們看到方向的重要性。

注重理論與實際相聯系是本課程教學的一大特點，通過不同學科的例子抽象概括某個概念的定義，讓學生經歷比較分析抽象概括等思維過程，感受數學來源于現實，服務于現實，同時學生能從情境中體會數學概念的形成過程，并能更深刻地理解概念，能更好地應用概念。例如，介紹利率的概念單利和復利時，通過具體的例子讓學生切身感受復利狀態下利息增長的速度。講述高利貸等生活中能遇到的實例，讓學生了解利滾利最后陷入的困境，幫助學生形成正確的價值觀。在課堂教學中，向學生闡述很多事物的變化都是連續的，比如植物的生長、氣溫的變換、知識的積累等，不能急于求成，必須遵循其原本的規律。注重知識的總結和鞏固是本課程教學的又一特點。在教學過程中，教師除了向學生灌輸新的知識，還要帶領學生對學過的知識進行階段性的總結。使學生學會總結，并認識到善于總結可以使自己在遇到類似問題時選擇最合理的處理方式，可以鍛煉自己的邏輯思維能力和判斷能力。學會做一個善于總結的人，可以避免自己犯同樣的錯誤，并在反思中迅速成長進步。“學而不思則罔，思而不學則殆。”總結是一個整理提煉的過程，也是一個思想轉變、不斷成熟的過程。

課程中，教師除了講授專業知識，還圍繞理想信念、科學精神和奮斗精神等方面開展課程思政。極限的符號詮釋的是永遠運動、無限接近的過程。極限就如同我們最起初的理想，不忘初心，砥礪前行，精益求精，無限接近，方得始終。極限的精確定義，也蘊含了辭海精神，一絲不茍，字斟句酌，作風嚴謹。微積分基本定理的發現是數學歷史上的一個公案，課上我們通過介紹牛頓和萊布尼茲茨爭奪微積分基本定理發現權的故事，幫助學生提高對數學以及科學的興趣，并幫助學生樹立誠實守信的正確價值觀。通過引入芝諾悖論之一：阿喀琉斯悖論（芝諾采用無限分割的做法，體現極限的思想，體現無窮和極限的問題），讓學生體會辯證唯物主義的對立統一規律在數學領域中的應用，培養學生用辯證唯物主義的方法思考問題。通過講述微積分發明權之爭的歷史事實，向學生傳遞文明因交流而多彩，文明因互鑒而豐富，歷史證明盲目排外的做法是錯誤的。

在課程設計上，不忘將學生所學知識與前沿科學以及實時熱點相聯系。例如，簡單闡述復合函數、鏈式法則與深度學習中多層神經網絡及其求導的聯系，并進一步引申到當今前沿的機器學習、人工智能，緊密結合科技現狀，激發學生的學習興趣和熱情。簡單闡述復合函數、鏈式法則與深度學習中多層神經網絡及其求導的聯系，幫助學生了解當今前沿的技術，鼓勵學生奮發向上，努力學習最新技術。

將函數的極值引申到人生中，數學上有函數的極值，人生中也有，將數學與人生聯系起來，讓學生感悟，人生就像連綿不斷的曲面，起起落落是必經之路，是成長的需要，跌入低谷不氣餒，甘于平淡不放任，佇立高峰不張揚，這才叫胸襟寬闊。

三、課程思政典型教學案例示范

案例名稱：定積分的幾何應用。

（一）案例教學目標

1.知識目標。讓學生理解微元法的概念，熟練應用牛頓-萊布尼茨公式求解定積分，并掌握以下知識點與技能：（1）繪制簡單的二維曲線圖形；（2）能將圖形的面積表示成定積分形式；（3）通過定積分的求解得到圖形的面積；（4）通過對稱性簡化求解，通過分析所得結果，簡單地判別結果的正確性。

2.能力目標。提高學生理論聯系實際的能力，提高學生將復雜問題分解轉化為簡單問題集合再進行求解的能力，訓練學生的計算能力。培養邏輯思維、抽象思維、空間想象力。增強提出問題、表達問題、分析問題、解決問題的數學應用能力。

3.價值目標。通過對微元法思想的理解，幫助學生樹立大事化小、逐步求解的思維方式，培養學生理性思維和批判思維。通過對復雜問題的求解培養學生不畏困苦勇攀高峰的奮斗精神。通過一題多解，培養學生的辯證思維和求實作風。通過創新應用訓練，培養學生的創新意識，進而幫助學生樹立正確的價值觀。

（二）案例教學實施過程

曲邊梯形面積的求解在日常生活中普遍存在。針對概念理解難的問題，選擇通過兩個實例引入知識點。

引例一：拱橋的面積——給定一個拋物線形拱橋的跨度，并且固定其高度，求此拋物線拱形橋的橫截面積。

引例二：求兩條曲線所圍圖形的面積——怎樣選擇合適的分割方法將此問題轉化為第一類問題求解？

教學方法：采用由“問題誘導—啟發討論—探索結果—直觀觀察”組成的一種研究型教育方法。過程中注重誘導、探究和練習的結合，從而引導學生轉變學習方式，采用激發興趣、主動參與、積極體驗、自主探究的學習，形成師生互動的教學氛圍。

通過情景導入、問題驅動、師生互動、實例演示和自主練習相結合的方式，引導學生發現問題、分析問題、解決問題。課上采取隨堂測驗以便及時檢測教學效果，并及時得到平時成績的反饋。

對于普通梯形，采用初等數學方法求解其面積和利用定積分計算其面積兩種方法，比較其結果，討論不同的方法各自的優劣之處。

（三）思政切入點

讓學生了解如何對看似無從著手的問題拆解細分，循序漸進，逐個攻破，系統條理化地完成任務。讓學生體會按步驟求解的理性思維方式在生活中的用處。以直代曲、化繁為簡、分而治之是這一類問題能夠帶給我們的更深層次的思考，不僅求解數學問題如此，還可以給我們解決很多實際問題提供思路。

四、教學效果及反思

如何促使留學生“微積分”教學中課程內容和思政教育元素的有效結合是我們一直在探索的。通過課堂教學，學生對于定積分的概念和性質有了進一步的理解，知道如何利用定積分就是一種復雜和式的極限形式的性質，并利用其求解幾何中的曲邊梯形面積。學生反映課程收獲很大，主要難點集中為二維曲線的準確繪制、被積函數略為復雜的定積分準確求解和求解過程中正負符號的判別。此處我們建議重新回顧曲線的繪制，引導學生回顧曲線繪制的多個步驟，做到心中有譜，按部就班，能夠利用微積分一階導數以及二階導數的性質，不慌不忙地繪制好函數曲線，從而為面積求解提供保障。

結語

通過留學生“微積分”課程思政教學實踐，我們獲得了一些心得體會，同時也有很多不足之處，需要不斷完善和改進。思政著眼點主要集中在培養理性思維、激發學習興趣、磨煉戰勝難題的毅力等方面［5］。由于課時緊張，需要講述的內容很多，同時全英文教學中留學生的思政教育對教師的英語表達能力也有很大的挑戰。因此，對微積分發展史的全方位介紹、著名的推動微積分學科發展的人物介紹等方面不夠深入。這些會是我們后續線上線下融合中進一步完善線上資源的重中之重。相信學生在了解了更多的數學史和數學家的故事后，對將來的終身學習也會有更大的幫助。