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高等數學建模思想與大學生數學創新思維養成實踐研究

2016-10-20 19:19:52張恩賓
現代經濟信息 2016年19期
關鍵詞:創新思維教學應用大學生

摘要:高等數學教育改革要圍繞素質教育實踐,著力從數學創新思維培養上來增強大學生的數學建模意識和能力。數學建模思想和建模方法是培養大學生數學創新意識的有效途徑,也是當前高等教育人才培養的重要方向。本文將從數學建模競賽的益處入手,就高等數學創新思維培養的必要性進行闡述,特別是從教育方法、教育理念及教育手段創新上,豐富高等數學知識的應用,增強大學生對高等數學建模意識的培養。

關鍵詞:高等數學;建模思想;大學生;創新思維;教學應用

中圖分類號:O1-0 文獻識別碼:A 文章編號:1001-828X(2016)019-000-02

素質教育將創新思維培養作為高等教育的首要任務,高等數學作為素質教育改革的重要內容,迫切需要從大學生數學思維培養上,強化大學生對數學知識的應用和實踐。數學建模思想已經成為當前高等數學教學的改革重點,本文將從數學建模課程教學應用著手,從具體數學建模應用中來提升大學生數學思維能力。

一、數學建模思想與大學生創新思維的養成

(一)數學建模思想對數學知識實踐性教學提供基礎

數學建模是培養大學生應用數學知識解決實際問題的有效途徑。將建模思想與數學應用相統一,從問題中來創設解決思路。如概率論和數理統計,主要從隨機現象的規律性上來探討數學應用。作為理工類基礎課程之一,其特點是與具體工程行業發展相結合,利用數學建模思想來分析實際問題。再如線性代數和微積分,這些課程對于數學建模能力要求不高,但對于線性代數的應用,可以從其知識點共性上來加強數學創新思維意識的培養。數學知識與工程技術學科、經濟學、管理科學等都有滲透,特別是對于學科實際問題,從數學知識與其他學科的交叉中來建立數學模型,探究問題的解決路徑。數學建模過程是創造性思維培養的有效方式,從數學建模與創新思維研究中,傳統數學知識的學習,多體現在抽象理論的運算,而往往忽視數學知識的實踐性。高等數學與數學建模課程的開展,為數學知識的應用創造了條件,充分發揮數學的學習功用,提升大學生勇于探索的數學精神。

(二)數學建模思想與創新思維的關系

創新思維是廣大大學生最缺乏訓練的科學思維,在大學數學與建模思想應用中,對于傳統的教學,多停留在教師的講解與學生的聽與背,對于數學知識所涵蓋的科學思維則缺乏思考。數學建模將創造和發現問題作為前提,利用數學方法來多角度的觀察和分析實際問題,特別是從數學模型的構建中,發揮數學知識在解決實際問題中的作用。如對高等數學中的基礎理論知識,如何去理解概率的概念,倘若直接給出概率的定義和公式,對于學生在理解樣本點、樣本空間等概念時將面臨與實際相脫節的尷尬。為此,在教學中可以從隨機試驗范例描述中,針對可能發生的隨機事件來找出事件間的關系與結構,讓學生從事件的組合與運算中來理解數學建模思維過程,抓住基本事件的本質,并能夠從數學模型中來進行表達,突出實際問題到抽象概念間的轉化。數學思維的養成在于對數學概念、數學知識的運用,教師要能夠從數學問題中來多提問題,鼓勵學生從數學模型中來探究數學知識與現實世界之間的聯系,特別是從課題探討、動手實踐中,運用數學知識來建構學科問題,從自由思考、廣泛交流、深入探究中提出見解,增強思維群體間的碰撞與啟發,以挖掘和調動廣大學生的學習積極性和潛能。

二、數學建模與大學數學知識的應用

數學建模在大學數學教學中的應用是廣泛的,如結合當前購房還貸問題,我們可以從差分方程的應用中來構建數學模型。假設某同學要購買房子,依照按揭貸款要求,如何從數學模型的構建中來探究各變量間的關系。假設第n月欠銀行款為An,第n-1個月欠款結余為An-1,利息額為An-1(1+r),本月還款為x,還欠銀行款為An-1(1+r)-x。當學生在第n月還款之后還剩欠款為An時,則An應該滿足上次還款欠款余額An-1與上次還款利息An-1r的和,再與本月還款x作差,即可得到購房還款數學模型。記作:

從上述差分方程的建模過程來看,利用建 模思想來圍繞現實購房問題展開數學分析,有助于我們從中來細化各變量間的關系,從而更好的幫助我們處理現實問題。同樣道理,利用差分方程,還可以從數列{3,54,10,33,......}中來解決第五個數字是多少。我們從數列的各項數值關系來分析,第一項3與第二項4之間的關系可以記作:4=1×3+1;第三項可以記作:10=2×4+2;第四項可以記作:33=3×10+3;那么第五項則可以記作:136=4×33+4。對于本題在解決過程中,利用建模思想,可以得到An=(n-1)(An-1+1),n=2,3,...,N;可見,對于本模型在實踐應用中能夠鍛煉學生的數學觀察與分析能力。

同樣道理,高等數學中的定積分知識的應用,在生活中也較為常見。如我們在對易拉罐進行最優化設計時,通過讓同學們觀察易拉罐的整體結構,從實物的觀察中來增強學生對定積分的認知和理解,特別是從易拉罐自身正圓柱體結構,應該從那些變量及參數優化上,來獲得總體積為330ml。因此,需要從易拉罐的形狀及結構分析上,從圓柱的半徑與高之間的比值之間來優化表面積S,以滿足體積要求。根據圓柱體表面積S的求解方法,我們可以記作S(r,h)=2πrh+πr2=2π[r2+rh],對于圓柱體的體積V可以記作:V=πr2h,而h=V/πr2。通過上述分析,利用數學建模思想來探究易拉罐的數學模型,可以從如下目標函數的表示中來獲得:。對于式中的S表示為目標函數,而對于,則是對本模型的約束條件,也就是說,在易拉罐體積恒定且已知條件下,滿足該易拉罐體積最小所對應的圓柱半徑r和圓柱高h的值。通過對易拉罐最優化設計,讓學生能夠從生活中來發現數學知識,運用數學思維來研究實際問題,特別是在數學知識與現實生活聯系上,增強學生對數學建模思想的運用,提升廣大學生對數學建模與數學學習的興趣。

從數學建模應用來看,數學基礎理論在教學中可以采用多種思維方式來滲透建模思想,從問題的發現與分析中,通過精心設計問題來引導學生發散思維,利用已掌握的數學知識來展開探討,拓寬數學思維,充分發揮數學建模在想象力培養中的積極作用。如泊松分布、二項分布、正態分布、均勻分布和指數分布等。針對這些分布特征,學生們在實踐探究中,往往難以理解數學模型的構建與概率分布類型之間的內在關系。因此,我們從概率分布問題中來聯系實際,利用具體分布特征來探討各類隨機問題的變化情況。如對于泊松定理的學習,從該定理的證明來看,泊松分布可以看作是二項分布的極限表示方式,那么如何從隨機變量的表示上來幫助學生正確分析定理成立的條件。從極限表示來看,在 nPn=中,我們可以從二項分布中來獲得隨機變量的序列,與數列都是同階無窮小,當n足夠大時,則P值最夠小,由此可以利用λ=np來對二項分布進行概率統計計算。在判定概率出現次數較少時,我們稱之為“稀有事件”,則可以將二項分布近似看做是泊松分布。對于統計學中的假設與檢驗過程,任何猜想的驗證都需要從檢驗中來獲得。同樣,在泊松定理中,利用數學建模思想來提出假設,并從檢驗中來驗證。

對于概率學中的頻率穩定性問題,可以從概率概念及頻率概念間的差異性上,借助于隨機變量來幫助學生們正確理解。以貝努里大數定律為例,對于任意的一個,當時, 貝努里大數定律成立。從理論上來看,我們可以利用計算機軟件模擬蒲豐投針試驗,讓學生從軟件模擬中來理解該定理的特點。當實驗次數n足夠大時,所獲得的頻率具有穩定性,從而獲得頻率與概率之間的關系。同樣道理,在利用蒙特卡羅方法時,當我們將確定性問題是由隨機模擬方法近似求解的話,很多學生更樂于從中來洞悉具體方法。如在工程實踐中,對于圓周率的估算,可以從蒙特卡羅方法中來近似計算;還有對于物理學中的核反應堆屏蔽層問題,也可以從模擬近似方法中,利用模擬現實的隨機變量來進行設計。可見,對于模擬理論的應用,其依據是在貝努里大數定律的使用中,通過頻率來完成對概率的統計。在豐富的現實生活世界里,諸如此類的充滿趣味的數學建模思想的應用是廣泛的,利用數學建模思想來激發學生對數學知識的學習樂趣,從中來鼓勵學生在資料查閱和動手實踐中來提升創新思維能力。

三、結語

數學模型是基于數學符號、公式及數量關系基礎上,對現實本原型問題的描述和反映。在構建數學模型應用中,要從數學思想與實際問題的銜接上,從數學方法的滲透和運用中來解決實際問題。如在高等數學積分過程研究中,從不同解題方法或一題多解中來培養學生的數學思維,引領學生從數學建模中來探究數學領域與其他行業學科知識的關系,嘗試用數學建模來激發和引導學生主動發現問題,提出新的見解和方法,在數學建模實踐中增強學生對創新思維能力的運用。

參考文獻:

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[3]龔雅玲.數學建模思想在高等數學教材中的滲透[J].北京教育學院學報(自然科學版),2015(03):105-107.

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作者簡介:張恩賓(1981-),男,漢族,河南封丘人,理學碩士,河南財政金融學院信息工程系,講師,研究方向:信息與計算科學。

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