聚焦深度學習 助力素養發展

李佳

［摘? 要］ 數學核心素養的本質是用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界. 生長型專題微課能幫助學生完善知識網絡，能促進學生理解知識，能提升學生運用知識的能力，所以生長型專題微課是學生實現深度學習的有效載體，對學生核心素養的形成與發展起著至關重要的作用.

［關鍵詞］ 深度學習；經驗遷移；培育素養

初中數學深度學習，是指在教師的引領下，學生圍繞具有挑戰性的數學學習主題，全身心地參與、體驗成功、獲得發展的有意義的數學學習過程. 自2018年9月起，杭州市便開展了學生自主制作微課活動，旨在借微課制作之道，落深度學習之實. 教師指導學生制作專題微課，深化和落實了“學為中心”“以生為本”的教學理念. 自主學習、合作學習、深度學習的學習模式豐富了學生的學習方式；技術賦能，能幫助學生查漏補缺，能幫助教師精準助學，能優化教師的教學方式；培養學生高學習力、高理解力、高表達力、高創造力等核心素養，則讓學生的內隱知識外顯化，從而實現了思維的進階. 基于深度學習的生長型專題復習，以發展學生的核心素養為導向，以聚焦核心知識為起點，以探究核心問題為載體，能達到提升學生思維層級的目的.

理解學生掌握學情，把握學習? ? 廣度

折疊是日常生活中常見的現象，是數學中的常見素材，其呈現背景可以是三角形、四邊形、圓等多種幾何圖形，折疊的本質是圖形變換中的軸對稱. 學生解決圖形的折疊問題時，常常出現如下情況：①審題時，無法順利地畫出圖形；②解題時，沒有清晰的解題思路；③識圖時，無法構造出基本圖形. 改變這種現狀的關鍵在于要多進行實踐操作，積累數學活動經驗，并遷移應用活動經驗，以達到“學一法、會一類、通一片”的效果，最終將抽象的數學思想方法內化.

理解數學精準教學，凸顯學習? ? 深度

針對以上學情，教師可圍繞下面幾個問題進行“矩形的折疊”教學：①折疊后折痕兩側的圖形之間有怎樣的關系？有哪些重要的結論？②能否運用這些結論，將問題轉化成基本模型？③能否利用模型，通過方程、相似、銳角三角函數等知識解決問題？

基于上述對教學內容和教學目標的理解，教師教學時可確定如下教學環節.

1. 環節一：呈現基本問題，提煉核心思想

（PPT呈現）一張矩形紙片ABCD如圖1所示，已知AB=3，BC=2，E為線段AB上的一個動點，把△BCE沿直線CE折疊后得到△B′CE.

問題：以圖1為背景，請同學們聯想一下，隨著點E的運動，點B′會落到哪些特殊的位置. 請同學們先按下暫停鍵，畫出相應的圖形.

學生獨立思考完后按下了播放鍵，PPT陸續呈現了圖2、圖3、圖4，其中圖2中的點B′落在了DC邊上，圖3中的點B′落在了對角線BD上，圖4中的點B′落在了對角線AC上.

追問1：當點B′落在DC邊上時，如圖2所示，在畫圖的過程中，如何確定點E和點B′的位置？并求出此時AE的長.

給出“追問1”后，學生按下暫停鍵，思考完成后學生再按播放鍵. 此時PPT呈現了如下四種畫圖方法：①利用折疊時對應角相等、折痕為角平分線來確定點E和點B′的位置. 可以先畫∠BCD的平分線來確定點E的位置，即∠BCD的平分線與AB的交點即為點E，接著畫EB′⊥DC交DC于點B′，從而確定點B′的位置. ②利用折疊時對應邊相等、對應角相等來確定點E和點B′的位置. 可以先畫∠BCD的平分線來確定點E的位置，即∠BCD的平分線與AB的交點即為點E. 又因為CB=CB′，于是在DC邊上截取CB′=CB來確定點B′的位置. ③利用折疊時對應邊相等和對應角相等可證得四邊形BCB′E是正方形，于是可在DC邊上截取CB′=CB來確定點B′的位置，在AB上截取BE=BC來確定點E的位置. ④利用折疊時對應邊相等、折痕垂直平分兩對稱點的連線段來確定點E和點B′的位置. 先在DC邊上截取CB′=CB來確定點B′的位置，接著作線段BB′的中垂線交AB于點E，以確定點E的位置.

（容易求得圖2中的AE=3-2=1）

評析？搖 教師設計折疊后讓點B′落到特殊位置上這一問題，是為了讓學生感受點E在運動過程中的一些特殊位置，感悟從一般到特殊的思想. 在“追問1”之下，學生給出了4種畫圖的方法，這能讓學生體會到精準畫圖的過程中需要用到折疊的性質，而折疊的本質是軸對稱，對稱軸為對應點連線段的中垂線或對應線段所夾角的平分線所在的直線. 上述過程能培養學生的分析能力、操作能力，能為后續問題的解決做鋪墊.

追問2：同學們會用尺規作圖法畫出圖3、圖4嗎？并求出相應圖形中AE的長.

有了畫圖2的活動經驗，學生經過獨立思考，獲得了如下結論：①通法，折疊后的對應邊相等（CB′=CB），因此以點C為圓心、CB的長為半徑畫圓，與對角線的交點即為點B′. 又由對稱軸垂直平分兩個對稱點的連線段（CE垂直平分BB′），可確定點E的位置，即作BB′的中垂線與邊AB的交點即為點E. ②特法，鑒于圖3特有的條件，可作過點C且垂直于BD的直線，所作直線與AB邊的交點即為點E. 鑒于圖4特有的條件，可作∠BCA的平分線，所作平分線與AB的交點即為點E. 圖3和圖4中點B′的畫法同①.

評析？搖 當點B′恰好落在邊CD上時，要求AE的長，首先要畫出相應的圖形. 畫圖時，先以點F為圓心、FB的長為半徑畫弧與邊DC相交于點B′，接著作BB′的中垂線交邊AB于點E，然后過點B′作B′E的垂線，與以點F為圓心、CF的長為半徑的圓相交于點C′，最后順次連接FC′，C′B′，B′E，EF，如圖11所示. 求點E從點A運動到點B的過程中B′C′掃過的面積，本質是求B，C兩點的對應點B′，C′在折疊過程中的運動路徑. 由“追問3”的活動經驗可知，兩個點的運動軌跡都是弧，只要分別畫出以直線AF，BF為對稱軸的對稱點即可，如圖12所示.

從折疊三角形到折疊四邊形，通過對問題的探究，學生感悟到了：不變的是，畫圖時，用對稱抓住不動的點，即圓心的位置；變化的是，當點E運動時，“問題”是一個對應點的變化，而“變式4”出現了兩個對應點的變化，因此圖12出現了兩條弧. 在圖11的求解過程中，可結合矩形的性質和折疊的性質探究折疊后新生成的“雙平等腰模型”，進一步建立模型觀念.

3. 環節三：自主梳理歸納，構建思維模型

教師教學時可引導學生以圖形折疊為載體，梳理解決問題的方法、策略、經驗，并以思維導圖的形式進行小結.

理解教學感悟反思，聚焦學習? ? 亮度

1. 關注實踐操作，積累活動經驗

學習是經歷各種各樣的活動，掌握基礎知識、基本技能，感悟思想的過程. 在專題復習課中，對于綜合性較強的題目，教師應針對學生的疑點、難點進行有效剖析，設計有層次的關聯問題來激發學生對相關知識的回顧，并讓學生通過自身的實踐操作來達到對知識的有效建構，從而積累活動經驗. 本文通過設計開放型含有動點的矩形折疊問題，讓學生參與到“探、畫、解、思”的過程中，感知折疊問題畫圖、計算的依據均來源于對折疊本質（軸對稱變換）的理解與應用.

2. 設置問題驅動，促進深度學習

著名教育家陶行知先生認為，“創造始于問題，有了問題才會思考，有了思考，才有解決問題的方法，才有找到獨立思路的可能”. “環節一”設計了一個開放型問題，讓學生在問題的引領下學會獨立思考、主動探究，在探究中嘗試尋求解決問題的具體策略，總結出折疊問題中畫圖和計算的通性通法與數學思想. “環節二”引出了基于“環節一”的4道變式題，教師讓學生在經歷了矩形背景下三角形的折疊及折疊中隱含的數學模型后，繼續探究矩形背景下折疊后點落在矩形內部、兩次折疊問題，以及四邊形的折疊，再一次激發了學生的探究欲望，讓學生在已有的經驗指導下不斷深入探究. 除了矩形背景下的折疊有“不變”的規律外，平行四邊形的折疊和圓的折疊同樣有這樣的“不變”性.

如圖13所示，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F兩點分別在邊AB，CD上，將四邊形BCFE沿EF折疊后得到四邊形GHFE. 若點G恰好為△ADE的重心，則的值為________.

如圖15所示，以半圓O的一條弦AB（非直徑）為對稱軸翻折后與直徑BC交于點D. 我們不難發現，利用圓的性質和折疊的性質可以生成等腰三角形ACD. 若兩次折疊，即在圖15的基礎上，再翻折交AB于點E，如圖16所示，不難得到等腰三角形ACD，等腰三角形ADE，等腰三角形DEB，且AC=AD=DE=EB.

3. 善用一題多變，感悟本質思想

研究的對象在變，但研究的套路不變，思想方法不變，這就是數學基本思想、基本活動經驗的力量. “環節一”設計了一題多問，“環節二”設計了一題多變，教師通過問題，引導學生在“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中發現“變”的規律. 如“環節一”通過設計特殊位置上的折疊情形，讓學生在畫圖中感悟到“變”的是對應點的位置，“不變”的是畫圖的方法與依據；“環節二”則通過設計一題多變，讓學生在解決問題的過程中總結出折疊問題“變”的規律，即“雙平等腰模型”，通過經驗感悟，幫助學生解決折疊綜合問題.

4. 注重方法內化，培育核心素養

“常規課育樹，復習課育林.”生長型專題復習是圍繞某個核心知識點（重點、難點、疑點）或某個問題（基本問題、基本圖形、基本思想、基本方法），運用變式、拓展、延伸等方法產生知識、方法、思維、經驗生長鏈，形成核心知識間的結構關系，揭示解決問題的規律和方法，領悟數學思想方法，積累數學活動經驗，從而提升數學思維品質.

本文開展“矩形折疊”生長型專題復習，找準了生長源，形成了生長鏈，不僅促進了學生“四基”的落實和發展，還培育了他們的核心素養. 學生在微課制作中體驗制作過程并多渠道分享學習，屬于個性化學習的“做中學”，這對提高他們的數學學科知識、動手實踐能力、信息技術應用能力、組織策劃能力等大有裨益，能助力他們核心素養更好地落地生根.