培養理性思維，提高關鍵能力

梁付元

摘 要：在人類社會進步與發展的歷程中，特別是當今信息高度發達、技術高速發展的階段，作為基礎學科的數學，在一定程度上影響并決定著一個國家的綜合實力.而滲透其中的理性思維是脈絡與靈魂.其依托高考這一選拔人才的平臺，借助中學數學教學，全面培養理性思維，有效提高關鍵能力，引領與指導高中數學教學與學習，以及人才的長遠發展目標.

關鍵詞：理性思維；關鍵能力；基礎知識；基本技能；數學思想；思維過程

數學作為一門基礎學科，也是一門思維的科學，其是培養學生的理性思維的重要土壤與關鍵載體之一.數學教育與數學教學的一個重要目標就是幫助學生構建、形成并發展學科思維，而其中理性思維是數學學科思維的一個綜合體現.

1 夯實基礎知識，完善知識結構

數學理性思維與關鍵能力不是獨立于數學基礎知識、基本技能、思想方法、數學經驗之外的神秘概念，它們綜合體現了對數學基礎知識內在聯系的理解、對數學基本技能方法的掌握、對數學思想方法的感悟、對數學思維活動經驗的積累、對數學理性精神的體驗等.

而“四基”（數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗）依托于數學基礎知識以及由其反映出來的數學思想方法，夯實數學基礎知識，掌握數學概念本質，全面完善數學知識體系與結構，是學好數學的必要條件，也是全面發展理性思維和取得理想成績的捷徑.

例1 （2022年高考數學新高考Ⅰ卷·14）寫出與圓x²+y²=1和（x-3）²+（y-4）²=16都相切的一條直線的方程_________.

解析：（速解處理1）兩圓外切，所以兩圓相減，即得3x+4y-5=0；

（速解處理2）數形結合，直觀分析，即得x=-1.

點評：以兩圓位置關系為試題背景考查邏輯推理、運算求解與直觀想象能力，強調數學理性思維、指向數學學科核心素養.圓的幾何性質要深刻理解、靈活運用.同時還要融會貫通地理解“切線”的概念.注意用運動變化的觀點以及極端化原理思考問題.

所以，數學理性思維與數學關鍵能力的源頭是“四基”，離開了“四基”，它們就是無源之水、無本之木；沒有數學理性思維的“四基”，就會失去目標與靈魂，就失去了核心價值.而“四基”的奠定又必須要求全面夯實數學基礎知識，完善數學基礎知識體系與整體結構.

因而，高考復習與教學必須回歸數學課本，從教材體系中去全面梳理數學基礎知識、基本思想方法等，并在此基礎上構建全部的數學網絡體系，形成一個完整的知識架構，方便由此整合知識、完善思想、優化技巧、提升效益.

2 強化基本技能，確保落實規范

數學的基本技巧主要包括以下一些基本技能：數學閱讀技能——基于數學概念解讀本質，在數學解題中要強調回到概念中去；數學作圖技能——基于數學任務達到示意，在數學解題中要強調構建直觀模型；數學推理技能——基于合情、演繹推理有理有據，在數學解題中要強調推理是命根子；數學運算技能——基于依據數學法則目標導航，在數學解題中要強調運算是“童子功”；數學表達技能——基于數學語言規范清晰簡捷，在數學解題中要強調數學語言準確.

例2 （2022年高考數學新高考Ⅱ卷·7）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為33和43，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）.

A. 100π

B. 128π

C. 144π

D. 192π

綜上，該球的表面積為100π，故選擇答案：A.

點評：在具體求解過程中，很好地展示了數學作圖技能，還要根據不同的場景進行分類處理；數學運算技能也能得以全面應用.綜合解題過程中，多層面的數學技能往往都在解題過程中的不同階段得以很好的發揮與應用，只有充分綜合與利用這些數學技能，才能更好地處理與解決問題.

數學的基本技能要一以貫之地落到實處，深入到數學解題的“最前沿”，同時解題操作要規范、有序，數學運用要快速、準確.

3 感悟數學思想，培養理性思維

高考數學試卷對數學思想方法的考查融于數學基礎知識的各種形式的考查之中，從而有效檢測其對數學基礎知識與思想方法等方面掌握的熟練程度.高考可以在選擇題、填空題或解答題等不同題型中，進行數學思想方法與數學基礎知識的全面考查，覆蓋面更廣，形式更靈活多變.

解析：當a＜0時，函數f（x）的圖象如圖1所示，不滿足題意；

當a=0時，函數f（x）的圖象如圖2所示，滿足題意；

當0＜a＜2時，函數f（x）的圖象如圖3所示，要使得函數有最小值，需滿足-a²+1≥0，解得0＜a≤1；

當a=2時，函數f（x）的圖象如圖4所示，不滿足題意；

當a＞2時，函數f（x）的圖象如圖5所示，要使得函數f（x）有最小值，需（a-2）²≤-a²+1，無解，故不滿足題意；

綜上分析，a的取值范圍是［0，1］，故a的最大值為1；

故填答案：0（答案不唯一，只要在［0，1］內取值即可）；1.

點評：在實際解題過程中，借助函數自身的內涵與本質，可以回歸其“數”的性質，也可以轉化為“形”的結構，特別注重數形結合，這個過程中既要充分發揮“形”的直觀性，又要注重“數”的嚴謹性，保證問題的本質屬性，從而數形結合，達到繁中求簡、以簡馭繁是理性思維的內涵之一.

在具體數學解題過程中，要充分借助相關的數學知識體系以及技巧方法：利用嚴謹的方法進行邏輯推理與數學運算；利用函數或方程進行函數與方程思想應用；利用以“形”助“數”或以“數”論“形”進行數形結合思想應用；利用化整為零或聚零為整進行分類與融合思想應用；利用化繁為簡、化生為熟等進行化歸轉化思想應用；以及特殊與一般思想、統計與概率思想的應用等，唯有如此才能培養理性思維，提高關鍵能力，進而提升數學學科核心素養，達到數學育人（立德樹人）的目的.

4 重視思維過程，積累解題經驗

某些解題技巧也許是可以傳授的，但真正的解題智慧是難于口口相傳的，它需要個體的親身體會與深切感悟.“沒有過程=沒有思想”，只有經歷概念的抽象過程、解題方法的獲得過程，方能參悟到蘊含其中的思想方法，所以要給學生充分的時間進行“感悟”，切忌在匆忙中“趕誤”.在此解題實踐與思維過程中，通過感悟，不斷積累解題經驗，抽象解題智慧與解題技巧.

點評：對于以上三角函數問題，關鍵是挖掘題目內涵，綜合三角函數的基礎知識，思維角度多樣，方法各異.具體解決問題中，抓住三角函數的本質，可以從定義、三角函數、平面向量、解析幾何、構造對偶式及不等式等思維視角切入，結合不同的思維過程與對應的技巧方法等，實現問題的理性思維與巧思妙解.

5 總結

新高考命題越來越基礎，越來越靈活，給了學生充分的時間“感悟”解題方法的來龍去脈，可以有效克服“機械刷題”的影響，這也為高中數學教學與學習指明方向，引領我們將數學應試能力的訓練轉向核心素養的培養，以及數學理性思維與關鍵能力的培育與提升等.

其實，理性思維是數學學科核心素養的一個靈魂，高考數學試卷將關鍵能力與理性思維、數學應用、數學探究、數學文化等數學學科素養聚焦于數學理性思維的主線之上，突出考查理性思維與關鍵能力.

參考文獻：

［1］ 楊志芳.突出關鍵能力，凸呈理性思維［J］.中學數學，2021（2）：55-56.

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2017.