一道解析幾何習題的探究式學習

內蒙古呼和浩特市第一中學 (010020) 王冠華

內蒙古師范大學附屬中學 (010020) 王洪軍

解析幾何在高中數學中的地位非常重要，憑借其繁難的運算占據歷年高考或模擬考壓軸題的位置，盡管每年的考試題目表面上看各不相同，但在深入探究之后，總會發現這些題目與熟悉題目之間的聯系.筆者在高三試卷講評時，每當闡述這些解析幾何問題的根源或本質時，很多學生都會發問“這個問題也不算難，為什么我沒有想到？”其實上述場景在學習數學其他模塊的過程中也會經常出現，學生們之所以無法識別或破解相關問題，關鍵還是對知識的學習停留在“就題論題”的模仿階段，事倍功半.針對學生學習過程中的這些問題，本文以一道解析幾何習題為載體，通過對問題的深入剖析與思考，盡量站在學生的角度嘗試對探究式學習究竟“探”些什么，以及怎么“探究”給出個人的一些建議，希望能對讀者有所幫助.

一、問題的提出與初步思考

典例已知拋物線y2=2px(p>0)上的點A(2,2)，B，C，直線AB，AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為.

從題目條件的表述上很容易發現直線BC是如何形成的，按照其形成過程，直接入手就能做，即通過求出直線AB，AC與拋物線的交點B，C，進而得到直線BC方程，方案一便是基于這一思路而得到的解決方法.

上述解答要把點B，C的坐標分別求出來，導致運算量增大，這種“設且求”的解決辦法與平時教學或學習中倡導的通過“設而不求”來簡化運算的想法不太相符，針對上述情況，學生作探究式學習時可以嘗試通過不同視角來審視問題，以便能達到目的.

二、問題深入探討及改進方案

利用常規方法考慮點B，C時，由于其分屬于兩條不同的直線AB，AC，從而像方案一那樣通過聯立一一求解，如果放棄求點的坐標而選擇從所求直線BC直接入手，那么解決問題的關鍵是如何將已知條件巧妙的加以轉化，下面的方案二提供了一種解決問題的方法.

圖1

上述方案的關鍵是構造方程y′2+(4y′-2x′)(mx′+ny′)=0，這是依賴于相交曲線系的原理，雖然這個知識點沒有在教材正文顯著的位置出現，但是在課后習題中卻有所涉及，換言之，這種構造方程的想法源于教材.

結論拋物線y2=2px(p>0)上三個互異的點A(x0,y0)，B，C，其中y0≠0，令直線AB，AC的斜率分別為kAB，kAC.

上述結論利用方案二的方法容易證明的，限于篇幅，這里略去過程.

方案二通過構造方程來回避“設且求”，雖然不夠直接與簡潔，但它卻是打開新思路大門的鑰匙，由此繼續進行探究，如果注意到線段AB，AC，BC均為拋物線的弦，條件及所求其實是考查弦所具有的特殊性，那么我們可以借助弦所在的直線方程來進行相應的探討.

直線BC的方程為3x+6y+4=0.

與方案二相似，同樣是借助構造方程這一思想方法達到簡化運算的目的，但視角不同，這里充分利用條件與所求的特殊性，使得解答更為簡潔.倘若注意到點B，C即在直線上又在拋物線上，那么我們還可以對上述解答作進一步優化.

方案四：由上述解答得到

再由

可得，3xB+6yB+4=0，3xC+6yC+4=0，因此，點B，C的坐標滿足直線3x+6y+4=0的方程，也就是說，直線BC的方程為3x+6y+4=0.