基于深度學習的數學核心概念教學策略
——以人教版數學四年級下冊“平均數”的教學為例

廣東省廣州市番禺區市橋實驗小學 盧君娥

廣東省番禺中學附屬學校 盧 玲

廣東省廣州市番禺區北新正華學校 韓海澄

本文基于“平均數”這一核心概念的內在結構，構建了圍繞核心概念的教學設計程序和方法，采用理解性、問題導向性、回應性教學策略，充分體現教學的過程性價值，豐富學生的學習過程，引導學生深度學習。

一、以理解為內核，在核心概念形成過程中彰顯學生的學習意義

意義感就是學生對該知識價值的認同，它是學生保持持續探究欲望的動力源泉之一。如何體現知識的價值，并讓學生對該價值產生積極的心理傾向，這是為促進深度學習而設計組織教學首先應思考的問題。在新課標倡導大單元教學思想和核心素養導向下，教師首先要全盤梳理教學單元中什么知識是最有價值、最能轉化為素養的知識，發掘出以核心知識為載體的核心概念，進而圍繞核心概念來設計與組織教學，有助于學生對知識的深入理解和遷移應用。

“平均數”是人教版數學四年級下冊第八單元“統計”內容的第一課時。圍繞著“平均數”的“虛擬性和一般水平”本質的理解，筆者設計了問題串：“初步體會平均數的作用（知識的意義和價值）—平均數是什么（核心概念理解）—怎么得到平均數（平均數的計算方法）—平均數到底有什么用（問題解決）”。以問題串為主線，開展了一系列探究學習活動，讓學生在解決實際問題的過程中加深對“平均數”的理解，在解釋運用過程中體會“平均數”的統計意義與作用。

首先，教師激發學生對“平均數”的價值認同，以學生剛剛經歷的包湯圓比賽為情境，引發思考：如何評出比賽的冠軍？用什么數來比才公平呢？

【片段1】

師：在元宵佳節，我們進行了包湯圓的比賽，現在請同學們評選出比賽的冠軍小隊，好嗎？

生（齊）：好！

師：因為“陽光星隊”一共做了35個湯圓，所以比賽的冠軍是“陽光星隊”。（見圖1）

圖1

生1：我不同意，因為我覺得不公平。“陽光星隊”的人數多了一人，總數不能代表全隊的情況。

師：“智慧星隊”有名隊員做的湯圓最多，有10個，比賽的冠軍是“智慧星隊”。

生2：這樣比還是不公平，最多的個數也代表不了全隊的情況。

師：那到底用什么“數”來代表全隊的情況呢？

生3：用每隊做的湯圓個數的平均數。

教師引入學生在元宵節做湯圓的真實比賽情境，并通過“哪一隊贏了”這一驅動性問題激活學生的已有認識，引發學生的認知沖突，激勵學生大膽質疑，讓學生感受到在人數不同的情況下，個體水平不能代表整體水平。此時，用“平均數”作為“代表”呼之欲出，將核心概念和學生生活經驗建立起聯系，“平均數”為什么產生？“平均數”的價值一下子讓學生產生了認同，學生的學習興趣自然被調動了起來。

接著，教師進一步引導學生展開對“平均數”的探究。生活中很多地方都會用到“平均數”，教師以“平均數是什么呢？”為核心問題，引導學生鏈接生活情境，進一步探究“平均數”這一概念的內涵。

【片段2】

師：下面我們就來驗證，看看用平均數來比，是不是真的公平。

接下來，學生探究了“平均數”的求法：移多補少，平均數=總個數÷總人數，體會到“一般情況下，平均數確實能代表一組數據的一般水平”。

這一探究過程，不僅讓學生認識到“平均數”是一個包含了加法和除法的算式，還讓學生理解了“平均數”所表征的統計學的本質與規律、價值和意義、思想和方法，從而引導學生通過知識理解建立起與外部世界的內在關聯，實現了對知識學習發展性的價值追求。

二、以問題為導向，在體驗與探究活動中激發學生的學習興趣

圍繞核心概念組織教學，其問題導向教學策略關注的不是具體知識的簡單記憶，而是通過設計與核心概念相呼應、具有挑戰性的問題串或問題鏈，組織學生經歷觀察體驗、分析推理、抽象概括等思維過程，促進認知活動經驗的積累，提升分析和解決問題的能力，促進知識向素養轉化。

該課設計了正向的問題——給定4個數據，求它們的平均數？以及逆向的問題——給出平均數，讓學生給出可能的4個數據分別是哪些？這兩個問題拓寬了“平均數”的外延。

【片段3】

師：出示“努力星隊”做的湯圓的數據（見圖2）。

圖2

師：這個小隊有疑惑，為什么他們小隊沒有獲得冠軍呢？

（生求出這個隊的平均數是6個）

師（追問）：這里每個人做的湯圓個數都不是6個，到底是誰做了6個湯圓呢？

生1：這里確實沒有誰做了6個湯圓。這里的6個是代表他們小組的一般水平。

生2：平均數有的時候并不一定出現在這組數據里，有時并不真實存在。

(4)控制變量測度。借鑒蔡海亞等[29]、張虎等[28]9的相關研究，本文模型中還控制了4個可能影響因變量的解釋變量：市場化水平(Market)，以各省非國有企業在固定資產投資中所占比重作為代理變量；人力資本(Labor)，采用各省居民人均受教育年限作為代理變量；政府支出(Govern)，以各省財政支出與GDP的比值來表示；貿易開放(Open)，使用各省進出口總額和地區生產總值的比值來表示。

生3：平均數比最多的少，比最少的多，也可以說“比上不足，比下有余”。

從字面上來看，學生很難區分“平均數”和“除法的平均分”，這兩者雖然計算方法相同，但含義卻不相同。為了讓學生能深刻理解“平均數”這一核心概念的深刻內涵，教師以問題為導向：“到底是誰做了6個湯圓呢？”在恰當的追問中，引發學生思考與探究。學生在交流對話、思維碰撞中體會到，原來“平均數”并不一定出現在這一組數據中，借助數形結合的思想不斷比較、不斷抽象，理解“平均數”“虛擬性”的本質。

【片段4】

師：“可愛星隊”有4名隊員，做的湯圓的平均數也是6，你覺得這個小隊的隊員可能分別做了多少個？

小組展示匯報（見圖3）：

圖3

師：為什么平均數都是6，但是每組擺的數據都不相同呢？

生1：我知道其他小組還可以擺出很多種不同的情況，但是只要湯圓總數不變，人數也不變，那這里的平均數都是6。

師：（指著其中一組極端數據）你們看見這種情況，怎么都笑了？

生2：這個小組太好笑了，其他3個人都在玩，只有一個人在努力地包湯圓，包了24個。

生3：我覺得如果這里用平均數6來代表整個隊包湯圓的一般水平就太不公平了，因為有3個人是不勞而獲的。

……

師：是的，在統計分析這種特別的數據時，平均數的作用不大了，所以我們會用其他的數來代表一般水平，有興趣的同學可以課后自己去研究。

知識的學習固然重要，但更重要的是讓學生能完整、全面、辯證地看待問題，構建完整的知識結構。學習“平均數”的求法，體會“平均數”的作用是本節課的目標，但用“平均數”進行數據統計也不是萬能的，并不是任何情況下都適用。教師通過課堂上生成的問題資源，引導學生探究發現：在分析極端數據時，“平均數”就不適用了？讓學生用更開闊的視野、辯證的思維去看待問題、分析和解決問題，促進學生對核心概念的深度理解。

三、以回應為評價方式，在深度反思與感悟中提高學生的學習效能

“回應”作為一種非正式形成性評價方式，其作用是通過適時的重復（歸納）、追問（征詢）、補充（點評）等教學策略，給學生營造安全的心理氛圍和互動的學習環境，引領學生的思維不斷走向深入、走向開放，進而形成對概念的深度理解和情感價值的培育，而不是具體知識點的簡單記憶。這樣才能讓具體知識的學習更好地促進學生學科關鍵能力和學科核心素養的提升，從而讓學生產生學習的效能感。

【片段5】

師：這是東東和奇奇1分鐘投籃的個數統計表（見圖4）。選誰去參加投籃比賽更合適？小組討論，說一說你的理由。

圖4

生1：他們兩人投籃的平均數都是4，所以選誰去都合適。

生2：東東最后一次投中的個數最多，有8個，選他去，如果運氣好，他很有可能贏。

生3：萬一運氣不好呢？我覺得選奇奇，他發揮得更穩定。

生4：每個人只投4次，太少了，我想看他們多投幾次再選擇，這樣會更穩妥。

師：你們同意誰的說法呢？還需要多統計幾次投籃個數嗎？

生（異口同聲）：是的。

師：你覺得東東第5次要投中幾個，平均數才不變呢？

生5：如果平均數不變，東東第5次一定投中了4個。

師：為什么他回答得這么肯定？

生6：因為平均數是4，接下來的數如果是4，對平均數沒什么影響，如果大于4，平均數就會拉高，如果小于4，平均數就會拉低。

本環節結合學生的生活經驗，設計“選誰去參加投籃比賽更合適？”這一真實而富有挑戰性的任務，在不斷地思辨和追問中考查學生對“平均數”概念的理解，以及運用概念對生活問題做出解釋的能力。在師生、生生的回應中，學生深度理解了“平均數”的內涵：（1）平均數并不是固定不變的，個體樣本數的變化會導致平均數的變化；（2）平均數雖然代表一組數據的一般水平，但還是會存在一些誤差，如果要減少平均數的誤差，就需要收集更多的樣本數，初步形成大數據分析的雛形和意識。本環節不僅是零散知識點的學習和運用，還可上升為學生統計思想、統計意識等學科關鍵能力和核心素養的培育。

深度教學不是指無限增加知識的難度和知識量，不是對知識的表層學習和表演學習，更不是對知識的簡單占有和機械訓練，而是基于知識的內在結構，以核心概念為統攝，將事實、概念與學科中更具普適性的核心概念建立關聯，形成知識結構鏈，是一種充滿了積極的情感態度的學習，既能幫助學生從本質上理解學科知識，提升思維水平，又有助于學生將知識完整化、結構化、生活化，從而實現從數學概念、符號學習走向對學科思想和意義系統的理解和掌握。