基于Python的科里奧利力對物體運動影響的可視化模擬

馬淑紅　侯振　焦照勇　常欽

關鍵詞 科里奧利力;拋體運動;傅科擺;創新思維;Python編程

在理論力學教學中，科里奧利力 （科氏力）是非慣性系動力學部分的教學難點，其在實際生活、生產中產生的效應微乎其微，難以直接觀察到。多數學生對科里奧利力的認識僅停留在應用其定義式進行簡單的計算和定性分析。多數教材討論科里奧利力對地球表面的自由落體和傅科擺運動的影響，都是運用數學推導方法求解出微分方程組的解析結果，學生缺乏對動態過程的直觀認知，難于構建清晰的物理圖像。

本文基于Python語言編程計算方法，結合運動的初始條件、空氣阻力等因素，系統地討論科里奧利力對拋體運動和傅科擺運動的影響，實現復雜運動過程直觀清晰的可視化分析。該方法不僅能夠加強學生對科里奧利力的深刻理解和認識，而且有助于培養學生的計算思維能力，提升分析和解決問題能力。

1轉動參考系中物體運動微分方程

僅考慮地球自轉運動，從非慣性系視角研究其表面物體的運動，設北半球某緯度λ 處，質量為m 的物體運動速度為v，其受到重力mg（地心引力與慣性離心力的合力）、其他相互作用力 F和科里奧利力（-2mω×v）。

視物體為質點，以其初始位置P 點為坐標原點，建立固結于地球表面的直角坐標系P-xyz（圖1（a）），其中，x 軸指向正南，y 軸指向正東，z軸豎直向上。在非慣性系中，運動質點所遵循的微分方程為[1]

2 拋體運動可視化模擬與分析

此前，一些文獻運用矢量分析作圖法和半定量分析法討論了地球自轉對運動物體所產生的科里奧利力效應[2-3]，如對飛機飛行的影響[3]。文獻[4-5]結合解析求解和數值計算方法探究了有無空氣阻力時科里奧利力對拋體運動的影響。本文基于Python語言編程方法，對物體運動微分方程式（1）進行數值計算，分別模擬斜拋、豎直上拋、自由落體運動過程并進行可視化分析，詳細討論拋出點緯度、拋射方向、拋射初速度、空氣阻力等不同條件下物體運動結果，系統地探究科里奧利力對拋體運動影響的異同與規律。

2.1 模擬計算與可視化方法

運用Python語言中Numpy程序庫、Scipy數值計算庫中odeint函數和Matplotlib繪圖庫，實現微分方程式（1）的數值計算和可視化繪圖。在模擬拋體運動中，地球自轉角速率ω =7.3×10^-5rad/s，重力加速度g=9.8m/s²，若未特殊說明，暫忽略空氣阻力，其他初始運動條件見表1。

2.2 模擬結果與討論

（1） 拋射方向沿東偏上。拋體位于北緯40°，拋射仰角30°，初速率為10m/s時，計算結果圖2（a）所示，結果表明：沿東偏上運動的拋體受到向南的科里奧利力，產生南偏位移。南偏距離隨著初速率增大而增大（見圖2（b）～（c）），這是由于科里奧利力大小與拋體速率成正比。當初速率接近100m/s時，南偏距離約42.4cm;增大初速率至超音速時，南偏距離達幾十米;當拋體高速飛行，初速率接近1000m/s時，南偏距離近450米。由此可見，日常生活和生產中低速拋體運動的偏移甚微，但對于如炮彈、導彈、火箭、飛船返回地面等高速飛行物來說，科里奧利力的影響就不可忽略。

（2） 拋射方向沿南偏上。初始條件仍保持北緯40°、拋射仰角30°、初速率10m/s。計算結果如圖3（a）顯示：拋體運動中發生西偏，落地后西偏距離約為0.52mm， 略大于相同條件下向東偏上拋體的南偏移距離，這是由于拋體在x 和z 兩個方向的運動都產生了向西的科里奧利力，導致偏西距離略大。類似地，西偏距離隨拋體初速率增加而增大，如圖3（b）所示。

（3） 拋體偏移隨緯度變化。為便于觀察偏移效應，初速率增大為100m/s，拋射方向分別沿東偏上和南偏上，拋射角為30°。計算模擬結果如從圖4所示，可以看出：北半球沿東偏上（南偏上） 運動的拋體，其落地點南偏（西偏）距離隨緯度增加而增大，當緯度增至70°以上時，即極點附近拋體橫向偏移距離隨緯度變化很小。在赤道處，東偏上和南偏上拋體僅受因向上（z）方向運動產生向西科氏力引起微小西偏 （見圖4（b））。顯而易見，相同條件下東偏上拋體落地后的南偏距離小于南偏上拋體的西偏，這是由于z 方向運動引起的向西科氏力的貢獻。

（4） 豎直上拋和自由落體運動。在北緯40°，以10m/s初速率豎直上拋物體，圖5（a）結果表明：豎直上拋運動物體在上升和下降階段均發生西偏和北偏，而南半球情況與此相反，發生西偏和南偏（見圖6（b）），且西偏移程度遠遠大于南/北偏（可忽略）。對于南北半球自由下落物體落地后都發生東偏（見圖5（b））。對于豎直上拋/自由落體運動，西偏/東偏距離隨緯度增加而減小，赤道處偏移最顯著，這是由于東西向科氏力為-2mω?zcosλ。

（5） 空氣阻力對拋體運動的影響。分別以南、北緯40°，初速率100m/s豎直上拋運動為例，設空氣阻力與物體運動速度間關系為：f=-mkv，其中阻力系數k=0.01N·s/（m·kg）[4]。圖6計算模擬結果表明：空氣阻力作用使拋體運動時間縮短，上升高度降低，落地后的西偏和北偏（南半球南偏）距離都減小。這是由于空氣阻力使拋體運動速度減慢，科氏力減小，科里奧利效應減弱。

3 傅科擺運動可視化模擬與分析

關于傅科擺運動的科里奧利效應，文獻[6-7]運用MATLAB編程模擬方法探究了不同初始條件（初位置、初速度大小和方向）下擺的運動軌跡，定性分析了擺平面偏轉變化，對于實際傅科擺，其擺錘由最大振幅處無初速釋放后的運動軌跡是內旋輪線。基于上述探究，本文運用Python語言編程模擬方法，定量探究擺平面偏轉方向與快慢的依賴因素。

3.1 模擬計算與可視化方法

仍基于Python軟件中scipy庫的odeint函數完成傅科擺運動微分方程組（2）的數值計算，并運用matplotlib繪圖庫實現清晰直觀的動態可視化模擬。計算模擬中不考慮空氣阻力作用，擺錘初始坐標的取值均滿足擺幅角小于5°。初始時刻，傅科擺位于xOz 平面，自某一幅角靜止釋放，擺錘由南向北（沿-x 方向）開始擺動，擺錘初始條件用向量（x 坐標，y 坐標，x 速度，y 速度）來表示，重力加速度大小取9.8m/s²。由于地球自轉角速率較小，其產生的科氏力使傅科擺平面偏轉不明顯，為便于觀察和分析擺平面偏轉，計算模擬中將地球自轉角速率擴大到400倍，相關文獻[6-7]也采用類似的放大。

3.2 模擬結果與討論

這里將通過改變傅科擺所在緯度、初始運動條件、擺長來分析探究相對于地球擺平面的偏轉方向和偏轉快慢的依賴因素。

（1） 擺平面偏轉方向。分別模擬了傅科擺在南、北半球相同條件下的運動，設緯度為49°，擺長l=67m，擺錘初始坐標和速度為（4，0，0，0），由南向北沿x 軸開始擺動，擺錘軌跡為xoy 平面內旋輪線（見圖7），而不是一條直線，這是由于擺錘相對于轉動的地球運動而受到橫向科氏力從而引起擺平面偏轉。在北半球，運動物體受到科氏力總是垂直并指向運動右側（圖7中深色剪頭），導致擺平面沿順時針方向偏轉，而南半球情況與此相反，擺平面沿逆時針偏轉。

（2） 擺長對傅科擺運動的影響。仍以北緯49°為例，傅科擺擺長l 分別為40m、60m 和80m，無初速釋放擺，初始位置坐標和速度設為（3.0，0，0，0），滿足幅角小于5°，時間設置為3個擺動周期，分別歷經不同的時長。由圖8結果可知：擺動周期T 隨擺長增大而增加，不同擺長的擺平面沿順時針方向偏轉的角度不同，但擺平面偏轉角速率近似相等，即擺平面偏轉快慢與擺長無關，模擬計算的角速率 0.022rad/s與理論解析（ωsinλ）計算結果一致。這是由于使擺平面偏轉的科氏力僅與地球自轉角速度和擺錘運動速度兩矢量有關。

（3） 緯度對傅科擺運動的影響。以北半球為例，傅科擺（擺長l=67m）所在緯度依次為0°、30°、60°、90°，初始條件為（4，0，0，0），模擬過程時長為3個擺動周期。模擬結果圖9顯示：赤道處擺平面無偏轉，軌跡是一條線段;隨緯度增加，擺平面偏轉角速率依次增大;在兩極處，擺平面偏轉最快。這是因為擺平面受到的橫向科氏力（-2mω?xsinλ）隨緯度而增大，赤道處科氏力近似為零，兩極處科氏力最大。

（4） 初速度對傅科擺運動的影響。以北半球緯度49°處傅科擺為例，擺長l=67m。初始條件為（3，0，vx ，0），即沿擺動方向施加一初速度vx ，大小分別為0.5，1.0，1.2，1.5。模擬結果圖10表明：不同初速度傅科擺擺動8個周期（131.44s）后，擺平面偏轉角保持165.46°不變，即初速度大小不影響傅科擺平面偏轉角速率（0.022rad/s），但隨著初速度與初位置比值增加，擺的運動軌跡發生改變，這與文獻[6，7]結果相同。

4 結語

本文基于Python計算模擬和可視化動態過程描繪，系統地探究了拋體運動偏移方向和大小的多種影響因素及其原因，以及傅科擺平面偏轉方向和快慢的因素。結論如下： （1）南、北半球水平方向運動引起的橫向偏移方向相反，北半球偏移方向發生在運動右側，南半球則在運動的左側;（2）南、北半球的豎直方向運動產生的橫向偏移方向相同，豎直上拋運動物體西偏，自由落體偏東，且偏移距離隨緯度增加而減小;（3）科里奧利力只改變物體運動的方向，其大小與轉動參考系和相對運動速度密切相關;（4）空氣阻力減弱科里奧利效應。

教學中融合計算機模擬不僅使復雜運動過程直觀化，促進學生深入理解抽象的理論知識，構建清晰的物理圖像，而且也能夠拓寬解決問題的途徑和思路，開闊學生的視野，促進學生計算思維和科研探究能力的發展，提高學生分析和解決復雜問題的能力，提升教學效果。