復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的改革與設(shè)計(jì)實(shí)踐

岳紅云

（河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 河南 鄭州 450001）

1 問(wèn)題的提出

2018 年，習(xí)近平總書記在全國(guó)教育大會(huì)上強(qiáng)調(diào)[1]，堅(jiān)持立德樹(shù)人，推進(jìn)教育改革，教育現(xiàn)代化加速推進(jìn)，教育引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)綜合能力，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維、創(chuàng)新實(shí)踐能力，課程是重要的根基和載體，發(fā)揮融合課堂的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主動(dòng)性，著力打造一流課程，是提高學(xué)生綜合能力的重要方法。要堅(jiān)持扎根中國(guó)大地辦教育，要求扎根中國(guó)、融通中外、立足時(shí)代、面向未來(lái)，發(fā)展具有中國(guó)特色、世界水平的現(xiàn)代教育。

復(fù)變函數(shù)與積分變換作為大學(xué)公共數(shù)學(xué)的重要課程之一，具有承上啟下的關(guān)鍵作用。它是電氣、自動(dòng)化等工科相關(guān)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，復(fù)變函數(shù)的研究方法和獨(dú)特性質(zhì)，是解決信號(hào)處理問(wèn)題和自動(dòng)控制問(wèn)題等的重要又方便的數(shù)學(xué)工具，亦是培養(yǎng)學(xué)生工程數(shù)學(xué)思維能力的重要手段。當(dāng)前，新工科建設(shè)正在進(jìn)入新階段，對(duì)公共數(shù)學(xué)課程解決復(fù)雜工程問(wèn)題能力的支撐作用提出了新要求。

在傳統(tǒng)教學(xué)模式下，教師講授時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，教學(xué)內(nèi)容、方法、評(píng)價(jià)方式單一，學(xué)生沒(méi)有參與感和獲得感，并且傳統(tǒng)教學(xué)只是利用課堂教學(xué)，無(wú)法幫助學(xué)生消化與吸收、提供個(gè)性化指導(dǎo)的單一、單向授課模式，無(wú)法引起學(xué)生持續(xù)的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性缺乏，更無(wú)法適應(yīng)現(xiàn)代人才培養(yǎng)的需求。如何設(shè)計(jì)課程成了課程教學(xué)改革的當(dāng)務(wù)之急。

2 問(wèn)題的解決方法

堅(jiān)持“以學(xué)生發(fā)展為中心”的理念，以學(xué)生認(rèn)知和行為的改變?yōu)槟繕?biāo)，通過(guò)研究性教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在解決問(wèn)題和實(shí)踐中學(xué)習(xí)，增強(qiáng)體驗(yàn)感。在信息化教學(xué)環(huán)境下，開(kāi)發(fā)、整合網(wǎng)絡(luò)在線學(xué)習(xí)資源，實(shí)施混合式教學(xué)模式，做好網(wǎng)絡(luò)教學(xué)與線下教學(xué)的合理銜接，將信息技術(shù)與課程深度融合。提高學(xué)生整合、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的高階思維能力和工程數(shù)學(xué)思維方式，激發(fā)創(chuàng)新潛能。具體實(shí)施情況如下：

第一，對(duì)教學(xué)目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。對(duì)照學(xué)生專業(yè)人才培養(yǎng)目標(biāo)和畢業(yè)要求，與先修和后續(xù)課程聯(lián)系起來(lái)，設(shè)計(jì)“三維目標(biāo)”及達(dá)成度，并落實(shí)到教學(xué)全過(guò)程。打通學(xué)生所學(xué)、所用數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，數(shù)學(xué)知識(shí)與專業(yè)課程的聯(lián)系，比如復(fù)變函數(shù)[2]與實(shí)變函數(shù)的微積分的聯(lián)系，解析函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)理論之間的關(guān)系，兩類積分變換之間的關(guān)系，積分變換[3]與信號(hào)處理、自動(dòng)控制之間的關(guān)系等低階與高階知識(shí)目標(biāo)；由此培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維、工程數(shù)學(xué)思維、創(chuàng)新思維等多維高階能力；并將和諧、完美、獨(dú)特等數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)故事根植于課程之中，設(shè)置思政目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣和科學(xué)探索精神，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義理想信念教育，切實(shí)提高人才培養(yǎng)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)真正的教書育人。

第二，實(shí)施混合式教學(xué)模式。確定課程體系的線上線下教學(xué)資源與教學(xué)活動(dòng)的優(yōu)化配置與安排方式：制作短視頻、預(yù)習(xí)課件、課前測(cè)試題、討論思考題、測(cè)驗(yàn)題等。課中依據(jù)線上預(yù)習(xí)效果，依據(jù)5E教學(xué)法，對(duì)每個(gè)教學(xué)單元的教學(xué)任務(wù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，完成知識(shí)的吸收內(nèi)化，進(jìn)而培養(yǎng)多種能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。實(shí)現(xiàn)講練結(jié)合、互相協(xié)作的研究實(shí)踐型深度學(xué)習(xí)模式，實(shí)現(xiàn)學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)、自主預(yù)習(xí)與復(fù)習(xí)的綜合輔導(dǎo)學(xué)習(xí)工具，提升學(xué)生思維能力、自主學(xué)習(xí)和應(yīng)用創(chuàng)新能力。改變課程教學(xué)僅僅依靠課堂教學(xué)的不足，彌補(bǔ)課程教學(xué)時(shí)間的限制，并實(shí)現(xiàn)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控、深化協(xié)同育人效果、立德樹(shù)人。

第三，重組融合教學(xué)內(nèi)容，融合多種教學(xué)方法[4]。根據(jù)課程特點(diǎn)和目標(biāo)要求，對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行分類重組，運(yùn)用啟發(fā)式、類比、討論、探究法，借助在線視頻、閱讀資料、翻轉(zhuǎn)課堂等手段，將知識(shí)遷移、重構(gòu)教學(xué)，建構(gòu)新知識(shí)與已有知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性，實(shí)現(xiàn)課程為后續(xù)專業(yè)課程及學(xué)生發(fā)展服務(wù)的目的。在教學(xué)活動(dòng)中，不僅注重每章知識(shí)的新課導(dǎo)入和習(xí)題課的復(fù)習(xí)鞏固，還要合理設(shè)計(jì)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)和反饋，提高課堂教學(xué)質(zhì)量和效率，抓好課堂主陣地的育人效果，并為網(wǎng)絡(luò)自學(xué)提供豐富且貼合教學(xué)目標(biāo)達(dá)成的教學(xué)內(nèi)容和方法。通過(guò)設(shè)置課程總結(jié)與應(yīng)用的綜合作業(yè)，提高學(xué)生的工程思維能力，完成知識(shí)的吸收內(nèi)化與升華。通過(guò)課程內(nèi)容，體會(huì)合作學(xué)習(xí)、轉(zhuǎn)換思路看問(wèn)題的重要性，并將課程內(nèi)容的討論深入到德育方面，達(dá)到最佳的教學(xué)效果。

①在教學(xué)內(nèi)容上，依據(jù)教學(xué)大綱和教學(xué)實(shí)踐，根據(jù)畢業(yè)要求和課程特點(diǎn)，按照高等數(shù)學(xué)的幾大內(nèi)容和復(fù)變函數(shù)的特色內(nèi)容進(jìn)行劃分，將教學(xué)內(nèi)容模塊化，進(jìn)行不同方式的學(xué)習(xí)。分為三大模塊，復(fù)變函數(shù)的微積分、級(jí)數(shù)模塊，解析函數(shù)的獨(dú)特性質(zhì)（積分公式、洛朗級(jí)數(shù)、留數(shù)）模塊，積分變換模塊。通過(guò)模塊化教學(xué)，在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)內(nèi)容時(shí)，注意與高等數(shù)學(xué)類比，通過(guò)實(shí)與復(fù)的對(duì)比，既容易理解了復(fù)數(shù)域出現(xiàn)的相關(guān)問(wèn)題和結(jié)論，又對(duì)實(shí)數(shù)域上的高等數(shù)學(xué)進(jìn)行回味和補(bǔ)充。學(xué)生既對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，為學(xué)習(xí)解析函數(shù)做好鋪墊，能更好地理解解析函數(shù)的特點(diǎn)，解析函數(shù)的獨(dú)特性質(zhì)和應(yīng)用，又能將解析函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)等不同于實(shí)函數(shù)的內(nèi)容，理解得更深入。最后，在整體把握了解析函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)域上的積分變換方法時(shí)，應(yīng)充分調(diào)研相關(guān)專業(yè)要求，重點(diǎn)介紹工程中常用函數(shù)的積分變換，并可結(jié)合相關(guān)專業(yè)應(yīng)用實(shí)例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)教學(xué)[5]，比如通過(guò)傳遞函數(shù)的探討將積分變換方法與留數(shù)理論等復(fù)變函數(shù)的獨(dú)特性質(zhì)結(jié)合起來(lái)。學(xué)習(xí)時(shí)要注意轉(zhuǎn)變學(xué)生的觀念和復(fù)變函數(shù)思維方式，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，提高復(fù)數(shù)域解決問(wèn)題的能力，為專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

②在教學(xué)方法和手段上，根據(jù)課程特點(diǎn)，對(duì)課程內(nèi)容的兩大部分：復(fù)變函數(shù)部分與積分變換部分，運(yùn)用不同的教學(xué)方法。利用類比、對(duì)比的教學(xué)方法學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)部分，采用關(guān)聯(lián)遷移的方法，學(xué)習(xí)積分變換，將復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)遷移應(yīng)用到研究積分變換中去，達(dá)到利用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的畢業(yè)要求。當(dāng)出現(xiàn)和高等數(shù)學(xué)內(nèi)容平行的時(shí)候，用類比的學(xué)習(xí)方法，把內(nèi)容進(jìn)行整合打包，作為一個(gè)整體學(xué)習(xí)：從復(fù)數(shù)域類比到實(shí)數(shù)域，再回到復(fù)數(shù)域的方法。對(duì)于高等數(shù)學(xué)中沒(méi)有的內(nèi)容，用對(duì)比的學(xué)習(xí)方法區(qū)分，以此凸顯復(fù)變函數(shù)的特色，并通過(guò)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，會(huì)利用這些特性解決實(shí)變函數(shù)問(wèn)題，讓學(xué)生更能理解學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的重要意義。在學(xué)習(xí)時(shí)通過(guò)討論與教師引導(dǎo)法，體會(huì)復(fù)變函數(shù)的和諧理論和完美性，從而對(duì)數(shù)學(xué)之美有更深入的認(rèn)識(shí)，增加課程吸引力和學(xué)習(xí)興趣。在完成一個(gè)階段的學(xué)習(xí)后，利用總結(jié)歸納法、思考討論法，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)的內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)和回顧，比如總結(jié)復(fù)數(shù)域的微積分學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？總結(jié)微積分公式。通過(guò)歸納練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生思考、討論復(fù)數(shù)域上的微積分有哪些應(yīng)用、解析函數(shù)的獨(dú)特性及其應(yīng)用等，可讓學(xué)生查閱資料，教師拓展延伸，體會(huì)解析函數(shù)的特性及應(yīng)用。同時(shí)，深刻理解洛朗級(jí)數(shù)、留數(shù)理論在自動(dòng)控制中的應(yīng)用，完成知識(shí)的重現(xiàn)與吸收內(nèi)化，進(jìn)而升華對(duì)課程內(nèi)涵的理解與把握，讓學(xué)生更深刻地認(rèn)識(shí)復(fù)變函數(shù)理論的巨大貢獻(xiàn)。并且通過(guò)總結(jié)與討論，利用關(guān)聯(lián)法將復(fù)變函數(shù)理論中的解析函數(shù)的積分理論、留數(shù)與積分變換思想方法聯(lián)系起來(lái)，利用留數(shù)等復(fù)變函數(shù)方法研究函數(shù)的變換和變換后的函數(shù)。進(jìn)而利用復(fù)變函數(shù)的理論方法研究解決自動(dòng)控制、電路系統(tǒng)的穩(wěn)定性等問(wèn)題。通過(guò)尋找事物之間存在的普遍聯(lián)系性，完成內(nèi)容的過(guò)渡，為積分變換的學(xué)習(xí)鋪平道路。

③在課堂教學(xué)中，通過(guò)“問(wèn)題串”的形式、方法，營(yíng)造課堂熱烈氛圍，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生從沉默課堂向?qū)υ捳n堂轉(zhuǎn)變。根據(jù)課程目標(biāo)和畢業(yè)要求，將教學(xué)內(nèi)容化分成有連接與遞進(jìn)關(guān)系的教學(xué)單元。根據(jù)每部分內(nèi)容的特點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)導(dǎo)入案例，并將所學(xué)內(nèi)容與已有知識(shí)基礎(chǔ)、最近學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)融合，將線上與線下課堂有機(jī)融合。開(kāi)展以問(wèn)題為導(dǎo)向的探究式、研究型學(xué)習(xí)，通過(guò)師生問(wèn)答、課堂（分組）討論等方式，借助5E 教學(xué)法，進(jìn)行答問(wèn)解惑的融合式教學(xué)方法。將教學(xué)過(guò)程從課前到課中，并延伸到課后，形成有機(jī)的閉環(huán)效應(yīng)，提高課堂利用效率和教學(xué)質(zhì)量，提高學(xué)生培養(yǎng)邏輯推理和分析解決問(wèn)題的高階思維能力，進(jìn)而達(dá)到創(chuàng)新創(chuàng)造的目的。

第四，不斷優(yōu)化的混合式多元化考核評(píng)價(jià)體系。對(duì)照三維教學(xué)目標(biāo)，將過(guò)程性評(píng)價(jià)貫穿到教學(xué)全過(guò)程，體現(xiàn)各個(gè)目標(biāo)的達(dá)成。對(duì)學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)行為與課下學(xué)習(xí)活動(dòng)，開(kāi)展自評(píng)與互評(píng)、自評(píng)與師評(píng)相結(jié)合的混合式評(píng)價(jià)方式，并進(jìn)行反饋與改進(jìn)。根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，合理分配平時(shí)成績(jī)的組成成分及權(quán)重，通過(guò)課堂提問(wèn)、課堂練習(xí)、主題討論的質(zhì)量評(píng)價(jià)，檢驗(yàn)與改進(jìn)教學(xué)效果；通過(guò)必做與選做作業(yè)、課程綜合作業(yè)的多方評(píng)價(jià)與反饋，檢驗(yàn)與改進(jìn)學(xué)習(xí)效果；通過(guò)課堂出勤率、課堂活躍度、回答問(wèn)題的積極性等，評(píng)價(jià)反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和責(zé)任、學(xué)習(xí)態(tài)度和道德修養(yǎng)；并將平時(shí)成績(jī)和期末成績(jī)相混合，給予學(xué)生全面合理、有理有據(jù)的綜合評(píng)價(jià)，注重學(xué)生的成長(zhǎng)發(fā)展，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

第五，注重課程的思想引領(lǐng)作用。通過(guò)數(shù)學(xué)定義定理、思想方法、歷史故事等挖掘思政切入點(diǎn)，將課程內(nèi)容的討論，深入到學(xué)生德育方面，將學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)興趣和責(zé)任納入考核評(píng)價(jià)體系。通過(guò)課程中復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)理論與積分變換方法的類比和對(duì)比，體會(huì)它們之間相輔相成的依賴關(guān)系，理解合作學(xué)習(xí)、交互學(xué)習(xí)的重要性；通過(guò)積分變換的數(shù)學(xué)思想與方法、一題多解的討論，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思路、角度看問(wèn)題的重要性等，突出課程數(shù)學(xué)思想方法的挖掘、講解, 形成應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)和創(chuàng)新的思想，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，增強(qiáng)課程信心。

第六，融合多種方法。利用賽教融合提高教學(xué)研究能力。通過(guò)創(chuàng)新的意識(shí)和能力，將教學(xué)過(guò)程、資源、能力進(jìn)行有機(jī)融合，提高教學(xué)效果和學(xué)習(xí)質(zhì)量。向?qū)W生拓展某些知識(shí)點(diǎn)的發(fā)展前沿，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的理解、應(yīng)用能力。此外，課外作業(yè)多布置綜合性問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)探索問(wèn)題，引導(dǎo)自主學(xué)習(xí)習(xí)慣。再者，轉(zhuǎn)變教師職能，將教學(xué)重心放在對(duì)學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、及時(shí)反饋上，使每一個(gè)學(xué)生都能得到合適的發(fā)展，為以后的職業(yè)發(fā)展和持續(xù)學(xué)習(xí)奠定重要的基礎(chǔ)。最后，課堂不是教學(xué)活動(dòng)的結(jié)束，課外教師應(yīng)關(guān)心關(guān)愛(ài)學(xué)生，熱心幫助學(xué)生不斷進(jìn)步，使學(xué)生獲得有意義的學(xué)習(xí)經(jīng)歷。

3 總結(jié)與展望

總之，為了讓復(fù)變函數(shù)與積分變換課程更好地服務(wù)于后續(xù)專業(yè)課與終身學(xué)習(xí)，教學(xué)需要?jiǎng)?chuàng)新，尤其要重視創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力。只有教師擁有激情與魅力，學(xué)生才會(huì)參與并積極探索，才能在教育過(guò)程中，相互交流、相互啟發(fā)，共同成長(zhǎng)。