深挖教材 提煉方法 培養(yǎng)思維

摘 要：在新課程改革背景下，教育教學(xué)的重心從知識傳授向綜合素質(zhì)培養(yǎng)轉(zhuǎn)變.培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，不僅要求學(xué)生掌握教材知識內(nèi)容，同時(shí)還要求教師注重學(xué)生思維方式的培養(yǎng).數(shù)學(xué)作為初中階段的基礎(chǔ)學(xué)科，具有比較強(qiáng)的邏輯性，教師應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生問題分析能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生利用辯證思想，借助分類討論思想解決問題.據(jù)此，文章淺析分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：分類討論思想；初中數(shù)學(xué)；應(yīng)用策略

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）35-0062-03

在初中數(shù)學(xué)解題中，解題方式較為靈活，一道習(xí)題可能會有多種解題方式，不同類型的題目也可能有著相同的解題思路.在數(shù)學(xué)問題解決中，教師應(yīng)當(dāng)注重?cái)?shù)學(xué)思想的應(yīng)用.分類討論思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一，廣泛用于學(xué)習(xí)與生活，可完善學(xué)生數(shù)學(xué)知識體系，鍛煉學(xué)生思維能力及邏輯能力.同時(shí)，借助分類討論思想，幫助學(xué)生整理數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，深入探究數(shù)學(xué)知識規(guī)律，簡化數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生切實(shí)做到舉一反三.

1 初中數(shù)學(xué)教材中分類討論思想內(nèi)容分析

在初中數(shù)學(xué)教材中，包含很多分類討論思想內(nèi)容，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，體會分類討論思想，做出歸納和總結(jié)，以此，完善學(xué)生知識結(jié)構(gòu)，體會分類討論思想在解題中的運(yùn)用.初中數(shù)學(xué)各階段分類討論思想內(nèi)容如表1所示.

對于初中階段的學(xué)生來說，剛剛系統(tǒng)化地接觸分類討論思想，想要深入發(fā)掘教材中的分類討論思想，需要了解分類的原則與步驟，嘗試自主分類，明確分類思路，為數(shù)學(xué)問題解決做出知識遷移準(zhǔn)備［1］.

2分類討論思想的應(yīng)用原則

2.1 同一性原則

在初中數(shù)學(xué)解題中，分類討論應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，對對象做出合理的分類.需要讓學(xué)生認(rèn)識到，分類思想應(yīng)用的前提是有著明確的研究對象，只有準(zhǔn)確把握對象特征，才能夠靈活利用，圍繞同一性進(jìn)行分類，避免出現(xiàn)不同組對象產(chǎn)生屬性交集.

2.2 層次性原則

針對多次分類問題，需要準(zhǔn)確把握層次性原則，結(jié)合概念的差異做好研究對象分類.在整個(gè)分類過程中，應(yīng)當(dāng)做到全面考慮，避免忽略對象的某個(gè)屬性，導(dǎo)致出現(xiàn)分類錯(cuò)誤.

3 初中數(shù)學(xué)解題中分類討論思想的應(yīng)用策略

3.1 利用分類討論思想解決方程問題

例1 某商場準(zhǔn)確購進(jìn)A、B、C三種型號的電視機(jī)，A型號電視機(jī)每臺進(jìn)價(jià)為1 500元，B型號電視機(jī)每臺進(jìn)價(jià)為2 100元，C型號電視機(jī)每臺進(jìn)價(jià)為2 500元，如果商場準(zhǔn)備使用90 000元購進(jìn)三種型號的電視機(jī)50臺，那么進(jìn)貨方案有幾種？

分析 通過對題目條件進(jìn)行分析，利用方程不能夠直接得出結(jié)果，而且A、B、C三種電視機(jī)的數(shù)量都是變量，因此，需要對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用分類討論思想進(jìn)行解題.

解 設(shè)購進(jìn)A、B、C三種型號電視機(jī)數(shù)量分別是x、y、z臺，根據(jù)題意得出x+y+z=501 500x+2 100y+2 500z=90 000，得出3y+5z=75，即y=25-53z，∵53z為正整數(shù)，∴z是3的倍數(shù).

∴5≤53z＜25且53z為正整數(shù)，∴z的值可能是3、6、9、12.

當(dāng)z=3時(shí)，得出y=20，x=27；

當(dāng)z=6時(shí)，得出y=15，x=29；

當(dāng)z=9時(shí)，得出y=10，x=31；

當(dāng)z=12時(shí)，得出y=5，x=33；

答：商場可以有四種進(jìn)貨方案.

3.2 利用分類討論思想解決函數(shù)問題

函數(shù)問題是初中數(shù)學(xué)中的常見題型，主要有一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等，作為考試中常見的題型，是初中數(shù)學(xué)解題中的重點(diǎn)和難點(diǎn).因此，作為初中數(shù)學(xué)教師，需要有效利用分類討論思想，引導(dǎo)學(xué)生解決函數(shù)問題.

例2 如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx的對稱軸是x=34，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，橫坐標(biāo)為m（0＜m＜2），過P點(diǎn)作PB⊥x軸，垂足為B，PB與OA的交點(diǎn)是C，點(diǎn)O關(guān)于直線PB的對稱點(diǎn)是D，連接CD、AD，過點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為E.

（1）求解拋物線的解析式；

（2）用含有m的式子表示C、D的坐標(biāo)；

（3）如果△ACD為等腰三角形，求解所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo).

解 （1）根據(jù)題意得-b2a=344a+2b=1，解得a=1b=-32，∴拋物線的解析式為y=x2-32x.

（2）C（m，12m），D（2m，0）.

（3）根據(jù)題意，得出B（m，0），

在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=m2+（12m）2=54m2，∴OC=52m，

∵O、D關(guān)于直線PC對稱，∴CD=OC=52m，

在Rt△AOE中，OA=OE2+AE2=5，

∴AC=OA-OC=5-52m，

在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=4m2-8m+5.

在P點(diǎn)坐標(biāo)求解時(shí)，可以分三種情況進(jìn)行討論.

當(dāng)AC=CD時(shí)，即5-52m=52m，解得m=1，∴P（1，-12）；

當(dāng)AC=AD時(shí)，則AC2=AD2，即5-5m+54m2=4m2-8m+5，解得m1=0，m2=1211，

∵0＜m＜2，∴m=1211，即P（1211，-54121）；

當(dāng)DA=DC時(shí)，則DA2=DC2，∴4m2-8m+5=54m2，

解得m1=1011，m2=2，∵0＜m＜2，∴m=1011，即P（1011，-65121）.

綜上，當(dāng)△ACD為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別是P1（1，-12）、P2（1211，-54121）、P3（1011，-65121）.

3.3 利用分類討論思想解決幾何問題

在初中幾何問題教學(xué)中，教師可以巧妙引入分類討論思想，引導(dǎo)學(xué)生思考問題，明確解題思路.如直線與圓的位置關(guān)系、等邊三角形的邊角關(guān)系以及直角三角形的邊角關(guān)系等，可以巧妙利用分類討論思想，完成幾何問題的解題.

例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，點(diǎn)D、E分別為BC、AB的中點(diǎn)，將△BDE圍繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后D、E的對應(yīng)點(diǎn)分別是D′、E′，當(dāng)直線D′E′經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，線段CD′的長是_______.

分析 此題解題時(shí)分兩種情況，當(dāng)A點(diǎn)在E′D′的延長線上以及A點(diǎn)在線段D′E′的延長線上，通過分類討論，求解出BD的長度，完成解題.

解 如圖2所示，當(dāng)A點(diǎn)在E′D′的延長線上時(shí)，

∵∠C=90°，AC=2，BC=4，

∴根據(jù)勾股定理得出AB=25，

∵點(diǎn)D、E分別為BC、AB的中點(diǎn)，

∴DE∥AC，DE=12AC=1，BD=12BC=2，

∴∠EDB=∠ACB=90°，

∵將△BDE繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，

∴∠BD′E′=∠BDE=90°，D′E′=DE=1，BD=BD′=2，

∵Rt△ABC和Rt△BAD′中，D′B=AC=2，AB=BA，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD′，

∴四邊形ACBD′為平行四邊形，且∠ACB=90°，

∴四邊形ACBD′是矩形，

∴CD′=AB=25.

如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)A在線段D′E′的延長線上時(shí)，

∵∠AD′B=90°，

∴根據(jù)勾股定理得出AD′=4，

∴AE′=AD′-D′E′=3，

∵將△BDE繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，∴∠ABC=∠E′BD′，

∵BE′AB=12=BD′BC，

∴△ABE′∽△CBD′，∴AE′CD′=ABBC，

∴3CD′=254，∴CD′=655.

∴CD′的長度是25或者655.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 關(guān)建昌.新課標(biāo)下初中數(shù)學(xué)分類討論思想教學(xué)的幾個(gè)著力點(diǎn)［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究（教研版），2021（16）：12-13.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者簡介：陳友杰（1971.11-），男，福建省閩清人，本科，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.