高等數學建模思想與大學生數學創新思維養成實踐研究

摘要：高等數學教育改革要圍繞素質教育實踐，著力從數學創新思維培養上來增強大學生的數學建模意識和能力。數學建模思想和建模方法是培養大學生數學創新意識的有效途徑，也是當前高等教育人才培養的重要方向。本文將從數學建模競賽的益處入手，就高等數學創新思維培養的必要性進行闡述，特別是從教育方法、教育理念及教育手段創新上，豐富高等數學知識的應用，增強大學生對高等數學建模意識的培養。

關鍵詞：高等數學；建模思想；大學生；創新思維；教學應用

中圖分類號：O1-0 文獻識別碼：A 文章編號：1001-828X（2016）019-000-02

素質教育將創新思維培養作為高等教育的首要任務，高等數學作為素質教育改革的重要內容，迫切需要從大學生數學思維培養上，強化大學生對數學知識的應用和實踐。數學建模思想已經成為當前高等數學教學的改革重點，本文將從數學建模課程教學應用著手，從具體數學建模應用中來提升大學生數學思維能力。

一、數學建模思想與大學生創新思維的養成

（一）數學建模思想對數學知識實踐性教學提供基礎

數學建模是培養大學生應用數學知識解決實際問題的有效途徑。將建模思想與數學應用相統一，從問題中來創設解決思路。如概率論和數理統計，主要從隨機現象的規律性上來探討數學應用。作為理工類基礎課程之一，其特點是與具體工程行業發展相結合，利用數學建模思想來分析實際問題。再如線性代數和微積分，這些課程對于數學建模能力要求不高，但對于線性代數的應用，可以從其知識點共性上來加強數學創新思維意識的培養。數學知識與工程技術學科、經濟學、管理科學等都有滲透，特別是對于學科實際問題，從數學知識與其他學科的交叉中來建立數學模型，探究問題的解決路徑。數學建模過程是創造性思維培養的有效方式，從數學建模與創新思維研究中，傳統數學知識的學習，多體現在抽象理論的運算，而往往忽視數學知識的實踐性。高等數學與數學建模課程的開展，為數學知識的應用創造了條件，充分發揮數學的學習功用，提升大學生勇于探索的數學精神。

（二）數學建模思想與創新思維的關系

創新思維是廣大大學生最缺乏訓練的科學思維，在大學數學與建模思想應用中，對于傳統的教學，多停留在教師的講解與學生的聽與背，對于數學知識所涵蓋的科學思維則缺乏思考。數學建模將創造和發現問題作為前提，利用數學方法來多角度的觀察和分析實際問題，特別是從數學模型的構建中，發揮數學知識在解決實際問題中的作用。如對高等數學中的基礎理論知識，如何去理解概率的概念，倘若直接給出概率的定義和公式，對于學生在理解樣本點、樣本空間等概念時將面臨與實際相脫節的尷尬。為此，在教學中可以從隨機試驗范例描述中，針對可能發生的隨機事件來找出事件間的關系與結構，讓學生從事件的組合與運算中來理解數學建模思維過程，抓住基本事件的本質，并能夠從數學模型中來進行表達，突出實際問題到抽象概念間的轉化。數學思維的養成在于對數學概念、數學知識的運用，教師要能夠從數學問題中來多提問題，鼓勵學生從數學模型中來探究數學知識與現實世界之間的聯系，特別是從課題探討、動手實踐中，運用數學知識來建構學科問題，從自由思考、廣泛交流、深入探究中提出見解，增強思維群體間的碰撞與啟發，以挖掘和調動廣大學生的學習積極性和潛能。

二、數學建模與大學數學知識的應用

數學建模在大學數學教學中的應用是廣泛的，如結合當前購房還貸問題，我們可以從差分方程的應用中來構建數學模型。假設某同學要購買房子，依照按揭貸款要求，如何從數學模型的構建中來探究各變量間的關系。假設第n月欠銀行款為An，第n-1個月欠款結余為An-1，利息額為An-1（1+r），本月還款為x，還欠銀行款為An-1（1+r）-x。當學生在第n月還款之后還剩欠款為An時，則An應該滿足上次還款欠款余額An-1與上次還款利息An-1r的和，再與本月還款x作差，即可得到購房還款數學模型。記作：

從上述差分方程的建模過程來看，利用建 模思想來圍繞現實購房問題展開數學分析，有助于我們從中來細化各變量間的關系，從而更好的幫助我們處理現實問題。同樣道理，利用差分方程，還可以從數列{3，54，10，33，......}中來解決第五個數字是多少。我們從數列的各項數值關系來分析，第一項3與第二項4之間的關系可以記作：4=1×3+1；第三項可以記作：10=2×4+2；第四項可以記作：33=3×10+3；那么第五項則可以記作：136=4×33+4。對于本題在解決過程中，利用建模思想，可以得到An=（n-1）（An-1+1），n=2，3，...，N；可見，對于本模型在實踐應用中能夠鍛煉學生的數學觀察與分析能力。

同樣道理，高等數學中的定積分知識的應用，在生活中也較為常見。如我們在對易拉罐進行最優化設計時，通過讓同學們觀察易拉罐的整體結構，從實物的觀察中來增強學生對定積分的認知和理解，特別是從易拉罐自身正圓柱體結構，應該從那些變量及參數優化上，來獲得總體積為330ml。因此，需要從易拉罐的形狀及結構分析上，從圓柱的半徑與高之間的比值之間來優化表面積S，以滿足體積要求。根據圓柱體表面積S的求解方法，我們可以記作S（r，h）=2πrh+πr2=2π[r2+rh]，對于圓柱體的體積V可以記作：V=πr2h，而h=V/πr2。通過上述分析，利用數學建模思想來探究易拉罐的數學模型，可以從如下目標函數的表示中來獲得：。對于式中的S表示為目標函數，而對于，則是對本模型的約束條件，也就是說，在易拉罐體積恒定且已知條件下，滿足該易拉罐體積最小所對應的圓柱半徑r和圓柱高h的值。通過對易拉罐最優化設計，讓學生能夠從生活中來發現數學知識，運用數學思維來研究實際問題，特別是在數學知識與現實生活聯系上，增強學生對數學建模思想的運用，提升廣大學生對數學建模與數學學習的興趣。

從數學建模應用來看，數學基礎理論在教學中可以采用多種思維方式來滲透建模思想，從問題的發現與分析中，通過精心設計問題來引導學生發散思維，利用已掌握的數學知識來展開探討，拓寬數學思維，充分發揮數學建模在想象力培養中的積極作用。如泊松分布、二項分布、正態分布、均勻分布和指數分布等。針對這些分布特征，學生們在實踐探究中，往往難以理解數學模型的構建與概率分布類型之間的內在關系。因此，我們從概率分布問題中來聯系實際，利用具體分布特征來探討各類隨機問題的變化情況。如對于泊松定理的學習，從該定理的證明來看，泊松分布可以看作是二項分布的極限表示方式，那么如何從隨機變量的表示上來幫助學生正確分析定理成立的條件。從極限表示來看，在 nPn=中，我們可以從二項分布中來獲得隨機變量的序列，與數列都是同階無窮小，當n足夠大時，則P值最夠小，由此可以利用λ=np來對二項分布進行概率統計計算。在判定概率出現次數較少時，我們稱之為“稀有事件”，則可以將二項分布近似看做是泊松分布。對于統計學中的假設與檢驗過程，任何猜想的驗證都需要從檢驗中來獲得。同樣，在泊松定理中，利用數學建模思想來提出假設，并從檢驗中來驗證。

對于概率學中的頻率穩定性問題，可以從概率概念及頻率概念間的差異性上，借助于隨機變量來幫助學生們正確理解。以貝努里大數定律為例，對于任意的一個，當時， 貝努里大數定律成立。從理論上來看，我們可以利用計算機軟件模擬蒲豐投針試驗，讓學生從軟件模擬中來理解該定理的特點。當實驗次數n足夠大時，所獲得的頻率具有穩定性，從而獲得頻率與概率之間的關系。同樣道理，在利用蒙特卡羅方法時，當我們將確定性問題是由隨機模擬方法近似求解的話，很多學生更樂于從中來洞悉具體方法。如在工程實踐中，對于圓周率的估算，可以從蒙特卡羅方法中來近似計算；還有對于物理學中的核反應堆屏蔽層問題，也可以從模擬近似方法中，利用模擬現實的隨機變量來進行設計。可見，對于模擬理論的應用，其依據是在貝努里大數定律的使用中，通過頻率來完成對概率的統計。在豐富的現實生活世界里，諸如此類的充滿趣味的數學建模思想的應用是廣泛的，利用數學建模思想來激發學生對數學知識的學習樂趣，從中來鼓勵學生在資料查閱和動手實踐中來提升創新思維能力。

三、結語

數學模型是基于數學符號、公式及數量關系基礎上，對現實本原型問題的描述和反映。在構建數學模型應用中，要從數學思想與實際問題的銜接上，從數學方法的滲透和運用中來解決實際問題。如在高等數學積分過程研究中，從不同解題方法或一題多解中來培養學生的數學思維，引領學生從數學建模中來探究數學領域與其他行業學科知識的關系，嘗試用數學建模來激發和引導學生主動發現問題，提出新的見解和方法，在數學建模實踐中增強學生對創新思維能力的運用。

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作者簡介：張恩賓（1981-），男，漢族，河南封丘人，理學碩士，河南財政金融學院信息工程系，講師，研究方向：信息與計算科學。