強調數學思想 提升數學素養

陳冠峰

[摘 ?要] 數學思想是解決數學問題的基本策略，是提高學生解題能力的關鍵. 在教學中，教師要引導學生用數學思想方法去分析和解決問題，以此形成數學能力，提升數學素養. 文章以轉化思想為例，闡述轉化思想在提高解題能力中的重要意義，以期在教學中關注學生轉化意識的培養，從而將抽象的、復雜的問題向具體、簡單轉化，有效提高學生的解題效率.

[關鍵詞] 數學思想;解題能力;數學素養

人們常說“得數學者得天下”，由此可見數學學科的價值與地位. 高考數學題目靈活多變，解題方式多種多樣，對學生的學習能力和思維能力要求較高，因此教學中教師應關注學生解題能力的訓練. 值得注意的是，訓練學生的解題能力不是搞“題海戰術”，而是通過數學思想方法的滲透讓學生認清問題的本質，掌握解決問題的方法，繼而通過對典型問題的探究提高學生舉一反三的能力.

在傳統教學中，教師將教學目標定位在知識的講授上，忽視了數學思想方法的滲透和提煉. 數學思想方法作為解決問題的基本策略，其在解題中是無處不在的，關系著思維發展和能力提升，因此教學中教師應重視學生掌握這些數學思想，并靈活運用數學思想解決問題，以此提高解題效率.

筆者以轉化思想為例，結合具體案例呈現“轉化”在解題中的重要意義，以期在解題時能夠靈活運用數學思想方法，巧妙地解決問題，提高解題能力.

數形轉化，簡潔直觀

許多數學題目比較抽象，乍看上去很難找到解題的突破口. 為了解決這些抽象的問題，解題時可以嘗試數形轉化，從而借助“形”的直觀將抽象的數字、公式等內容具體化、形象化，讓學生結合生動的圖形信息找到解題的突破口.

例1 已知關于x的方程=x+m有兩個不同的實數根，求實數m的取值范圍.

解題時學生容易想到=x+m可轉化成m=-x，但轉化后很難將其與“方程有兩個實數根”建立聯系，故此路不通. 接下來學生又想到兩邊平方，去除根號，從而將其轉化為關于x的一元二次方程，根據已知可得“Δ>0”，求出實數m的取值范圍. 不過，通過該方法運算，過程比較復雜，為了化繁為簡，提高解題效率，解題時不妨引導學生應用數形結合，將等式兩邊轉化為兩個函數“y=”與“y=x+m”. 結合圖象易發現，直線y=x+m隨著m值的不斷增大，它與曲線y=由“無交點”到“一個交點”到“兩個交點”到“一個交點”再到“無交點”進行著變化，易求m的臨界值. 由此借助“形”的直觀，降低了問題的難度，優化了運算過程，可以提高學生的解題能力.

數形結合是重要的解題方法，當面對一些抽象的代數問題時，若能夠合理地轉化往往可以給人心曠神怡的感覺，讓那些原本復雜的、摸不著頭腦的問題變得簡單，有助于增加學生的解題信心，提高學生的解題能力.

正反轉化，豁然開朗

對于一些數學問題，有時候若從已知出發——直接正面求解可能走許多彎路，而若從結論出發——反向入手可能使問題求解容易得多. 因此，解題時教師可以鼓勵學生從不同角度去思考和解決問題，這樣往往會收到一些意想不到的結果，讓解題思路變得豁然開朗，大大提升解題效率.

例2 已知在區間[-1，1]內，至少存在一個實數x，使得函數f（x）=6x2-3（m-2）x-2m2-m+1為正，求實數m的取值范圍.

解題時大多數學生習慣從正面（即f（x）>0恒成立）出發，嘗試應用數形結合法來求解，但m的取值范圍需要分多種情況進行討論，顯然過程復雜，不是最優的解決方法. 為了優化解決方法，解題時教師不妨引導學生反向出發，也就是在區間[-1，1]內，f（x）≤0恒成立. 二次函數的二次項系數為6，故函數圖象開口向上. 在區間[-1，1]內，函數圖象可能是先減后增的，也可能是單調遞減或單調遞增的，因此只要確保f（-1）和f（1）都不大于零，那么在區間[-1，1]內的函數值自然也就不大于零. 這樣反向出發，得到m的取值范圍后取其補集，問題即可獲解.

顯然，反向思考可以有效避免復雜分類所帶來的錯解風險，從而有效提高解題準確率和解題效率. 解題時，若遇到障礙則要考慮變換思考方向，或許就可以化“一籌莫展”為“豁然開朗”.

一般與特殊的轉化，迎刃而解

一般與特殊是重要的數學思想方法，其不僅應用在概念、公式、定理等內容的推導上，在解題中也有著重要作用. 當遇到一些較為復雜的問題時，可以從特殊的角度出發，先找到解決特殊情況的方法，然后通過擴展條件向一般化轉化，以此探究一般方法，掌握一般規律，提高解題效率. 當然，探究一般問題時，也可以通過添加限制條件，將其轉化為特殊問題，運用一些巧妙的方法解決. 不過無論是一般轉化為特殊，還是特殊轉化為一般，都需要尋找共性，對共性進行深度剖析，得出答案.

例3 已知函數f（x）=，那么f（-2017）+f（-2016）+…+f（0）+…+f（2016）+f（2017）+f（2018）=______.

顯然例3是無法直接計算的，必須探尋其中蘊含的規律，從而利用巧妙的方式求解. 由于結論為偶數項，因此容易想到兩兩相加會得到一個特殊結果. 為了探究這個特殊結果，可以從特殊情況入手，選取最簡單的兩項f（0）和f（1），得f（0）+f（1）=+=，接著繼續驗證f（-1）+f（2），代值化簡得f（-1）+f（2）=.由此可以推斷，兩兩相加均為. 由于這個式子共有4036項，故其結果為1009.

例3是填空題，利用以上方法求解簡潔、高效. 解題后有學生提出了這樣一個問題：若例3是一道大題該如何求解呢？對于大題，每步都要做到有理有據，若利用特殊化進行驗證顯然有些牽強，因此解題時需要借助特殊情況探究一般性結論. 對于以上發現，可以轉化為探究f（x）+f（1-x）的結果，即若f（x）+f（1-x）=，問題便可迎刃而解.

解答一般性問題時，如果題目內容較復雜，不妨從特殊情況出發，尋找特殊情況的解決方法，然后將其遷移至一般情況中進行思考，合理推論題目的一般情況，探尋解決問題的一般方法. 若解題時能處理好一般與特殊的關系，則可以大大提升解題效率.

建模轉化，融會貫通

數學與生活緊密相連，因此可以根據生活實際來建立數學模型，然后根據數學模型得到的結果去解決實際問題. 通過實際問題與數學模型的相互轉化，可以提高實際問題的解決效率，彰顯學以致用的本質. 為了考查學生解決實際問題的能力，常將實際問題精煉成數學問題，以此讓學生在解決問題的過程中感悟數學的應用價值，提高學生數學學習的積極性.

例4 6個人站成一排，小明和小剛不能挨著，有多少種站法？

例5 餐桌上原有7道菜，現增加3道菜，在原有菜品順序不變的情況下，有多少種排法？

教學排列組合知識后，教師給出了以上兩道類似的問題，讓學生運用已學數學模型解決它們. 問題給出后，學生很快分辨出它們都是“相離問題”，解決的方法相同，都用插空法，不同的是例4中小明和小剛兩人不能相鄰，而例5中的3道菜可以相鄰. 對比分析后，解題思路便形成：對于例4，除去小明和小剛，其他4人有A種站法，這4人形成了5個空位，將小明和小剛分開插入空位有A種站法，所以共有AA=480種站法. 對于例5，需要一個個先后將3道菜插入空位，即有7道菜時有8個空位，故第一道菜插入空位有A種排法;第一道菜插入空位后，形成了9個空位，故第二道菜插入空位有A種排法，以此類推，共有AAA=720種排法.

排列組合問題較復雜，若解題時不進行建模轉化而直接求解，不僅會消耗大量的時間，而且最終可能失敗. 為了讓學生更好地解決此類問題，應對常見題型與解決辦法進行匯總，引導學生利用數學模型來解答，這樣可以有效提高解題效率. 同時，教學中教師要引導學生進行對比分析，找到各問題間的區別與聯系，以此讓學生認清問題的本質，找到實際問題所對應的數學模型，從而利用數學建模的方式解答問題.

有些題目看似相同卻有著本質的區別，而有些題目看似不同卻有著相同的解答思路，因此教師要教導學生解題前應認真審題，理清問題的來龍去脈，以便通過合理的轉化高效地解決問題，實現知識的融會貫通.

可以說轉化在解題中無處不在，因此教學中教師應重視學生轉化思想的培養，打破傳統教學模式的束縛，讓學生站在更高的角度思考問題，以此提高學生的解題效率.