指向“挑戰性”的高中數學問題設計計

劉鐵智

【摘 要】當前數學課堂提問普遍存在過度誘導的弊端，消除這些弊端的方法就是讓課堂提問充滿“挑戰性”，通過賦予問題真實的情境、結構化的特征、更多的開放性使學生已有的認知、傳統的學習方式、數學思維的廣度與深度得到充分的發展。

【關鍵詞】挑戰性；誘導性；問題設計；深度學習

問題既是思維的起點，也是創造的前提，一切發明創造都是從問題開始的［1］，數學教學就是以不斷地提出問題并解決問題的方式來實現知識建構的過程。好的問題是打開學生思維的鑰匙、驅動學習進程的動力之源，正所謂“問得好即教得好”“善教者必善問”。但在實際教學中，由于教師對數學問題的教學功能認識不足，在問題設計上只強調“誘導性”，而忽視“挑戰性”，使得課堂提問無法取得預期的成效。下面筆者結合課堂教學實踐來談談自己的一些看法。

一、過度誘導引發的教學弊端

心理學家梅耶認為，當問題解決者想讓某種情境從一種狀態轉變為另一種不同的狀態，而且問題解決者不知道如何掃除兩種狀態之間的障礙時，就產生了問題；而解決問題的有效辦法就是通過課堂提問來啟發和引導學生的思維，使學生調動自身的知識儲備和思維來進行問題的分析和探究。由此可見，“誘導性”是課堂提問中所要遵循的一個基本原則。但是課堂提問不能僅關注“誘導性”，也不能把“誘導性”作為問題設計的唯一準則，否則會引發一系列教學弊端。

（一）過度誘導削弱思考能力的形成

問題是一種特殊的情境，是個體面臨一個不易達到的目標和困難課題時的情境，必須運用相關的理論或方法，在教師的引導與啟迪下，師生之間、學生之間通過思想交流、思維碰撞才能解決問題。因此，問題的一個重要功能就是引發學生的獨立思考，而過度誘導會讓學生失去思考的能力。

例如，在“導數的概念及其幾何意義”一課中，為了讓學生發現“導數的值就是切線的斜率”這一結論，教師設計了如下問題。

問題1-1 平均變化率[ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx]的幾何意義是什么？

學生都知道平均變化率表示的是割線P0P的斜率。

教師首先讓學生在幾何畫板上動手操作，即拖動點P（[x0+Δx]，[f（x0+Δx）]）沿著曲線f（x）趨近于點P0（[x0]，[f（x0）]），接著又提出了第二個問題。

問題1-2 割線P0P與切線是否有某種內在聯系？

教師在給出切線的一般定義后，又提出了下列問題。

問題1-3 在初中時，我們怎樣定義圓的切線？

在學生回答問題后，教師接著追問。

問題1-4 圓的切線定義適合于任意曲線嗎？現在所學的切線的定義符合我們在初中學的圓的切線定義嗎？

教師首先讓學生畫圖舉出反例，說明圓的切線定義不再適用任意曲線；接著再借助幾何畫板，讓學生驗證現在的切線定義對任意曲線都適用。

以上教學設計，教師的意圖是以求導數的兩個步驟為依據，從平均變化率的幾何意義入手，探索導數的幾何意義，抓住[Δx→]0的聯系，在圖形上從割線入手來研究問題。教師讓學生在獲得直觀感知的基礎上，通過合作探索，親身經歷一般曲線切線的發生、發展過程，上升到理性思維，形成切線定義，體會逼近的思想。

教師的設計意圖沒錯，但是這樣的課堂提問方式能否起到預期的效果？我們發現，無論是切線的定義還是對切線定義的驗證，學生都是在教師的“指令”下完成的，例如，教師要求學生“把點P拖動到點P0”或要求學生類比圓的切線或直接告訴學生切線的定義，至于為什么這樣做？這樣做有何目的？學生根本不知道，教師也沒有給學生思考的機會，學生只是按照教師的指令行事，糊里糊涂地學。

（二）過度誘導影響學習經驗的積累

傳統教學是以知識點為單位逐個實施教學，并以獲得知識為最終目標的一種教學方式。因此，傳統教學中提出的問題針對的就是教材中的特定內容，答案也是唯一的或者是教師預設好的，目的就是引導學生在規定的時間內順利發現與快速掌握有用的結論。這種“急于求成”的問題設計理念容易導致課堂提問出現過度誘導，學生根本不用動腦筋也能解決問題。

例如，在“基本不等式”一課中，教師為了能夠快速完成基本不等式的幾何證明，設計了下面兩個問題。

問題2-1 如圖1，AB是圓O的直徑，過AB上一點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD，比較OD，CD長度的大小關系。

問題2-2 設AC=a，BC=b，你能利用找到的OD，CD長度的大小關系解釋基本不等式嗎？

如果教師已經明確告訴學生用基本不等式[a+b2≥ab]進行解釋，這兩個問題就無須思考，也無法達到讓學生掌握幾何證明的目的。在后續的教學中，當教師讓學生從趙爽弦圖中提取基本不等式時，學生也許根本無從下手，因為在前面兩個問題的解決過程中，學生沒有獲得從幾何圖形中提取不等關系的經驗。因此，過度誘導反而影響學生學習經驗的積累。

（三）過度誘導讓學生“不會學”

雖然問題的設計是在既定的目標下，層層深入，由此及彼，從而驅動學生思考和實踐，但過度誘導容易讓學生對教師產生過度依賴。當學生習慣于“教師問，學生答”的學習方式，學生思維就容易被禁錮在教師的問題中，從而逐步喪失提出問題的意識與能力，無法從“學會”走向“會學”。

例如，在“函數的零點與方程的解”這節課中，有的教師就是按照以下設計問題來引導學生發現“函數零點存在定理”。

問題3-1 觀察二次函數f（x）=x2-2x-3的圖象，并計算其零點所在的區間［2，4］和［-2，0］上端點處的函數值，并說出你有什么發現。

在區間［2，4］上，零點左側的圖象在x軸下方，零點右側的圖象在x軸上方。相應的函數f（x）的取值在零點左側小于0，在零點右側大于0，即函數在端點x=2和x=4的取值異號，f（2）f（4）＜0，在區間［-2，0］亦然。

問題3-2 對于一般的函數y=f（x），在其零點所在的區間［a，b］上，f（a）f（b）是否也有上面的結論？

問題3-3 當f（a）f（b）＜0時，函數y=f（x）在區間（a，b）上的零點個數情況如何？

問題3-4 當f（a）f（b）＞0時，函數y=f（x）在區間（a，b）上的零點個數情況如何？

問題3-5 根據以上結論，函數y=f（x）滿足什么條件時，在區間（a，b）上就一定有零點？

函數y=f（x）滿足以下兩個條件時，在區間（a，b）內一定有零點：（1）函數y=f（x）在區間［a，b］上的圖象是一條連續不斷的曲線；（2）區間端點處的函數值異號，即f（a）f（b）＜0。這個結論我們稱為函數零點存在定理。

上述問題囊括了構成“函數零點存在定理”的三個關鍵點：連續曲線、f（a）f（b）＜0、有零點。換句話說，這些問題是為這三個關鍵點量身打造的，所起到的誘導效果應該是比較好的，但能否把這些問題遷移運用到其他類似定理的建構當中呢？或者說，學生經歷了“函數零點存在定理”的學習，能否獲得運用函數視角來研究方程問題的經驗？答案顯然是否定的。

二、“挑戰性”的問題要“挑戰”什么

神經科學研究表明，“挑戰性”的問題能夠加快大腦中“網狀激活系統”的運行，讓大腦分泌更多的多巴胺，讓學生持續保持高度興奮的學習狀態［2］。在這種狀態下，不僅問題解決的進程得到加速，而且還會有更多的奇思妙想從學生頭腦中涌現出來。那么“挑戰性”的問題到底要“挑戰”什么？

（一）挑戰學生已有的認知

皮亞杰的“平衡化”觀點認為，認知發展是平衡不斷建構的過程，智力正是在有機體作用于環境（同化作用）和環境作用于有機體（順應作用）兩種機能作用下，經過不平衡—平衡—不平衡的不斷循環往復，從低到高不斷得以發展和豐富［3］。在問題設計上，教師要提供與已有經驗相矛盾的內容，挑戰學生已有的認知，從而引起認知沖突，打破原有的認知平衡狀態，促使其向新的平衡狀態發展。

（二）挑戰傳統的學習方式

以聽講、記憶、模仿、練習為主要形式的學習方式，雖然能夠讓學生在較短的時間里獲得知識，但從長期來看，這種單一的單向傳授、被動接受、機械訓練的學習行為容易削弱學生學習的主體性與能動性。因此，教師應通過設計“挑戰性”的問題，讓問題的解決變得不那么輕而易舉。例如，獨立思考、自主探究、動手實踐、合作交流等，都讓學生在數學學習中由“被動”變“主動”，由簡單“學會”到“會學”。

（三）挑戰思維的廣度與深度

思維廣度指的是橫向思考的能力，思維深度則體現在集中思考的方向；思維廣度意味著學生要能夠從多角度獨立地思考與解決問題，思維深度則更注重通過事物的現象能夠挖掘出其內在的本質。“挑戰性”的數學問題，不僅問題域寬廣，而且站在數學的重點、難點、疑點的制高點，直面思維的廣度與深度，需要學生通過對新知與已有心理圖式、認知框架的整合來實現問題的解決，最終達到發展高階思維能力的目標。

三、如何賦予問題更具“挑戰性”

美國心理學家蓋澤爾斯把數學問題大致分為三類：顯現型問題、發現型問題、創造型問題。顯現型問題的答案、求解思路均是現成的，學生只需照章辦事，無須想象與創造；發現型問題雖然有已知答案，但問題是由學生提出或發現的，對學生個體而言，是一種探索、獨立的發現；創造型問題是人們從未提出過的，屬原創性問題［4］。顯然，顯現型問題不具備“挑戰性”，要使問題的設計體現“挑戰性”，需要在發現型問題與創造型問題上做文章。

（一）賦予問題真實的情境

賦予問題真實的情境，就是要讓學生體會數學與真實世界的聯系，數學源于真實世界又應用于真實世界。真實情境不僅有助于激發學生的求知欲，而且能促使學生用數學的眼光觀察世界、用數學的思維理解世界、用數學的語言表達世界；讓學生經歷從真實世界中抽象出數量關系和空間形式的過程，挑戰的是學生的創新意識與質疑精神。

例如，在“函數的零點與方程的解”這節課中，教師可以這樣改進問題的設計。

情境：如圖2所示，觀察這兩幅圖，回答以下問題。

（1）小馬是否過了河，請說明理由。

（2）如果小馬過了河，小馬的行走路線與河流呈現什么關系？（行走路線穿過河流）

（3）如果把河流看成x軸，如何用代數式表示小馬行走的路線“穿過”河流？

“小馬過河”與函數零點存在定理的意象相通，通過類比過河的條件，建立數學與生活之間的聯系，為數學定理的抽象奠定認知基礎，明確探究的方向。對學生而言，要把“穿過”這個幾何現象用代數式進行刻畫非常具有“挑戰性”。首先，教師可以引導學生思考“穿過前”與“穿過后”函數值的變化趨勢，從而發現f（a）f（b）＜0這一結論；接著，教師再組織學生對結論從充分性與必要性的角度進行質疑與辨析，從而獲得完整的定理表述。

（二）賦予問題結構化的特征

在對數學知識整體把握的基礎上，從學生的認知水平出發，以科學性和梯度性為原則，將孤立、分散的小問題整合成具有邏輯關聯和綜合性、開放性的核心問題，讓學生圍繞核心問題進行深度思考和交流，感悟數學的本質與聯系。核心問題結構化著力于建構一個系統結構，引領學生挑戰知識的整體關聯建構，形成系統方法和思維。

例如，在“導數的概念及其幾何意義”一課中，核心問題就是“如何認識切線”，圍繞這個核心問題可以設計以下問題。

（1）當[Δx→]0時，[ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx]的幾何意義是什么？請用你的方式進行說明。（既可以從數與形兩個角度進行說明，也可以借助信息技術）

（2）請說明割線與切線之間的聯系。

（3）與函數圖象只有一個交點的直線是切線嗎？反過來對不對？

（4）能否給切線重新下個定義？

以上教學設計，通過結構化的核心問題作用于學生主體，按照“切線”內部各要素之間的邏輯關系進行連接、組合，使各部分之間的聯系條理化、清晰化，從而實現對切線概念的整體建構。

（三）賦予問題更多的開放性

涂榮豹教授認為，啟發探究最重要的就是在教學中盡可能多采用一些元認知問題，即通過提高問題的開放性來激發學生探究的積極性。數學問題的開放性是相對于傳統的“條件完備、結論確定”的封閉性而言的，主要體現在條件開放、結論開放、解決問題的策略開放等方面。問題具備一定的開放性和自由度，能夠給學生的獨立思考和主動探究留下更多的時間與空間，提高學生用自己的數學觀念解決問題的能力。例如，在探索“基本不等式”的幾何證明中，可以設計以下開放性問題：在弦圖中，利用面積關系發現重要不等式[a2+b22≥ab]，那么你能否從線段長度的視角構造幾何圖形來解釋基本不等式[a+b2≥ab]？

這個問題的結論具有開放性，構造圖形的思想和途徑可能因人而異，靈活多樣。但正是因為這樣，才有利于教師捕捉沖突點、引發思維碰撞，有助于學生建構知識，使每個學生在原有基礎上獲得相應的發展。

當然，“挑戰性”并不等同于“高難度”，不能認為“高難度”的問題更具有“挑戰性”。“挑戰性”問題是那些真實鮮活的、能激發學生高階思維且能促進知識整合與靈活遷移的問題，它常常以“為什么”“如何”“從哪些方面”等詞語作為開頭，意在激發學生的探究欲望，并從不同角度對問題進行持續不斷的思考。設計富有“挑戰性”的問題，不僅能激發學生進一步學習的動機，而且還能為挑戰性學習的開展奠定基礎。

參考文獻：

［1］朱德全.基于問題解決的處方教學設計［J］.高等教育研究，2006（5）：83-88.

［2］劉徽，徐玲玲.大概念和大概念教學［J］.上海教育，2020（11）：28-33.

［3］陳國平.皮亞杰的“平衡化”觀點及對初中數學教學的啟示［J］.中學數學研究，2011（3）：1-4.

［4］王光生.問題設計與數學教學［J］.數學教育學報，2006（2）：29-31.

（責任編輯：陸順演）