單元教學指導下高三數學校本課程開發與實踐

趙玲燕 李曉琴

【摘要】利用好選修課程教學對高中數學內容進行重構，以單元教學的方式整體提高學生的數學核心素養。

【關鍵詞】校本課程；單元教學；集合

2021年12月31日，教育部印發了《普通高中學校辦學質量評價指南》和《普通高中學校辦學質量評價指標》，要求“不存在隨意增減課時、改變難度、調整進度等問題，嚴禁高三上學期結束前結課備考”，實際上明確了從高二下學期期中到高三上學期結束的一個半學期時間應該組織高中數學選修課程的教學要求。《普通高中數學課程標準》給出了A、B、C、D、E五類高中數學選修課程的教學建議，其核心是為不同的學生提供有針對性的進一步的數學學習內容，特別是針對特長生和需要參加自主招生的學業水平較高的學生，由于絕大多數高中學生是通過參加高考進入高校，而且目前尚沒有質量較高的通用選修課程教科書，因此需要通過這一個半學期以選修課程的方式針對這部分學生群體開設選修課程，完成以往“一輪備考復習”的目標，而且這一個半學期是落實單元教學、幫助學生深化知識結構、整體把握數學內容、提高數學學科核心素養的最佳時機。

一、單元視角下的高中數學選修課程規劃

1.課程定位

本課程是在高中數學必修課程、選擇性必修課程的基礎上，為進一步滿足以參加高考為主要升學渠道的學生的成長需要、由學校根據實際學情而設置的課程。

2.課程基本理念

本課程的課程基本理念與《課程標準》中描述的課程基本理念一致。

3.課程目標

本課程的課程目標包括《課程標準》中描述的高中數學課程的全部內容。通過本課程的學習，學生能夠進一步從整體上把握高中數學知識，形成更加良好的認知結構，數學學科核心素養達到進一步發展。

4.學分設置

本課程為6學分，每學分20個課時，共120課時（根據《課程標準》中每學分18課時，每課時45分鐘折算）。

5.課程內容

本課程分為預備知識、函數、幾何與代數、概率與統計四個主題，將數學建?；顒优c數學探究活動、數學文化融入課程內容，每個主題包括高中數學必修課程和選擇性必修課程的全部內容。本課程是對高中數學必修課程和選擇性必修課程內容的優化與重組，以單元教學的形式開設。表1給出了本課程的課時分配建議，每個單元的課時分配根據該單元內容占整個高中數學必修課程和選擇性必修課程總課時的比例進行設置（表1見文后）。

6.教學與評價建議

（1）基于診斷，促進數學學科核心素養的進一步發展。

（2）夯實基礎，提高數學關鍵能力。

（3）科學訓練，有效提高數學解題能力。

（4）目標導向，關注學生的學習過程。

二、高中數學選修課程集合單元教學設計案例

1.單元內容

集合的概念與表示、集合的基本關系和集合的基本運算。

2.單元內容解析

集合是高中數學的基礎，是準確表達數學內容的語言。通過學習集合，能夠不斷提高學生對數學研究對象本質的認識，體會不同數學知識之間的關聯，運用特殊與一般、數形結合等數學思想方法，重點發展數學抽象核心素養。

3.單元學習目標

（1）目標。①進一步落實《課程標準》必修課程中關于集合的單元學習目標；②能通過對集合內容的知識梳理，形成集合內容的單元知識結構圖，形成對集合內容的結構性認識；③能運用集合語言準確表達高中數學各個主題的研究對象，體會不同知識之間的關聯，提高應用集合語言解決問題的能力；④通過解題活動，提高發現與提出問題、分析與解決問題的能力。

（2）目標分析。根據本課程“教學與評價建議”，本課程的每一個單元“基于診斷”的要求就是要落實《課程標準》中關于單元內容的學習目標；素養導向就是要通過本課程的學習進一步加深學生對知識的整體性認識，形成結構；夯實基礎與科學訓練就是要通過解題活動提高學生的數學關鍵能力，特別是數學解題能力。由此得到上述目標。

4.課時安排

本單元教學需要用3個課時。

5.內容安排與教學設計建議

第1課時

1.課時目標

梳理集合的概念、性質和運算等有關知識，整體認識高中階段集合內容的重要性、蘊含的數學思想方法、前后知識的關聯，形成認知結構。

2.教學設計建議

（1）課前自學。要求學生根據下表中的問題，通過閱讀教科書完成知識梳理的過程。

（2）課堂教學建議。①展示完成課前梳理任務較好的學生的學習成果；

②由教師進一步講解、梳理集合知識的來龍去脈，對相應的問題要有更“統攝性”的講解。如對問題9，要指出理解數學概念要特別關注概念的構成要素或概念的內涵，就集合而言，元素是構成集合的要素，因此兩個集合相等就是兩個集合的元素完全相同，這與判斷函數相等、向量相等等問題是一致的，另外，明確一個數學研究對象的概念可以根據概念構成要素的特殊情況定義相應的特例，如單元素集、空集，再如向量概念里的零向量、單位向量等；對問題12，引導學生體會：明確問題所研究的全體對象的范圍往往是基本的，對于這個范圍中的一部分元素構成的一個子集，很多時候我們需要表達不在這個子集但在研究范圍內的元素構成的集合，這時我們就需要用到全集和補集的運算。

下面重點說明問題10和問題14。對于問題10，一方面從乘法原理的角度可以得到：含有n個元素的集合A的子集有2n個，一方面從分類討論的角度，有C0n+C1n+…Cnn+=2n個，另一方面，可以從遞推思想出發，設含有n個元素的集合A的子集有An個，在集合A中增加一個元素m得到集合B，設集合B的子集為An+1，不難得到An+1=2An，A1=2，所以An=2n，這里又體現了數列的遞推思想。

對于問題14，可以從以下幾個方面進行探討：其一，為了表示研究對象構成的集合，我們需要抽象出研究對象的共性特征，比如全體奇數集，我們用x=2K?1（k∈Z）的形式來表示任意一個奇數，這與用2kπ<x<2kπ+（k∈Z）的形式表示第一象限角是一致的；其二，我們按照“概念（內涵）—性質—關系（結構）—運算—運算性質—應用”的路徑研究集合，這實際上也是很多其他數學對象的研究路徑；其三，學習集合，可以提高分類與討論方法的能力；其四，集合語言在函數、三角函數、向量空間、樣本空間等內容都有廣泛的應用，可以舉很多的例子。

③師生共同作出質量較高的知識結構圖，布置課堂練習和作業。

第2課時

1.課時目標：梳理集合內容的常見問題，聚焦集合間的關系和基本運算，會解常見的不等式。

2.教學設計建議

（1）課前自學。梳理集合的常見問題，選擇經典的題目作為課堂講解的例題要求學生在課前思考，出于篇幅考慮不再列舉。

（2）課堂教學建議。①對課前自學的每一個例題要設計1～2個有梯度的變式題目，形成一個題組，例題、變式題要有難度梯度，在課堂講解完例題后由學生獨立思考完成變式題目。下面是一個題組的案例：

[例題]滿足{1}A∈{1，2，3}的集合A的個數是（ ）。

A.2? ? ? B.3? ? ? C.4? ? ? D.8

②教師要通過積極地巡視、提問診斷學生對例題的知識、方法、技能所掌握的情況。

（3）目標檢測。通過課后作業有針對性地為學生提供自我診斷的機會，鞏固學生所學知識。

第3課時

1.課時目標：根據上一課時目標檢測存在的問題進行補償學習，在此基礎上通過進一步的練習訓練提高學生的數學閱讀和解題能力。

2.教學建議：根據學情進行教學補償，在此基礎上提供一些有一定難度、有助于培養學生創新思維的練習，下面給出幾個題目樣例。

[練習1]（多選題，考查對集合語言的理解）下面表示同一個集合的是（? ? ）。

A．P={（2，5）}，Q={（5，2）}

B．P={2，5}，Q={5，2}

C．P={x|x=2m+1，m∈Z}，Q={x|x=2m?1，m∈Z}

D．P={x|x=6m，m∈Z}，Q={x|x=2m且x=3n，

m∈Z，n∈Z}

高考數學試題有意加強基礎性，突出對能夠普適性解決學科問題的本原性方法考查，深化創新性考查，通過考查內容、考查要求與情境設計的有機融合減少“死記硬背”和“機械刷題”的收益作用。利用選修課程的教學機會以單元教學的方式對高中數學內容進行重構，對提高學生數學解題能力、發展學生數學核心素養有更好的效果。

（基金項目：本文系海南省教育科學規劃課題“單元教學指導下高三數學校本課程開發與實踐”階段性研究成果，課題編號：QIY20221034）