立足教學實踐 發展數學抽象

［摘? 要］ 高中數學教學以發展學生的數學學科核心素養為目標. 數學抽象素養作為數學學科核心素養的六大要素之一，對學生的個人發展具有重要意義. 如何立足教學實踐，發展學生的數學抽象素養呢？文章從概念教學、模型建構、數學思想方法的提煉與數學結構體系的建構四方面展開分析.

［關鍵詞］ 數學抽象；教學實踐；思維

數學是一門綜合性學科，對學生的思維要求較高. 學生不僅要理解生澀的概念、抽象的定理和公式等，還要將概念、定理和公式等靈活地應用在實際問題的解決中. 尤其是高考試題，綜合程度高，一道題往往涉及多個知識點，這對學生的思維與抽象能力提出了更高的要求. 為了讓學生形成以“不變應萬變”的解題能力，教師應將培養學生數學思維能力與數學抽象素養的方法滲透在教學的各個環節中，讓學生在潛移默化中得以發展.

在概念教學中發展數學思維

概念是數學的核心，是發展數學思維的關鍵. 弄清概念的本質是數學教學的根本，對發展學生的抽象能力具有重要價值與意義. 學生學習概念的過程實則為掌握一類事物關鍵屬性的過程，這種關鍵屬性一般從大量的同類事物的不同例證中逐個發現，羅列到一起則抽象出相應的概念（概念形成）. 學生結合自身原有的認知結構來理解新的概念，稱為概念同化. 概念同化與形成是獲得概念的兩種基本形式.

如何在概念教學中發展學生的抽象素養呢？從概念的意義來看，概念是在對數學對象模式識別與圖形感知的基礎上抽象而來的.

案例1 “弧度制”的教學.

弧度制是指建立在扇形圓心角的基礎上，分別從弧長、圓心角與半徑三者中抽象出圓心角大小的概念. 因此，執教弧度制概念時，可設計一個既符合學生實際認知，又包含弧長、圓心角與半徑的情境，啟發學生的思維，讓學生順利進入新知探索狀態，為抽象弧度制的概念做準備.

情境：如圖1所示，國際標準要求鉛球的投擲區為圓，落地區為一個以圓心為頂點的角，根據比賽規定，要在角內確定的位置畫出多條弧線.

問題1：只憑借皮尺，該如何測算出該角的大小？

教師以學生熟悉的鉛球比賽場地作為情境，結合學生的認知水平提出相應的問題，讓學生很快聯想到之前接觸的扇形與弧長問題，顯然這個情境起到了良好的誘導思維的效果.

問題2：觀察到每一個小組成員所測得的半徑r與弧長l的值雖然不一樣，但計算后所獲得的n的值又是一樣的，這是為什么呢？

鑒于學生有了生動、形象且有效的活動作為思維的支撐點，學生很快就自主感悟并抽象出圓心角公式所具備的結構特征.

問題3：基于上述探索，大家還有其他想法嗎？

當學生抽象出弧度制的概念后，教師可帶領學生化簡扇形的弧長與面積公式，這彰顯著數學學科的簡潔美. 接下來，借助弧度制與角度制的換算，建立角度和實數一一對應的關系，這也是三角函數的知識基礎.

以上概念教學片段，教師從學生的生活經驗出發，創設了豐富的教學情境，成功地吸引了學生的注意力. 問題串的應用與數學文化的滲透，有效啟發了學生的數學思維，讓學生主動抽象出弧度制的概念并深刻理解弧度制的來龍去脈，為后續三角函數的研究奠定了基礎.

在命題教學中發展數學思維

數學知識有三個模塊：概念、命題與論證. 高中數學命題教學要求讓學生深刻理解命題的意義，明晰推理過程以及命題的應用范圍，能利用命題解決實際問題. 在命題教學中發展學生的數學抽象素養，關鍵在于帶領學生探索命題的推理過程. 如教師提供一些探索素材，輔以適當引導，可讓學生在良好的氛圍下通過自主觀察、分析、類比獲得命題.

現代教育心理學研究表明：數學學習過程并不僅僅是帶領學生理解并掌握知識的過程，還是引發學生主動發現并解決問題的過程. 這就需要教師從一些典型的知識出發，利用各種教學手段引導學生開動腦筋，探尋數學事物中所蘊含的規律，讓學生經歷完整的研究過程，為建構新知、形成長時記憶、發展抽象素養奠定基礎.

案例2 “平面向量基本定理”的教學.

在作向量的過程中，學生的第一次抽象為：應用向量a，b能表示多個以O為起點的向量c，也就是c=λa+μb（λ，μ∈R）.

接下來，教師借助幾何畫板變換λ與μ的值，學生在動態演示中發現用向量a，b能表示無數個以O為起點的向量c，此為學生的第二次抽象.

此時，學生的思維切換到建模的節點：①以O為起點的向量c能不能用向量a，b表達出來？②觀察自己作的5個向量，抽象出平行四邊形法則，即向量c=λa+μb（λ，μ∈R）的具體作法. 此為完成上述問題的基礎，亦是引發學生進行逆向思考的過程，由此學生自主獲得與向量c相對應的實數λ與μ.

至于起點不位于點O處的任何向量，都可以把起點平移到點O的位置. 到這個時候，抽象平面向量基本定理的過程基本完成.

學生的思維因經歷了由淺入深、循序漸進的逐層抽象過程，不僅對平面向量基本定理的來龍去脈有了充分認識，還對平面向量基本定理有了深刻理解.

命題教學的關鍵在于引導學生掌握邏輯推理能力，尤其要關注一些具有典型意義的數學思想、研究技巧的提煉與總結等. 同時，命題還是培養學生逆向思維與反思能力的契機，尤其是命題的變用、逆用等能有效促進學生解題能力的提升.

在數學思想方法提煉中發展數學抽象素養

數學思想是指人們對數學研究對象的規律與本質的深刻認識，是數學學習與數學問題解決的重要方式、策略與指導原則. 數學方法是指人們解決實際問題的程序、步驟，是實施數學思想的手段.

將數學思想與方法聯合在一起進行表述，其實兩者間有著一定的聯系：數學思想是數學方法的靈魂，具有指導方法應用的功能，以及內隱性特征；數學方法是數學思想的表現形式與實現手段，具有外顯性特征.

數學思想方法是數學抽象的產物，抽象過程對學生數學思維的發展有重要的促進作用.

案例3 “兩角差的余弦公式”的教學.

當學生抽象出兩角差的余弦公式并對其特征與本質有所了解后，進入公式的證明環節，讓學生將這一公式的研究類比到其他類似公式的研究中，形成一定的研究“套路”.

在研究過程中，最重要的就是數學思想方法的提煉與應用. 立足學生數學學科核心素養的公式教學，可在數學思想方法的提煉與滲透中幫助學生形成良好的抽象能力.

通過以上幾項教學活動的開展，不難看出數學思想方法的提煉與滲透不僅能有效促進學生思維能力的提升，還能有效發展學生的數學抽象素養，提高學生的邏輯推理能力，讓學生感知數學學習帶來的成就感.

在結構體系建構中發展數學抽象素養

在學習過程中建構良好的數學結構體系是數學抽象的重要體現. 普朗克是量子論的創始人，他提出：科學是內在的統一體，雖然將它分解到各個單位的部門中，但這并不是由事物的本質所決定的，而是源于人類認知的局限性，事實上不論是物理、化學，還是人類學、社會學等都存在一定的內在關系.

如圖2所示，我們所熟悉的數系內的六則運算之間就存在著縱橫交錯的聯系.

將教學內容結構化與體系化，可讓知識變得更簡約，利于學生記憶、存儲與檢索，促使學生形成新的想法，為創新意識的形成與抽象意識的發展奠定基礎. 有些教學內容從縱向的邏輯來看，并不存在什么關系，但它們所蘊含的數學思想方法卻有高度的相似性，從橫向來打通這種關系，能有效突破知識的封閉性，幫助學生建構結構開放、內容豐富的知識網絡.

如我們熟悉的對數函數、指數函數等，就可以通過列表的方式，類比其定義域、圖象、值域與性質等.

案例4 “圓錐曲線”的教學.

橢圓與雙曲線的橫向類比，要求學生思考：假設兩個定點間的距離是2c（2c＞0），到這兩個定點的距離之和為定長2a（2a＞2c）的點所形成的軌跡是一個橢圓；到這兩個定點的距離之差為定長2a（2a＜2c）的點的軌跡為雙曲線. 若橢圓和雙曲線分別對應加和減的運算，則是否存在相應的曲線對應乘和除的運算呢？

這個問題有點難度，主要是針對學有余力的學生而設計的，意在引導這部分學生進入探究狀態，發展他們的數學抽象素養. 對應乘和除的運算的曲線確實存在，即到兩個定點的距離之比為定值（不等于1）的點的軌跡是阿波羅尼斯圓，到兩個定點的距離之積為定值的點的軌跡為卡西尼卵形線，雙紐線為特殊的卡西尼卵形線.

兩種圓錐曲線的橫向類比，不僅能讓學生發現它們間的異同點，還能讓學生感知知識的統一性，體驗數學之美. 學生在自主探索中不斷完善知識結構，建構良好的知識體系，一方面促進了抽象素養的形成與發展，另一方面增強了對客觀現實世界的洞察力.

總之，數學抽象素養的培養必須立足教學實踐，讓學生從數學的角度來分析與看待問題，形成用數學眼光觀察世界、用數學思維思考世界、用數學語言表達世界的能力. 知識與技能的教學是最基礎的教學活動，是發展學生直觀想象、數學抽象的重要過程，是培養學生數學學科核心素養的關鍵.

作者簡介：崔亮（1984—），本科學歷，中小學一級教師，從事高中數學教學與研究工作.