APOS理論指導下的初中數學概念課教學

王悅 馬旭

［摘? 要］ 數學概念是初中數學教學的重要內容，如何幫助學生正確理解數學概念是提高教學質量的重要環節之一. 目前，概念教學側重學生對數學概念的應用，弱化了學生推導數學概念的過程，忽略了學生理解數學概念的本質，切斷了學生延伸數學概念，阻礙了學生學習數學概念背后的數學思想和方法. 針對以上概念教學的弊端，文章基于APOS理論，研究如何有效幫助學生領悟數學思想，并提出了優化初中數學概念教學的策略.

［關鍵詞］ APOS理論；初中數學；概念教學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出：數學教學應強調對基本概念和基本思想的理解和掌握，核心概念和基本思想教學要貫穿數學教學的始終［1］. 如何幫助學生正確理解并靈活運用數學概念仍是數學教學面臨的挑戰. 當前數學概念教學“輕過程+重應用+去思維”的現象屢見不鮮，這嚴重阻礙了學生對數學概念本質的理解. 因此，從APOS理論視角審視當前的初中數學概念課教學對提升學生的數學核心素養及改進教師的教學方法具有重要的現實意義.

APOS理論概述

APOS是20世紀80年代美國學者杜賓斯基提出的一種數學教學理論，主要被運用在數學概念的教學中，分為操作、過程、對象和圖式四個階段［2］. 操作階段（Action）：通過從現實生活中抽象出數學模型貫徹數學現實思想，幫助學生建立便于加工的數學對象；過程階段（Process）：以學生已有經驗為基礎，通過一定的抽象得出數學概念及性質；對象階段（Object）：升華整個數學活動的過程，將抽象化的數學概念利用符號使其形式化，便于學生進一步分析和使用概念；圖式階段（Scheme）：引導學生基于對前面階段的理解，從特殊推導一般，對數學概念的基本性質產生相對清晰的認識，并進行進一步的理解. APOS理論強調通過操作、探究生成數學概念，并結合已有的知識經驗用積極的思維活動來獲得數學概念，通過對概念進行準確的定義且形成心理圖式，構建起自身的數學知識結構.

剖析當前初中數學概念課存在? ? 的問題

1. 數學概念的本質理解容易被忽略

符號化是數學概念的重要特征. 因此，數學概念教學的首要目標是讓學生掌握數學概念的符號形式. 學生只有深刻掌握數學概念的符號形式，才能更加深入地學習數學概念的邏輯形式和數學概念蘊含的思想方法［3］. 然而，在現實教學中，很多教師，特別是新教師，容易忽略數學概念符號化的深層理解，不太注重數學概念符號的分析與比較，教學時僅僅停留于讓學生對數學概念進行機械記憶和背誦，沒有引導學生在了解概念由來的基礎上對概念進行理解，更別說引導學生領悟概念蘊含的數學思想方法了，這就造成了學生對數學概念的機械理解.

2. 數學概念的前后聯系容易被切斷

在概念教學中，如果教師設計的教學問題不連貫，會導致學生無法將新的數學概念與已有的數學概念串聯起來. 原因是教師在上課前沒有了解學生的數學學習心理和已有的數學知識經驗，加上數學是一門知識體系結構螺旋上升的學科，需要不斷地同化新知識與舊知識，假如學生無法聯系新、舊數學概念，自然無法順暢理解新概念.

3. 數學概念的展示方式過于抽象

初中階段的學生以形象思維為主，而數學概念多是抽象、不具體的，學生在日常生活中難以接觸到，這就導致學生難以理解抽象的數學概念［4］. 比如，對于函數概念的教學，教師如果只是在概念新授時直接點出自變量和因變量以及它們之間的關系，那么學生對函數概念的理解就僅僅是機械的記憶，并不能正確地理解函數的概念，更別說靈活地運用函數的概念了. 很多教師在設計概念課教學時往往過多地采用“開門見山”的教學方式，沒有依據學情創設符合該學段學生心理特點的教學情境，導致學生難以在已有的知識經驗上找到新概念的生長點，本就抽象的數學概念就變得更加捉摸不透了，這不僅會影響學生的學習興趣，還會導致學生對數學概念的學習產生排斥心理.

4. 數學概念的形成過程被弱化

數學概念的形成是掌握數學概念的重要階段，是學生思維從特殊到一般的過程，是概念越來越趨向一般化的思維活動. 然而，數學概念的推導過程往往被教師淡化，學生對于某一數學概念的獲得多數是通過大量的習題演算得到的，這就導致數學概念教學正逐步讓位于習題式教學，也就是所謂的“考點或概念知識習題化”. 學生往往只知道這個數學概念是什么，能用在哪種題目上，卻不知道這個概念的定義過程，更沒有在自主探究中掌握推導此概念所需要的數學思想和方法，甚至在需要運用到多種數學概念的綜合題中不知從何處下手，也沒有相對應的數學方法可加以運用. 這與數學課程標準中要求的“學生能通過推導數學概念從而掌握數學思想方法”的本意背道而馳. 可見，當前的概念教學忽視了概念的形成過程，導致學生還未完全理解和掌握概念便要學會運用概念去求解未知的問題.

5. 數學概念的例題設計被輕視

例題鞏固是學生學好新知識或數學概念的重要途徑. 適量的例題講解可以促進學生對數學概念的理解和掌握. 然而在實際教學中，許多教師僅在課堂上講解數學概念的定義，沒有圍繞該概念布置相應的基礎性練習，導致學生沒有得到運用概念的機會，對概念的認知也沒有起到鞏固的效果. 同時，由于沒有通過相對應的課堂測試等活動了解學生對本堂課的接受和理解程度，所以學生對數學概念的理解比較模糊，這會影響學生對后期概念的學習和遷移.

基于APOS理論的初中數學概? ? 念課教學案例

1. 教學內容分析

“直線、射線和線段”是七年級的教學內容，屬于初中幾何的入門知識，是學生日后學習其他幾何知識的重要基礎. 教材是沿著“發現生活中的三種線（圖形語言）——小組探究三種線的定義（文字語言）——用符號表示三種線（符號語言）——三種線的性質”這一主線展開的. 通過本節課的學習，學生要掌握圖形概念學習的思維模式，并遷移到日后幾何知識的學習中，為今后幾何知識的學習提供知識基礎和活動經驗.

2. 學情分析

在小學階段，學生對“直線、射線和線段”有一定的感性認識，初中階段的主要任務是將這種認識提升到理性層面. “如何用數學符號對直線、射線和線段進行表示”是本課學習的重點. 由于學生只學過用一個大寫字母表示點，所以教師要在學生已有知識儲備的基礎上進行擴展，幫助學生實現教學目標. 因此，本節課要求學生能獨立完成圖形語言、文字語言和符號語言這三種幾何語言之間的相互轉換，并掌握“兩點確定一條直線”和“兩點之間，線段最短”這兩個基本事實，體驗數學在生活中的廣泛應用.

3. 教學流程

（1）操作階段

教師展示“央視激光舞、繃緊的琴弦、孫悟空的金箍棒、延伸的公路”等圖片并進行講解，在此基礎上通過問題引發學生思考.

問題1？搖 你們能從中找到我們熟悉的直的線嗎？能說說射線和直線的概念嗎？它們能怎樣表示？射線AB和射線BA是同一條線嗎？直線AB和直線BA呢？

設計意圖 ？搖在實際生活中，學生已經接觸過類似的圖形，有趣的圖片能充分調動學生的已有認知經驗，從而吸引學生快速進入課堂.

（2）過程階段

問題2？搖 要在墻上固定一根木條（如圖1所示），使它不能轉動，要求用盡可能少的釘子. （引導學生思考：最少需要用幾根釘子？一根釘子夠嗎？）

活動？搖 學生先釘一根釘子（如圖2所示），轉動木條，發現木條可以輕易地轉動，這表明過一個點可以畫無數條直線. 學生在木條上再增加一根釘子（如圖3所示），發現木條不能轉動了，說明木條被固定住了，這表明兩點確定一條直線. 通過固定木條的數學建模過程，學生學習了基本事實一“平面內過兩點有且只有一條直線”，即“兩點確定一條直線”.

設計意圖 ？搖通過數學建模的方式，學生理解了基本事實一，從游戲中學生明白了數學來源于生活，并且服務于生活.

接下來教師創設“探討路線怎么走最近”的問題并進行講解，即引導學生掌握基本事實二“兩點之間，線段最短”. 教學時教師可通過問題吸引學生的注意，再利用幾何畫板軟件測量出曲線和線段的長短，從而得出“兩點之間，線段最短”這一結論. 接著教師提出問題（即下面的問題3），引導學生思考.

問題3？搖 距離代表的是什么線？距離的概念是什么？可以怎樣表示？線段AB和線段BA相等嗎？

設計意圖 ？搖引導學生自主探究和動手畫出有長度的線段，并與剛剛所學的直線和射線進行類比，從而得出線段的基本概念和性質，讓學生接受新的概念.

（3）對象階段

問題4？搖 給出射線、直線、線段的定義，并說出它們的主要聯系與區別. 可以從射線、直線、線段的表示方法、端點個數、延伸情況和可否度量等角度來考慮.

設計意圖 ？搖引導學生自己總結射線、直線、線段的定義，明確它們之間的聯系和區別，突出本節課的重點，發展學生的抽象概括能力.

（4）圖式階段

在學生掌握直線、射線、線段表示方法的基礎上，教師先給一定的時間讓學生自主思考，并讓他們通過自己動手畫圖，感受射線、直線、線段的變化過程. 接著教師帶領學生對有遺漏的地方進行補充，最后對整節課進行歸納總結. 特別地，教師帶領學生回顧本節課所學的知識，明確三線之間的區別和聯系，有助于學生進一步理解直線、射線、線段之間的聯系和區別.

設計意圖 ？搖引導學生在比較中及時復習和鞏固新學到的知識，并且明確直線、射線和線段之間的區別，從而提高學生的辨析能力.

基于APOS理論的初中數學概? ? 念課教學策略

1. 在教學設計中深化對概念本質的理解

傳統的數學概念課教學往往更注重機械記憶、重復訓練，APOS教學理論要求教師要引導學生從主動收集和處理信息中獲得概念，并提升發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力. 因此，教學時教師首先要結合學情和課程標準提出教學目標，清晰明了地告知學生哪些知識是需要被掌握的，同時在學生自主探究、發現數學概念的學習過程中強化學生對概念所涉及的數學思想與方法的掌握. 教師在設計教案時應注意體現數學概念的本質，應著重鉆研數學課程標準，并結合學生的學習情況和心理特點，將課程標準中的要求適當地落實到課堂教學中.

2. 在教學引入中構建數學概念的前后聯系

APOS理論表明，教學要根據學生的已有知識經驗，通過自主探究等一系列活動完成對新的知識經驗的同化［5］. 因此，教師教學時要加強數學概念與學生生活的聯系，以學生已有經驗為教學出發點，關注學生的學習興趣，了解學生當前階段的認知結構與學習數學概念的心理狀態，知曉不同階段的學生處于不同的認知發展階段，從而設計出既具有引導性又符合學生認知發展階段的問題，指導學生在操作探究中對概念之間的關系有一個完整的結構體系，能在新舊概念之間建立起有意義的聯系，能自覺地從舊概念引申到對新概念的理解.

3. 在教學展示中優化對數學概念的抽象理解

數學概念往往抽象難懂，與學生生活相距甚遠. 初中生習慣用形象思維來理解數學，所以對于學生難以理解的數學概念，教師要充分利用信息技術，將晦澀難懂的數學概念轉化為易于學生接受的數學知識，從而激發學生的學習興趣. 此外，教師要改變傳統的師生互動模式，將課堂還給學生，引導學生在互動中體會豐富多彩的數學課堂，從而加深對數學概念的深刻理解.

4. 在教學生成中加強對數學概念的變式理解

課程改革指出，教師要勇于將課堂歸還給學生，凸顯學生在教學過程中的主體地位，教師要知道學生是有獨立思想的個體，有不同的知識儲備. 因此，教師不應該把課堂當成制作“好學生”的加工廠，而應將課堂作為學生提升知識與能力、開闊思想與思維的跳板. 所以，在概念課教學中，教師要樂于將課堂還給學生，以學生學習引導者的身份，鼓勵學生在獨立思考和自主探究過程中構建數學概念，感悟數學概念背后的思想和方法，并且能夠將其遷移到往后的數學學習中，達到認識數學概念本質、掌握數學思想、運用數學方法、獲得數學經驗的目的.

5. 在教學練習中升華對數學概念的認識

課堂練習是課堂教學的重要組成部分，是鞏固數學概念的重要手段，是學生掌握心智技能和動作技能的基本途徑. 所以將高質量的例題當作學生的課堂測驗，能較好地體現學生對一堂課的理解程度. 因此，教師進行概念教學時，要精挑細選典型例題并進行精心講解，確保學生能通過解答例題理解概念. 需要說明的是，要避免選擇代表性差的例題，以免誤導學生對概念的理解. 此外，例題數量過少，不利于學生從解答過程中歸納出數學概念的本質特征；例題數量過多，又會因用時過長而影響課堂效率.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］濮安山，史寧中. 從APOS理論看高中生對函數概念的理解［J］. 數學教育學報，2007（02）：48-50.

［3］李昌官. 在數學概念教學中發展數學關鍵能力［J］. 數學通訊，2021（12）：1-3+34.

［4］丁曉軍. 關注學生認知過程，促進數學概念建構——基于APOS學習理論的教學思考［J］. 數學教學通訊，2019（15）：67-68.

［5］蔣網健，周建香. 基于APOS理論視角下初中數學概念課的教學實踐——以蘇科版“合并同類項”一課為例［J］. 上海中學數學，2018（z1）：52-55.