小學數學不同版本教材“運算定律”習題難度的比較研究

陶彬 梁宇

【摘要】本文采用鮑建生的習題綜合難度模型，從習題的探究、背景、運算、推理、知識點含量五個難度因素入手，對人教版、北師大版教材中“運算定律”模塊的習題進行比較研究，從中發現不同版本教材在習題難度設置中的規律及異同，為教師進行習題設計提供建議。

【關鍵詞】小學數學 運算定律 習題難度 教材研究

【中圖分類號】G62 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）01-0047-04

習題是一門課程或教材編者為學習者復習所學知識，鞏固、記憶知識或提高知識運用能力而設計的題目。習題是小學數學教材中重要的教學內容，習題的難度對教師選擇教學方法、檢驗學生知識掌握程度等有重要影響。我國現行小學數學教材遵循“一標多本”政策，遵循的是《義務教育數學課程標準（2011年版）》，“運算定律”模塊的習題難度在不同版本教材中有不同的表現。本文以“運算定律”模塊的習題為研究對象，基于鮑建生教授的習題綜合難度模型，對在全國范圍內使用較為廣泛的人教版（人民教育出版社出版的簡稱）、北師大版（北京師范大學出版社出版的簡稱）教材中的有關習題進行比較研究，分析其難度設計規律，找出其異同點，為教師結合《義務教育數學課程標準（2022年版）》進行核心素養導向的教學改革，在教學中合理選擇和設計習題的難度提供參考。

一、研究方法與研究對象

（一）研究方法

本研究使用鮑建生教授提出的習題綜合難度模型對人教版和北師大版教材中“運算定律”模塊的習題進行量化描述和比較研究。如表1所示，鮑教授的習題綜合難度模型涉及習題在探究、背景、運算、推理、知識點含量五個方面的難度因素，每個因素又進一步劃分為3—4個不等的水平層級，是研究習題難度時使用較為廣泛的一種研究模型。

（二）研究對象

本文以人教版、北師大版教材中“運算定律”模塊的習題為研究對象。一般來說，學生完成練習時的思維難度不僅與練習文本的理解難度有關，還與學生自身的學習基礎、完成練習的環境、教師的教學方法等有關。本文僅對教材中例題之外的習題文本的難度進行研究，包括人教版教材中的“做一做”“練習五”“練習六”“練習七”“練習八”中的習題，北師大版教材中的“試一試”“練一練”“練習四”中的習題。在統計習題的總數量時，均按第一層級統計：若1個大題中包含多個小題，仍記為1題。

二、研究結果及數據分析

在人教版和北師大版教材中，“運算定律”模塊的習題總量存在較大差異：人教版教材中共有46道習題，北師大版教材中僅有29道習題。本文從5個難度因素的角度對兩個版本教材中“運算定律”模塊的習題進行統計分析，首先對每個難度因素的難度水平進行分類統計，計算每個難度水平占習題總量的比例（保留兩位小數），得出五個難度因素的差異，再對每個難度因素的加權平均值進行計算，從而推斷出習題的綜合難度，結果如表2所示。

從統計結果來看，在“運算定律”模塊：兩個版本教材的習題在五個難度因素上的難度水平都相對較低，只有少量難度水平較高的習題，而北師大版教材中的習題難度總體高于人教版教材中的習題難度；二者的難度表現既有相同點也有不同點，北師大版教材側重綜合運用的探索性習題，人教版教材側重鞏固練習的遷移性習題。從統計過程來看，我們一共經歷了5個難度因素的分類，每次分類都涉及3—4次的難度水平判斷。

（一）探究難度因素對比

探究難度因素反映的是習題的思維深度和難度。兩個版本教材在“運算定律”習題中，探究因素難度對比的相關統計數據如表3所示。

從總體上看，北師大版教材中的習題探究難度因素在識記、理解、探究三個水平層次上的習題占比相對均衡，而人教版教材中的習題探究難度因素更加注重理解、識記兩個水平層次，也就是更加注重基礎知識的考察和練習。兩個版本教材中的習題在探究難度水平上的占比都相對較低，北師大版有6道題，而人教版的題量僅為1道題。適當增加探究難度水平的習題，有助于培養學生的發散思維，發展學生思維的靈活性，引導學生在思考不同算法之間關系的過程中學會使計算變得簡便，從而提高運算效率。因此，使用兩個版本教材的教師在日常教學中，除了要教授課本上的習題，都可適當增加一些探究難度水平的習題作為課本練習的補充，以利于引導學生從具體數據的練習上升到對規律的發現與歸納。

兩個版本教材中的習題探究難度因素存在較大差異的表現集中在理解水平層次：人教版教材在這個水平層次上的習題占比明顯高于北師大版教材，高出27.29%，可見人教版教材的習題提供了扎實的基礎知識鋪墊，有助于學生構建完整的運算性質知識結構。建議使用北師大版教材的教師在設計習題時要充分考慮不同學生的已有經驗，適當補充不同難度水平的題目，更好地促進學生的知識遷移。

（二）背景難度因素對比

背景難度因素會影響學生完成習題的過程是否順利。不同模塊的知識對背景材料的呈現有不同的要求。兩個版本教材在“運算定律”習題中，背景難度因素的相關數據如表4所示。

由表4可知，人教版和北師大版教材中習題背景難度因素的難度水平分配大致相當：都缺乏對科學情境、公共常識難度水平的習題設置，個人生活難度水平和無背景難度水平的習題占更大比重，表現出兩個版本教材都更加重視對縱向基礎知識的考查與練習。因為運用運算定律進行簡便計算是“運算定律”模塊的教學目標之一，無背景的難度水平更有利于對學生進行有針對性的計算訓練，方便專注于計算量的積累，并通過量變的積累達到發現計算規律的質變的效果。設置個人生活難度水平的習題，有助于學生基于熟悉的生活情景理解習題的內容要求，從而降低對習題的理解難度。設置公共常識和科學情境的背景，則有助于學生在知識面上的橫向拓展，拓展學生對習題理解的深度和廣度。總之，無論教師如何設置和選擇習題的背景，保持動態平衡是教師在教學中需要重視的首要問題。

（三）運算難度因素對比

運算難度因素對習題的整體難度有較大影響。在“運算定律”模塊中，兩個版本的教材都安排了許多計算的實例，讓學生通過運算發現規律，相關難度水平的數據如表5所示。

由表5可知，在運算難度因素方面，數值運算水平的習題占比最高，人教版教材與北師大版教材的占比分別為69.57%和79.31%。大量的數值運算習題，有助于學生進一步理解整數四則運算的意義。

此外，難度水平較高的符號運算習題，無論是簡單符號運算還是復雜符號運算，在兩個版本教材習題中的占比都很低，人教版教材僅有1題涉及簡單符號運算，北師大版教材則完全沒有符號運算習題。學生在低年級已經進行過大量的數值運算知識積累，比如加法的驗算、連加口算等，已經掌握了運算的基本依據，將簡單符號運算水平的習題適當加入練習當中，引導學生以符號或字母的方式對規律進行數學表達，可有效培養學生的符號意識，讓學生不斷感受符號的簡潔性，體會數學語言的魅力。

（四）推理難度因素對比

“運算定律”模塊的學習更多體現的是歸納推理的思想，推理難度因素在一定程度上影響學生數學思維水平的發展。兩個版本教材關于“運算定律”的習題，在推理難度因素中的難度水平表現如表6所示。

由表6可知，兩個版本教材中的習題在推理難度因素上表現出較大差異：北師大版教材無推理水平的習題占比僅為31.03%，而人教版教材相應習題的占比為63.04%，可以看出北師大版教材的推理難度水平稍高，更加注重培養學生的推理意識。

林崇德教授在兒童數概念與運算能力發展的研究中根據推理的范圍、步驟、正確性、抽象概括性四項指標對兒童運算歸納推理能力劃分出了四個等級，包括算術運算中的直接歸納推理、簡單文字運算中的直接歸納推理、算術運算中的間接歸納推理、初步代數式的間接歸納推理，等級越高，意味著運算歸納推理的能力越高。經過對比試驗，林教授發現：五年級時能達到以上三級水平的學生占比高達83.3%。兩個版本教材都將“運算定律”模塊安排在了四年級下冊，在這個階段，能力較強的學生思維水平已經有了質的提升，因此，在“運算定律”模塊適時、適當地增加推理難度不僅是必要的，也是可行的。

（五）知識點含量難度因素對比

知識點含量的多少體現了習題綜合程度的高低。知識點含量多的習題要求學生能夠準確地把握知識點之間的聯系，因此，其難度水平也更高。兩個版本教材在“運算定律”習題中，知識點含量難度因素的相關數據如表7所示。

由表7可知，在知識點含量難度因素上，兩個版本教材大部分習題的難度水平都處于單個知識點水平；知識點含量越多，占比越少。知識點含量難度因素中的以上設置，反映了習題難度逐級遞增的特點，符合小學生由易到難、由簡到繁的認知規律。

兩個版本教材中的習題在知識點含量難度水平上的明顯差異在于單個知識點的占比，人教版教材明顯高于北師大版教材，二者分別為65.22%和48.28%。人教版教材單個知識點難度水平的習題數量超過習題總量的一半，可見其對習題知識點細分的重視和習題的精細化程度，也可見其更加重視基本知識和基本技能。北師大版教材單個知識和兩個知識點難度水平的習題數量分布較為均衡，說明其更加重視學生對知識的綜合辨識能力。綜上可知，有梯度的習題可以使不同層次的學生在各自能力的基礎上都得到最大限度的思維拓展和探究欲望的激發。

（六）綜合難度因素對比

根據鮑建生教授的習題綜合難度模型，我們對每個難度因素的加權平均值進行了計算，從而推斷出習題的綜合難度，詳細數值如圖1所示。

由圖1可知：兩個版本教材的習題在運算、背景兩個難度因素上的加權平均值較為接近，差異最明顯的是推理難度因素，知識點含量難度因素、探究難度因素次之。可見北師大版教材比較重視推理能力的訓練和綜合知識的應用，而人教版教材習題中的加權平均值各因素均低于北師大版教材，所以整體習題難度低于北師大版教材。

綜合各難度因素來看，北師大版教材“運算定律”模塊習題的探究難度水平和運算難度水平最高，人教版教材的兩個難度水平同樣處于高位。“運算定律”模塊屬于“數與代數”領域第二學段的學習內容，兩個版本教材在習題難度上對學生運算能力、計算方法等方面都有較高要求，這反映了我國數學教育界一直強調基礎知識、基本技能的傳統，因此運算水平的習題綜合難度值更高。此外，探究難度水平的習題不僅注重計算練習，也注重思維的拓展訓練。比如人教版四年級下冊第三單元“練習七”中的第5題用乘法分配律購買衣服的問題，衣服和褲子的價格不同，可以用不同的思路算出購買60套衣服的總價。學生在適度開放的習題中不僅可以進一步加深對乘法分配律的認識，也能體驗解決問題方法的多樣性，培養探究態度和能力，發展創新意識。

從難度水平最低的來看，人教版教材“運算定律”模塊習題推理難度因素的難度水平值最低，北師大版教材“運算定律”模塊背景難度因素的難度水平值最低，它們和最高難度值之間都有較大差距，由此亦可見兩個版本教材習題的五個綜合難度因素的狀態是不均衡的。

三、思考與建議

（一）把握習題難度，提升思維空間

在探究難度因素中，探究難度水平的習題最能提升學生的思維層次；在知識點含量難度因素中，三個及以上知識點難度水平的習題最能提升學生的綜合知識運用能力。當然，這樣的“最能”，對學生的已有知識基礎和綜合知識運用能力的要求也“最高”。教師在教學中若過度使用思考探究類習題和知識點含量過高的習題，對學習基礎不牢的普通學生來說，客觀上存在較大困難，不利于激發學生的學習熱情。與此同時，四年級的學生正處于自信心形成的關鍵期，難度過高的習題會對他們產生消極影響，阻礙他們從被動學習轉向主動學習的進程。因此，教師在習題諸難度因素的難度水平設計上要綜合考慮學生的最近發展區，讓不同層次的學生都能得到思維的發展，進階到與自己能力水平相適應的成長等級。

（二）豐富習題背景，拓寬知識視野

從孩童的七巧板到建筑師的摩天大樓，從探索浩瀚宇宙到發現微小粒子，從象棋的得失勝負到金融市場的千變萬化，這些事物貌似毫無聯系，但其實都離不開數學知識和數學思維的參與，由此可見數學應用范圍之廣。在小學數學學習過程中，習題不但能幫助學生鞏固知識，而且能拓寬學生的視野，比如在題目中適時、適量融入數學史、數學文化、社會公共信息、其他學科背景知識等。與此同時，教師也要避免走向另一個極端，勿使習題過于繁雜。一道好的數學習題，應該能夠巧妙地平衡各難度因素的綜合難度值，比如在其他難度因素難度值偏低的時候，適當提高背景難度因素的難度值，便會因習題背景更加多元化而有不一樣的表現。

（三）關注做題過程，著眼學生發展

在“運算定律”模塊中，運算難度因素的綜合難度值在兩個版本教材中都是最高的，表現為習題的計算量都比較大，學生在完成相應的習題后，不同層次的學生得到的運算結果會有較大差異。此時，教師需要關注學生完成習題的過程，幫助沒有得到正確答案的學生分析其出錯的原因，同時為順利完成習題的學生提高運算的難度，適當增加符號運算，發展其符號意識、模型意識和應用意識等數學核心素養。

參考文獻

［1］顧夢娜.小學數學教科書“圖形與幾何”領域習題難度比較研究［D］.上海：上海師范大學，2018.

［2］王建磐，鮑建生.高中數學教材中例題的綜合難度的國際比較［J］.全球教育展望，2014，43（8）：101-110.

［3］林崇德.小學兒童數概念與運算能力發展的研究［J］.心理學報，1981（3）：289-298.

作者簡介：陶彬（1994— ），廣西南寧人，碩士研究生在讀，研究方向為小學數學教育；梁宇（1978— ），廣西賀州人，教授，碩士研究生導師，研究方向為小學數學教育及教師發展。

（責編 白聰敏）