高中數學中導數解題策略及其教學方法探微

馬愛平

【摘要】導數是高中數學的核心知識，也是高考數學的必考知識點，教師應關注導數解題教學活動，強化對導數解題策略及其教學方法的研究，以實現對學生導數解題能力的培養.文章結合高中數學導數解題教學中經常出現的問題，提出了一些導數解題教學策略，以期幫助高中數學教師明確教學方向，提高高中數學導數教學的效果.

【關鍵詞】高中數學；導數；解題策略；教學方法

在高中數學知識中，導數是至關重要的組成部分，且高考數學經常出現大量導數題型，這就要求教師在教學中向學生全面講解導數知識、培養其解題能力.但由于導數部分知識抽象性較強，且涉及的公式較為繁雜，學生經常會在學習與解題中產生一些問題.針對該情況，教師應深化解題策略教學，并立足實際探究更加科學的教學方法.

一、導數解題策略在高中數學教學中的意義

從導數本身的含義出發，加強導數解題策略教學，可以幫助學生深入理解導數的概念與意義，掌握“基本初等函數的導數”“導數的四則運算法則”“簡單復合函數的導數”等知識點，強化公式記憶，高效實現導數初級教學目標.而從導數的功能來說，導數與高中數學函數、方程、不等式、向量等教學內容有著極高的關聯性，應用導數解決相關問題，可以化繁為簡，在有效提高解題效率的基礎上，幫助學生養成從不同角度分析問題的良好習慣.所以，無論對導數本身來說，還是幫助學生挖掘函數、方程等問題的全新解題思路，教師都應在高中數學教學中，進一步提高導數解題策略的教學力度.

二、高中數學常見導數題型與解題策略

雖然導數與高中數學函數等核心內容聯系緊密，但是在學習導數知識時，很多學生難以獨立地在導數與其他數學知識之間建立起聯系，明確其關聯性.這就要求教師研究解題策略和教學時，先幫助學生明確導數知識與其他內容的聯系，再根據知識關聯性向學生說明導數被應用于解決不同數學問題時的具體解題策略.教師可以先發揮專業優勢，歸納高中數學常見的導數題型及解題策略，再深化例題教學，篩選典型例題，帶領學生剖析其解題策略.

（一）導數與曲線切線方程問題

當函數表達式、曲線切線方程、函數某處極值已知，但函數表達式中存在未知數時，教師可引導學生通過極值與切線方程逆推函數未知數，從而求得其表達式.之后，根據其導數關系式，代入區間范圍，判斷函數極值.最后，基于極值關系，求出函數最值.師生合理分析例題，總結解題策略，使學生學會根據實際情況，逆用函數單調性、極值、最值解題策略，解決復雜的函數問題.

三、基于解題策略的高中數學導數教學方法

（一）培養高中生良好讀題能力與習慣

高中生讀題習慣的良好與否在一定程度上影響著他們的解題能力，以往高中生之所以會在導數解題中出現大量錯誤，正是因為沒有形成良好的解題習慣，在未讀懂題意時就盲目地進行解題.因此，在高中數學教學中，為促進學生掌握導數解題策略，教師應培養學生良好的讀題能力與習慣，先讓學生會讀題、讀懂題，再讓學生會解題、能解題并解答出正確答案.再者，究“讀題”本質也是一種解題策略，而且是最基本的解題策略，學生只有在該策略實踐中獲得準確捕捉解題信息的能力，才能實現更理想的解題學習目標.

（2）思考函數f（x）是否在R上單調遞減，若是，請說明a的取值范圍.若不是，請闡述你的觀點；

（3）若函數f（x）在區間[-1，1]上單調遞增，求a的取值范圍.

教師應先提醒學生對不同小問的問題規律展開分析，再提醒他們將每一小問視為獨立的問題.這是因為，題目中的三個小問看似存在聯系，實際上每一個小問中的前提條件都是通過假設給出的，若學生盲目地認為三個小問之間存在聯系，將前一個小問的解題結果與后一個小問的前提條件混淆，極易出現解題錯誤、陷入思維誤區.

學生在教師提醒下形成“在解答函數題遇到不同小問時，一定要對不同小問是否存在內在聯系展開嚴謹分析，避免將通過假設條件求解的結果應用在無關聯小問的解題過程中”的意識，建立正確的讀題思維，掌握最基本的解題策略，能夠在面對導數解題任務時更謹慎、細致地對問題展開思考和分析.

（二）注重對導數綜合習題的有效運用

一般來說，通過課堂有效學習和日常解題練習，面對基礎導數習題，高中生可以較為輕松地解答出正確答案.但是在面對綜合性較強的習題時，學生易產生新的困惑，如在解答中混淆解題步驟，在關鍵步驟應用錯誤的公式等.為規避這一問題，高中數學教師在導數解題策略教學中，應注重對綜合性習題的有效運用，在選擇并運用合適例題的基礎上，逐步引導學生分析解題步驟和思維，并借此機會培養其正確的綜合性解題意識、向其講解解答綜合性題目的有效策略.

本題綜合性較強，既考查學生對基礎公式掌握情況，又考驗學生對函數極值導數解題策略掌握情況與知識的應用能力.教師可以按照如下方法組織教學：

教師以學生為主體，指導他們獨立分析題目并捕捉關鍵解題信息，確定解題策略.

生2：在求解出未知數后，通過求導計算確定函數單調性，再通過單調區間分析極值，可以輕松求解出函數極值.

教師先對學生分析結論表示認可，再鼓勵他們進入解題實踐狀態、解答題目.同時，在學生解題過程中適當提問，幫助其理清解題思路，明確解題策略.

師：你們的思維很清晰，答案也正確.那么，在這次解題中，你發現了運用導數解答函數極值題目的哪些解題策略呢？（問題指向對解題策略的總結）

生1：想要準確求解函數極值，首先應確定其定義域.

生2：在求解定義域的基礎上，還應通過判斷f′（x）正負關系確認函數單調性.

生3：只有知道了函數單調性，知道函數在定義域內的增減順序，才能準確判斷其極大值、極小值位置和數量、數值.

生4：極值不唯一，并非有極大值就要有極小值，一個函數也不一定只有一個極大（小）值.

學生積極分享自己在教師指導下的綜合性解題探究過程中發現、掌握的重要解題策略，總結思維實現在高中數學函數解題教學中的滲透，學生通過及時總結進一步夯實對解題策略的掌握，得以將解題能力提升至新的層次.

（三）重視并發揮典型錯題的教學價值

學生的成長過程，是一個不斷試錯、改錯的過程.在高中數學導數解題策略教學中，學生出現的共性問題是至關重要的教學資源，可以為教師落實解題策略教學提供關鍵參考.所以，教師應深入剖析學生出現的共性問題，歸納其典型錯誤，再利用典型錯題，完善高中數學導數解題策略教學.教師可以特別設置“錯題反思課”，分類出示典型錯題，先引導學生分析錯因，再對錯題進行講解.最后，將課堂主體地位交還給學生，使其自主總結典型錯題糾錯方法，說明在實際問題情境中，如何有效規避類似錯誤.這樣，學生最大限度地體驗了“錯題分析”“糾錯改正”的過程，強化錯題記憶，避免出現“在同一個地方摔倒兩次”的情況.

例5 從邊長為2a的正方形鐵片四個角各截去一小塊邊長為x的小正方形，再將四邊向上折起，做成一個無蓋的長方體鐵盒，要求長方體的高x與底面正方形的邊長比值不超過常數t.若使鐵盒容積V有最大值，則x應滿足哪些條件？

通過分析典型例題，學生明確“忽視分類討論”常見錯因，總結需要分類討論的題型特點，可有效杜絕重復出錯，使導數解題策略教學有效性得到更穩固的保障.

結 語

綜上，文章以人教A版高中數學教材為參考，著眼于導數知識，基于學生在解題中經常出現的問題分析了優化教學的具體方法，提出了培養高中生良好讀題能力與習慣、明確導數知識與其他內容的聯系等教學建議.高中數學教師在導數教學過程中，可以上述建議為參考，在遵循主導性與主體性相結合的教學原則基礎上優化導數解題教學，深化對高中導數解題策略教學方法的分析，培養并提高高中生導數解題能力.

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