數(shù)學(xué)建模在“圖論”教學(xué)中的作用解析

薛麗娜

【摘要】為探討數(shù)學(xué)建模在“圖論”教學(xué)中的應(yīng)用和效果，文章介紹了數(shù)學(xué)建模的基本概念，詳細闡述了數(shù)學(xué)建模在“圖論”教學(xué)中的具體應(yīng)用，分析了數(shù)學(xué)建模在“圖論”教學(xué)中的優(yōu)勢和效果，并且提出了數(shù)學(xué)建模在“圖論”教學(xué)中的實施策略和方法.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模；“圖論”教學(xué)；實施策略

【基金項目】本文系山西省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度課題“CSCL情境中開放大學(xué)在線教學(xué)互動有效性研究”（課題編號：GH-220335）的階段性研究成果

引 言

數(shù)學(xué)建模就是根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型，并對數(shù)學(xué)模型進行求解，然后根據(jù)結(jié)果解決實際問題的過程.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模被應(yīng)用于各個方面.文章將探討數(shù)學(xué)建模在“圖論”教學(xué)中的具體應(yīng)用，分析其優(yōu)勢和效果，并提出實施策略和方法.教師在研究“圖論”教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模應(yīng)考慮以下兩個主要方面：一是“圖論”本身的特性；二是數(shù)學(xué)建模在教學(xué)中的普遍應(yīng)用.教師將數(shù)學(xué)建模引入“圖論”教學(xué)中，可以使學(xué)生更好地理解和應(yīng)用圖論的知識，培養(yǎng)他們解決實際問題的能力，從而滿足現(xiàn)代社會對綜合型、實踐型人才的需求.

一、數(shù)學(xué)建模的基本概念

（一）數(shù)學(xué)建模的定義和目標

數(shù)學(xué)建模是將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型的過程.它通過數(shù)學(xué)工具和方法描述實際問題，分析問題的規(guī)律，并提出解決方案.數(shù)學(xué)建模的目標是深入理解問題的本質(zhì)，揭示問題的特征和規(guī)律，從而為解決實際問題提供合理的數(shù)學(xué)解決策略.數(shù)學(xué)建模的定義體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用和價值.通過建立數(shù)學(xué)模型，人們可以抽象出問題的關(guān)鍵要素，并利用數(shù)學(xué)工具和方法對其進行描述和分析.教師在教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模，不僅可以解決具體的實際問題，還可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力和實際應(yīng)用能力.

（二）數(shù)學(xué)建模的基本步驟

數(shù)學(xué)建模通常包括以下基本步驟：問題的描述與理解、建立數(shù)學(xué)模型、模型的分析和求解以及結(jié)果的驗證和應(yīng)用.首先，問題的描述與理解是數(shù)學(xué)建模的起點.這一步驟涉及對實際問題的深入理解和分析，學(xué)生應(yīng)弄清問題的背景、目標和約束條件.對此，學(xué)生可通過與問題相關(guān)的調(diào)查研究和數(shù)據(jù)收集，確定問題的核心要素和關(guān)鍵因素.其次，建立數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵步驟.這一步驟需要選擇合適的數(shù)學(xué)模型，并將問題抽象為數(shù)學(xué)形式，定義數(shù)學(xué)變量和約束條件.數(shù)學(xué)模型可以是數(shù)學(xué)方程、函數(shù)、圖表或其他數(shù)學(xué)描述形式，其用來表示實際問題中變量之間的關(guān)系.再次，模型的分析和求解是數(shù)學(xué)建模的核心內(nèi)容.這一步驟需要運用數(shù)學(xué)工具和技巧進行模型的數(shù)學(xué)分析和求解，其中涉及數(shù)值計算、符號計算、圖論分析、概率統(tǒng)計等方法.學(xué)生通過模型的分析和求解，可以獲得關(guān)于問題的定性和定量結(jié)論，從而進一步理解問題的特征和規(guī)律.最后，結(jié)果的驗證和應(yīng)用是數(shù)學(xué)建模的最終目標.這一步驟需要對模型的結(jié)果進行驗證和評估，以確定模型的準確性和適用性.驗證可以通過實際數(shù)據(jù)的對比、敏感性分析、誤差分析等方法進行，同時可將模型的結(jié)果應(yīng)用于實際問題的解決和決策中，從而為實際問題提供合理的解決方案和決策支持.整個數(shù)學(xué)建模的過程是一個循環(huán)迭代的過程，學(xué)生在這個過程中不斷優(yōu)化和改進，逐步提高模型的準確性和適用性，從而獲得最優(yōu)的問題解決方案.

（三）數(shù)學(xué)建模涉及的數(shù)學(xué)工具和技巧

數(shù)學(xué)建模涉及多種數(shù)學(xué)工具和技巧，它們可支持問題的數(shù)學(xué)描述、分析和求解.其中，數(shù)學(xué)分析是基礎(chǔ)，包括微積分、線性代數(shù)、概率論等，用于構(gòu)建模型和進行分析.最優(yōu)化理論包括線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、非線性規(guī)劃等，可以引入約束條件和優(yōu)化目標，用于解決優(yōu)化問題.統(tǒng)計學(xué)方法包括統(tǒng)計推斷、回歸分析、假設(shè)檢驗等，用于模型驗證和評估.圖論分析則用于描述和分析復(fù)雜系統(tǒng)中的關(guān)系和相互作用，如建模和分析網(wǎng)絡(luò)、路徑、連通性等問題.此外，數(shù)學(xué)建模還可借助數(shù)學(xué)建模軟件和工具，如MATLAB，Python，GAMS等.這些工具提供了函數(shù)庫和工具箱，支持模型的建立、分析和求解，提高了建模的效率和準確性.在數(shù)學(xué)建模的過程中，具體使用哪些數(shù)學(xué)工具和技巧取決于問題的性質(zhì)和要求.學(xué)生需要根據(jù)實際問題的特點，靈活運用數(shù)學(xué)工具和技巧，選擇最合適的方法解決問題.此外，數(shù)學(xué)建模還需要結(jié)合其他學(xué)科領(lǐng)域的知識，如物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、工程學(xué)等，以獲得更全面、準確的問題解決方案.學(xué)生綜合運用各種數(shù)學(xué)工具和技巧可以更好地理解問題、構(gòu)建模型和應(yīng)對實際挑戰(zhàn).

二、數(shù)學(xué)建模在“圖論”教學(xué)中的具體應(yīng)用

（一）實際問題與圖模型的映射

在“圖論”教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模扮演著至關(guān)重要的角色.這一方法幫助學(xué)生將實際問題與圖模型聯(lián)系起來，從而使學(xué)生深刻地理解問題的結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系.數(shù)學(xué)建模的核心思想在于將復(fù)雜的現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學(xué)模型，這種模型通常以數(shù)學(xué)符號和數(shù)量關(guān)系的形式進行表達，而圖論則是一種非常適合用來建模和解決各種實際問題的數(shù)學(xué)工具.在“圖論”教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模使學(xué)生能夠掌握將實際問題轉(zhuǎn)化為圖模型的過程，這一過程包括以下幾個關(guān)鍵步驟：

1.問題抽象

學(xué)生首先需要深入理解實際問題的本質(zhì)，識別其中的關(guān)鍵元素和相互關(guān)系.例如，若問題涉及路徑規(guī)劃，則學(xué)生需要識別出路徑中的節(jié)點和邊.

2.圖的構(gòu)建

學(xué)生可以運用“圖論”的基本概念構(gòu)建一個圖，其中節(jié)點代表問題中的元素，邊代表元素之間的聯(lián)系.這個圖可以是有向圖、無向圖、帶權(quán)圖等，具體形式取決于問題的特性.

3.數(shù)學(xué)建模

學(xué)生需要將問題的數(shù)學(xué)模型與圖相對應(yīng).通常，這涉及將問題的條件和約束映射到圖的性質(zhì)和限制中.例如，將路徑長度的限制映射為邊的權(quán)重.

4.問題求解

一旦建立了與實際問題相對應(yīng)的圖模型，學(xué)生就可以運用“圖論”的算法和技巧解決問題，這包括尋找路徑、計算最短距離、查找最小生成樹等.

例如，學(xué)生遇到一個城市間的交通規(guī)劃問題.他們可以將城市表示為圖中的節(jié)點，將道路表示為圖中的邊，然后利用“圖論”算法找到最短路徑或最小生成樹，以解決交通規(guī)劃難題.通過這個過程，學(xué)生不僅掌握了“圖論”的基本概念，還學(xué)會了如何將這些概念應(yīng)用于實際問題的建模和求解中，從而為更好地理解圖論的實際應(yīng)用奠定了堅實基礎(chǔ).

（二）圖模型的分析、求解和驗證

通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生可以將實際問題轉(zhuǎn)化為圖模型，并進行深入的分析、求解和驗證.其中，路徑問題是一個常見的應(yīng)用，學(xué)生可以運用圖的遍歷算法如深度優(yōu)先搜索或廣度優(yōu)先搜索解決.這樣他們可以找到兩個城市之間的最短路徑，或找到一條經(jīng)過城市數(shù)量最少的路徑.另外，最小生成樹問題也是一個重要的應(yīng)用，學(xué)生可以運用最小生成樹算法如Prim算法或Kruskal算法解決.此外，圖的連通性問題也是一個關(guān)注點，學(xué)生可以使用連通性算法確定圖是否連通以及節(jié)點之間是否存在特定的連接.網(wǎng)絡(luò)流問題涉及資源分配和最大流、最小割問題，學(xué)生可以運用網(wǎng)絡(luò)流算法解決相關(guān)實際問題.通過這些分析、求解和驗證過程，學(xué)生能夠?qū)D論知識應(yīng)用于解決實際問題過程中，并深入理解圖的特性和算法的運作原理.這樣的實踐經(jīng)驗將幫助他們形成問題解決的能力和創(chuàng)新思維，提升其數(shù)學(xué)建模的實際應(yīng)用能力.

三、數(shù)學(xué)建模在“圖論”教學(xué)中的優(yōu)勢和效果

（一）激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和主動性

在“圖論”教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模可以將抽象的數(shù)學(xué)概念與實際問題相結(jié)合，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性.傳統(tǒng)的“圖論”教學(xué)側(cè)重理論推導(dǎo)和抽象定義，缺少與實際問題的聯(lián)系.而數(shù)學(xué)建模的引入，可以讓學(xué)生在解決實際問題的過程中感受到數(shù)學(xué)的實用性和應(yīng)用性，從而增強對“圖論”知識的學(xué)習(xí)動力.通過實際問題的引入，學(xué)生能夠更加主動地參與學(xué)習(xí)，積極思考如何運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題.

（二）培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力和創(chuàng)新思維

數(shù)學(xué)建模需要學(xué)生具有發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力.傳統(tǒng)的“圖論”教學(xué)往往側(cè)重教授已有的解決方法和套路，而數(shù)學(xué)建模則要求學(xué)生自主思考問題，自主尋找解決方法，創(chuàng)新思路.因此，通過對實際問題的建模和求解，學(xué)生能夠思考多種解決方案，提高靈活運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.這種培養(yǎng)方法，不僅對學(xué)生學(xué)習(xí)圖論的知識有益，還對其在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)和實際生活中的問題解決有著積極影響.

（三）提高學(xué)生對圖論的理解和實際應(yīng)用能力

通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生能夠?qū)ⅰ皥D論”的抽象概念融入實際問題中，從而提高對“圖論”的理解和應(yīng)用能力.首先，數(shù)學(xué)建模使學(xué)生能夠直觀地理解“圖論”的概念.通過將實際問題映射為圖模型并親自解決，學(xué)生可以親身體驗節(jié)點、邊和路徑在實際情境中的運用，加深對“圖論”基本概念的理解.其次，數(shù)學(xué)建模為學(xué)生提供了實際案例.學(xué)生能夠?qū)ⅰ皥D論”的知識應(yīng)用到解決交通規(guī)劃、社交網(wǎng)絡(luò)分析、通信網(wǎng)絡(luò)設(shè)計等真實案例中.通過真實案例的解決，學(xué)生能更好地理解“圖論”在解決實際問題時的價值和應(yīng)用性.最后，數(shù)學(xué)建模涉及跨學(xué)科知識的應(yīng)用.學(xué)生需要在多個學(xué)科領(lǐng)域建立聯(lián)系.例如，學(xué)生在解決社交網(wǎng)絡(luò)分析問題時涉及計算機科學(xué)、社會學(xué)和“圖論”等多個領(lǐng)域的知識.這種跨學(xué)科知識的應(yīng)用培養(yǎng)了學(xué)生的綜合思維能力，使他們能夠?qū)⒉煌瑢W(xué)科的知識結(jié)合起來解決復(fù)雜問題.通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生不僅能夠加深對“圖論”理論知識的理解，還能培養(yǎng)實際應(yīng)用能力，從而為將來在相關(guān)領(lǐng)域中應(yīng)用“圖論”知識奠定堅實的基礎(chǔ).

四、數(shù)學(xué)建模在“圖論”教學(xué)中的實施策略和方法

（一）教學(xué)內(nèi)容設(shè)計和課堂活動安排

在“圖論”教學(xué)中，教師設(shè)計合適的教學(xué)內(nèi)容，精心安排課堂活動，可以有效促進數(shù)學(xué)建模的實施.教師可以選擇與學(xué)生實際生活相關(guān)的問題，將其轉(zhuǎn)化為適合學(xué)生理解的“圖論”問題，從而引導(dǎo)學(xué)生運用“圖論”知識進行數(shù)學(xué)建模.例如，教師可在城市道路規(guī)劃中，引出最短路徑問題；在社交網(wǎng)絡(luò)中，討論人際關(guān)系的圖模型；等等.這樣的教學(xué)內(nèi)容可以激發(fā)學(xué)生的興趣，提高他們對“圖論”知識的學(xué)習(xí)動力.此外，教師還可以采用小組合作的形式開展課堂活動.在實際問題的引導(dǎo)下，教師組織學(xué)生分成小組，共同探討和解決問題.每個小組可以分配不同的任務(wù)，如進行圖的建模、尋找解決方案、分析結(jié)果等.通過小組活動，學(xué)生可以互相交流和討論，提高合作能力和團隊精神，并從中獲得更豐富的學(xué)習(xí)體驗.

（二）學(xué)生作業(yè)和小組研究項目的設(shè)計

為了鼓勵學(xué)生主動探索和應(yīng)用“圖論”知識，教師可以設(shè)計與數(shù)學(xué)建模有關(guān)的作業(yè)和小組研究項目.例如，教師可要求學(xué)生選擇一個實際問題進行建模，并進行分析和求解.學(xué)生可以自主選擇合適的圖模型，并應(yīng)用有關(guān)算法和技術(shù)進行問題求解，最終展示他們的研究成果.在小組研究項目中，教師可以給予學(xué)生一定的自主權(quán)，讓他們自己選擇感興趣的問題進行探究.這樣的任務(wù)設(shè)計可以激發(fā)學(xué)生的研究興趣和創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)他們的問題解決能力和創(chuàng)新意識.此外，教師還要為學(xué)生提供充足的學(xué)習(xí)資源，以便他們在研究過程中遇到困難時能夠及時解決.

（三）數(shù)學(xué)軟件和工具的應(yīng)用

數(shù)學(xué)軟件和工具在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中起到了重要的輔助作用.在“圖論”教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生使用有關(guān)的數(shù)學(xué)建模軟件和工具，如Gephi，NetworkX等進行圖的可視化分析.這些工具可以幫助學(xué)生直觀地理解和探索圖的特性、圖的算法等重要概念，從而增強他們的“圖論”學(xué)習(xí)效果.教師可以在課堂上演示數(shù)學(xué)軟件和工具的使用方法，引導(dǎo)學(xué)生進行實際操作.同時，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生對軟件和工具的獨立應(yīng)用能力，鼓勵他們在作業(yè)和研究項目中靈活運用這些工具進行建模和分析.

結(jié) 語

數(shù)學(xué)建模在“圖論”教學(xué)中具有重要的應(yīng)用價值.通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生能夠更深入地理解和應(yīng)用圖論知識，同時形成問題解決能力和創(chuàng)新思維.教師在“圖論”教學(xué)中應(yīng)積極應(yīng)用數(shù)學(xué)建模，從而為學(xué)生提供更豐富的學(xué)習(xí)體驗，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力.

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