多元表征：促進學生深度學習

張玥

［摘? 要］ 表征是學生數學學習的一種重要方式。在小學數學教學中，教師要引導學生進行操作性表征、圖像性表征、語言性表征和符號性表征。通過表征，讓學生的數學學習有支撐、有輔助、有載體、有依憑。表征越多樣化，學生對數學知識的理解層面就越豐富。表征不僅僅促進學生的數學認知、思維，更有助于學生的數學遷移、應用。多元表征有助于促進學生的深度學習。

［關鍵詞］ 小學數學；深度學習；多元表征

“表征”是一個教育心理學概念，是指“信息在心理活動中的呈現、記載方式”。學生的數學學習需要表征，學生的表征方式是多元的。所謂“多元表征”，是指“用不同的方式對相同的知識進行表征”。多元表征能促進學生對數學知識的深度理解、深度建構。研究表明，學生對數學知識的表征有以下幾種方式；操作性表征、圖像性表征、語言性表征、符號性表征等。不同的學生對相同的數學知識有著不同的表征，不同的表征能促進不同學生的數學學習。如果教師在數學教學中表征單一，就會影響學生的數學學習。多元表征是提升教師教學效能，改善學生學習方式，促進學生深度建構、有意義學習的必然路徑。

一、操作性表征：讓學生的學習有支撐

對于小學生來說，操作是其數學學習的主要方式。教育心理學研究表明，學生的數學思維是從“直觀動作”走向“具體形象”，最后走向“抽象邏輯”的發展過程。操作性表征對于學生數學學習來說有兩個方面的作用：一是能讓抽象的數學知識直觀化、具體化、動作化；二是能讓學生內隱的數學思維直觀化、外顯化、可觸摸化。在小學數學教學中，教師可以引導學生通過擺小棒、小方塊、小圓片等方式來理解數學知識背后的原理。操作性表征，能有效地促進學生的數學學習。

比如“乘法分配律”是“運算律”這一單元最為抽象的一個內容。教學中，教師可以通過聯系學生的生活實際來引導學生認知、建構。但是，這種基于學生生活事理的原型啟發，不能讓學生在頭腦中形成直觀、具體的表象。為此，筆者在教學中引導學生進行操作。首先讓學生自由地拼方塊，然后筆者出示一個現成的方塊組合，比如“3×4”的方塊組合，進而引導學生觀察、比較：你拼的方塊組合能與“3×4”的方塊組合連接在一起嗎？為什么有的同學拼的方塊組合能與“3×4”的方塊組合連接在一起，而有的同學拼的方塊組合不能與“3×4”的方塊組合連接在一起呢？通過這樣的問題，引導學生一邊操作一邊觀察、一邊比較一邊想象、一邊歸納一邊概括，如此學生就會發現“一個方塊組合能與3×4的方塊組合拼接，關鍵就在于這個方塊組合要有一行或者一列的方塊是3個或者是4個”。通過對方塊組合的操作，筆者有效地幫助學生在頭腦中建立方塊組合的表象。這種表象不是靜態的，而是動態的，是一種拼接的過程。對于學生學習乘法分配律的過程而言，這樣的一種動態的操作表象，也可以對應學生應用乘法分配律的過程。通過這樣的直觀操作性表征，學生能充分經歷乘法分配律的知識的誕生過程。通過操作，“乘法分配律”對于學生來說就不是一種外在的學習任務，而是一種內在的知識建構。

在操作性表征過程中，學生需要一邊操作一邊思考，一邊操作一邊記錄，從而對操作進行轉換、轉譯。學生不僅要用“雙手”進行操作，而且要用“頭腦”進行操作。教師只有引導學生將“手上的操作”與“頭腦中的操作”相結合，才能有效地促進學生對數學知識的建構和對數學知識的創造。

二、圖像性表征：讓學生的學習有輔助

在數學學科中，“數與形”是一對姐妹。華羅庚說，“數形結合百般好，隔離分家萬事休”。教學中，教師可以引導學生進行數學學習的圖形表征、圖像表征，通過圖形、圖像表征，豐富學生的數學認知，深化學生的知識表象。“數”可以轉化成“形”，“形”可以轉化成“數”。“數”與“形”之間可以相互轉化、轉譯。通過圖形、圖像表征，學生能對數學知識進行數量、結構、意義和內涵等方面的探索。

比如，教學“乘法分配律”這部分內容時，教師不僅可以以學生的生活事理作為支撐來促進學生的數學理解，也可以以學生的動手操作為支撐來促進學生的數學理解，還可以引導學生建構“等寬的長方形”。在分別計算兩個等寬的長方形的面積以及整個大長方形的面積后，學生通過觀察、比較就能發現，兩個等寬的長方形的面積之和就是大長方形的面積。由此，引導學生通過“兩個等寬的長方形的面積之和以及大長方形的面積”，建立“乘法分配律”的圖形模型、圖像模型。有了這樣的一個數學模型，學生的數學思考、數學探索、數學應用等就有了直觀的、具體的表象支撐。相較于操作性的表象支撐，圖像性的表象支撐是一種靜態的支撐。或者說，操作性的表象支撐是一種過程性的表象支撐，而圖像性的表象支撐是一種結果性的表象支撐。過程性的表象支撐與結果性的表象支撐相輔相成、相得益彰，它們共同助推學生對相關的數學知識的理解。可以這樣說，數學知識具有雙重屬性，即過程屬性和結果屬性，或者說是結構屬性與對象屬性。如果說操作性表象表征的是數學知識的過程屬性（結構屬性），那么，圖像性表象表征的就是數學知識的結果屬性（對象屬性）。在解決數學問題的過程中，學生也能借助直觀的支撐，靈活、有效地應用乘法分配律。

圖像性表征是學生數學學習的有效表征方式，圖像性表征的關鍵在于引導學生將數與形結合起來。在數學教學中，教師要培養學生利用數形結合進行思考、探究的習慣，提升學生的圖像結合思維、探究的品質。圖像性表征，讓學生的數學思維、數學認知變得可感、可觸摸、可視。

三、語言性表征：讓學生的學習有載體

語言是思維的外殼，學生的思維絕大多數都是通過語言來表征的。海德格爾說，“語言是存在的家園”。作為一門學科，數學有著自身的語言系統。數學的語言系統既與其他相關學科以及學生的生活有關聯，又有其自身的自足性。換言之，數學語言表征有著自身的獨特性的功能。語言是學生數學學習的載體、媒介，也是學生數學學習的“拐杖”。語言能表征思維，還能激發學生的思維、深化學生的認知。因此，在數學教學中，教師要引導學生用語言進行表征。

用語言進行表征包括引導學生用口頭性的數學語言表征和用書面性的數學語言表征。口頭語言表征，通常出現在師生、生生的互動之中，而書面語言表征通常出現在數學作業之中。在數學教學中，教師要引導學生進行語言表征，讓學生的語言性表征走向規范、走向科學。尤其是對于數學學科中的一些術語，教師要引導學生深刻地理解和把握。比如教學“乘法分配律”這部分內容時，在引導學生借助生活事理、動手操作、數形結合等進行表征之后，教師還要引導學生用語言對“乘法分配律”進行表征。對于這部分內容，如果沒有教師的有效引導，學生是很難進行規范性的語言表征的。而有了教師的引導，學生就能將“乘法分配律”的分配過程有效地表達出來。比如“兩個數的和與一個數相乘，就相當于將這兩個數分別與一個數相乘，然后再將相乘的積加起來”“幾個數的和與一個數相乘，就相當于將這幾個數分別與一個數相乘，然后再將相乘的積加起來”“幾個數的差與一個數相乘，就相當于將這幾個數分別與一個數相乘，然后再將相乘的積分別相減”，等等。語言性表征能促進學生的數學思維、數學認知走向深刻。用數學語言來表征相關的知識，要注意序列性、循序性、漸進性等。

語言性表征是學生最主要的表征方式。在小學數學教學中，教師要培育學生的語言表征意識，提高學生的語言表征能力，提升學生的語言表征素養。語言可以有效地表征學生的認知、思維過程，也可以讓學生的數學思維變得清晰可見。因此，從某種意義上說，學生學習數學就是在學習一種語言。正如斯托里亞爾所說，“數學學習就是數學語言的學習”。

四、符號性表征：讓學生的學習有依憑

符號性表征是學生數學學習的又一個重要的方式。在小學數學教學中，教師要引導學生將語言、圖形等抽象化、概括化，這就需要將相關的語言、圖形等用符號來表征。數學學科本身就是一個符號系統。用數學的符號來表征，不僅能讓數學知識的表征變得簡約，而且能促進學生的數學理解。在用符號表征數學知識的過程中，學生能有效地理解數學知識與符號之間的對應關系。當然，這種對應關系可能是一一對應，也可能不是一一對應。如“s”這個符號，在行程問題中表示路程，在圖形計算中則表示面積，等等。

符號性表征是學生數學學習表征最終凝聚而成的一種結果性樣態。相較于圖像性表征、語言性表征，符號性表征更加精準和簡約，更能培育學生的抽象性思維。當學生經歷了充分的數學探索之后，教師要積極鼓勵學生用符號進行表征，讓學生積極地猜想、建構、創造數學符號。盡管學生對數學符號的猜想、建構、創造等是稚嫩的，但是積極鼓勵學生的符號創造，有助于培育學生的符號思維，催生學生的符號想象。如在“乘法分配律”的教學中，教師在引導學生充分經歷了操作性表征、圖像性表征以及語言性表征之后，要讓學生學會用符號進行表征。教學中，教師可以引導學生用符號來概括。比如，有的學生用圖像化的符號來表征：（△+☆）×○=△×○+☆×○；有的學生用字母來表征：（a+b）×c=a×c+b×c，等等。在用符號進行表征的過程中，教師要允許學生犯錯，鼓勵學生創新，要激發學生用符號表征數學知識的興趣，讓學生養成用符號表征數學知識的意識、能力和習慣。當學生學會了用符號表征數學知識之后，就能有效地提升自我的數學學習力，發展自我的數學核心素養。同時，用數學符號來進行表征，還能促進學生對符號的理解和應用，使學生的數學思維從直觀動作走向具體形象，再從具體形象走向抽象邏輯。在數學教學中，教師要抓住每一次符號表征的機會，為學生打造符號表征的平臺，賦予學生符號表征的時空和權力，讓學生敢于用符號表征、善于用符號表征、樂于用符號表征。讓符號表征成為學生數學學習的一種常態，成為學生數學學習的一種方式。

符號是多元化的，因此符號表征也是多元化的。但是，作為數學學科約定的符號表征卻具有唯一性。在數學教學中，教師要引導學生感受、體驗到這種符號表征的唯一性、約定俗成性、規定性等。只有引導學生感受、體驗到用符號表征數學知識的合理性、合法性，才能讓學生真正理解數學符號表征的唯一性，領略到數學符號表征的意義和價值。在數學教學中，教師要引導學生掌握確定性的符號表征的方法，讓學生認識到符號與所表征的數學知識之間的映射關系。這樣，符號就不是一種僵化的存在，而是有著鮮活的生命力。符號性表征有助于激活學生的數學思維，促進學生的數學理解、數學遷移和數學應用。

表征是學生數學學習的一種重要方式，也是一種數學教學思想。基于不同的數學知識，或者基于同一知識的不同形態，又或者基于不同學生的認知差異，數學表征應是多元化的。數學表征不僅能激發學生的數學學習興趣，調動學生的數學學習積極性，而且能激發學生的創造性。對于數學學習來說，表征越是多樣化，學生對數學知識的理解也就越豐富。在多元表征中，教師還要引導學生進行轉譯、轉換，讓學生對數學知識的理解更加清晰，對數學知識的把握更加深刻。多元表征有助于促進學生對數學知識的意義建構。