應用反例　建構數學高品質課堂

摘 要：隨著教育改革的不斷深化，傳統的教學模式在一定程度上束縛了學生的思維發展，不利于中學生思維的發展與提升.教師在教學時，以反例的教學形式構建初中數學課堂，可以打破常規的數學學習模式，為初中生數學思維的拓展與進步點亮一盞明燈.本文主要講解了在初中數學教學時以抓取關鍵信息、拓展內涵外延、進行想象發散、形成鮮明對比、否定主觀謬論、進行探究學習等方式，致力于應用反例來建構數學高品質課堂.

關鍵詞：初中數學；反例教學；初中生；應用；構建

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）02-0016-03

所謂反例法，即使用與原本的知識和概念相反的命題來佐證原命題的正確性.初中數學教師在課堂中巧妙地應用反例法教學，可以幫助學生辯證的看待問題，加深其對數學概念的理解和認識，有助于拓展其視野，同時，在辯證中發展創造性數學思維、提升其邏輯思維能力.筆者根據自己多年的教學經驗，從引發屬性理解、開闊視野、縝密思維、建立表象、糾正錯誤、逆向推理等幾個方面入手，談一談自己在這方面的教學心得.

1 抓取關鍵信息，理解屬性

學生要學好數學知識，真正地理解和掌握數學概念，最重要的是認清和理解好數學概念的本質屬性.唯有這樣，學生才能真正走進數學內在，感悟數學問題的本質，運用數學知識也才會得心應手.在教材中，數學概念的闡述往往都是正面表述，學生學習過程中很容易錯過關鍵特征而造成認識不清，導致解題時張冠李戴.而在課堂中，教師利用反例法教學數學概念，可以幫助

學生抓取概念中的關鍵信息，真正理解和掌握概念的屬性，從而提升數學課堂的學習效率.

比如，在教學《認識三角形》這節內容時，有相當一部分學生對三角形的概念有一定的誤解，他們簡單地認為三角形是由三條線段構成的，而忽略了其中的兩個關鍵信息“不在同一直線”和“首尾相連”.為了及時矯正學生們的這一片面認知，我設計了幾個反面的實例圖形：第一個圖形是其中有兩條線段是交叉連接的，第二個圖形是三條平行的線段，第三個圖形是三條線段的一端重合在一起，第四個圖形是有兩條線段的首尾沒有連接在一起.我向學生們提出問題“這幾個圖形是否為三角形？” 學生們很容易看出這幾個圖形并不是三角形，但是它們也確實是由三條線段構成，從而對三角形的概念有了深刻的認識，明確了“不在同一直線”和“首尾相連”這兩個關鍵信息是缺一不可的.能夠捕獲關鍵信息是學生正確解題的重要保證，也是學生綜合能力的體現.在數學概念教學中利用反例法教學，不僅可以幫助學生抓住概念中的關鍵信息，理解屬性，提升對概念的理解和記憶，還能幫助學生在正反案例的沖突中，提升思維能力.

2 拓展內涵外延，開闊視野

數學中很多的概念、定理、性質、公式、法則皆有它成立的前提和其適宜使用的局限范圍，很多學生正是因為忽視了概念、定理、公式、法則等成立的條件，在運用時才會漏洞百出.如果我們教師在進行這些概念、定理、性質、公式、法則教學時，不細心剖析和指導，學生很容易忽視這些條件限制，導致應用時凌駕于范疇之外，造成嚴重錯誤，這不僅會導致學生數學解題效率的下降，更會弱化學生的學習自信.因此，教學中，數學教師可以提供一些供學生判斷的反面案例，以拓展內涵外延，開闊學生的視野，加深對數學知識的理解.

比如，在學習《弧長及扇形的面積》中推算弧長的公式時，弧長等于弧長所對應的圓心角占的整個圓的角度份額的比例乘以整個圓的周長，學生們在做判斷題“弧長就是n360圓的周長”時，很容易將之判斷為正確，而忽略了限制條件“所對應”.為了幫助學生理解概念的內涵，我列舉了一個反例：已知一個圓弧所對應的圓心角的度數，和另一個明顯較大的圓的半徑，可否求出這個圓弧的長度？有的學生還是認為可以求出來，甚至冠冕堂皇地列出了算式，我讓他們依據題目中的已知條件動手畫一下，他們很快就直觀發現了兩段弧長不一樣，于是思考：原來公式中要求的是所對應的圓才行，頓時變得豁然開朗.在數學教學中，教師利用反例教學法獨特的魅力，不僅可以直觀形象地展示數學概念、定理、性質、公式、法則中的限制條件，使學生更好地理解這些概念、定理、性質、公式、法則中的內涵外延，開闊視野，還能讓學生的邏輯思維得到很好地鍛煉和發展.

3 進行想象發散，縝密思維

學生思維能力的培養是數學教學的重要任務.在數學教學中，教師既要循循善誘地傳授給學生數學新知，更要不留痕跡地培養學生的數學思維.初中生由于其尚未建立完善的數學體系，思考問題往往比較片面，不利于數學知識的學習和數學成績的提高.因此，教學中，為了提升初中生思維的縝密性，可以考慮引導其利用想象來構建反例，指引其考慮反例的各種可能性，以此來鍛煉初中生發散性思維，并且提升其思維的嚴謹性.

比如，在教授《有理數和無理數》這節內容時，為了幫助學生更好地理解有理數和無理數的性質和概念，幫助他們形成縝密的數學思維，我設計了這樣一組思考性的數學題目：任意兩個無理數，他們的和或者差是否一定是無理數？任意兩個無理數乘以或者除以一個無理數的結果是否一定是無理數？任何一個無理數加上或者減去一個有理數，計算結果是否一定是無理數？無理數乘以或者除以一個除零外的有理數，結果是否一定是無理數？這組題目其實就是要引導學生通過自己的想象構建反例，來對題目進行否定，如果能成功找出反例，即該命題不成立，如果窮其所思也找不出一條反例，則該命題成立.其實對于這種題目往往具有一定的競技性，學生們都想找出一個否定的答案來，因而參與度也很高.顯然，通過這種引導學生通過想象和思考構建反例的學習方式，不僅很受學生歡迎，可以很好地提升課堂的活躍度，還可以鍛煉初中生全面思考問題的能力，養成科學嚴謹的學習態度.

4 形成鮮明對比，建立表象

數學中很多知識和概念都是抽象的，這也是制約學生數學學習成績提升的原因之一.若在數學課堂教學中，教師只是一味地從正面進行闡述，學生很難真正領悟知識的內涵與外延，自然也就難以游刃有余地運用知識.而憑借學生們都能夠感知的實物來構造反例，使抽象的概念具體化、形象化，可以給學生呈現鮮明的對比，讓其更好地理解和掌握所學的數學知識，從而提升數學課堂的教學效率.

比如，在學習《探索平行線的性質》這一節內容時，為了讓學生認識和探索到“兩條直線平行同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補”這一基本真相，我在黑板上畫出兩條平行的直線被一直線所截，同時又畫出幾條與之不平行的方向不同的直線作為反面圖形案例，讓學生對比它們的同位角、內錯角和同旁內角.同時我還用多媒體展示了一組圖片，泳池中的隔欄、火車的軌道等生活中應用平行線性質的實例，再讓他們想象一下若這些不做成平行線會發生什么狀況.接著，我讓學生們親自測量，并且通過實例的正反面的鮮明對比，建立表象，他們很快就認識和理解了這一平行線的性質.通過聯系實際的正反案例的對比，將抽象的知識形象化、具體化，這樣學生很容易在腦海中建立表象，從而更好地理解和掌握數學知識.

5 否定主觀謬論，糾正錯誤

在數學的學習歷程中，時常會有學生只憑自己的主觀臆想就隨意地得出一個不正確的論斷，而不自知.為了規避此種錯誤的頻繁發生，幫助學生主動否定自己的主觀謬論，及時糾正自己的錯誤認知，教學中，可以考慮使用反例法，幫助學生發現錯誤，提高數學思維能力，加深對同類知識的理解和認識，避免同類錯誤屢次發生.

6 進行探究學習，逆向推理

反例是傾覆錯誤認識和錯誤答案最直接且有成效的手段，因此，在實際教學中，數學教師要積極采用反例法，幫助學生進行探究性學習，形成逆向推理思維，更全面地考慮數學問題.

例如，在學習《全等三角形》這一章節內容時，遇到這樣一個題目：兩個三角形的三個角對應相等，這兩個三角形是全等三角形嗎？學生們很容易將之判斷為全等三角形，并且自己用筆畫出了兩個全等的三角形.我并沒有馬上對他們進行否定，而是假設他們是正確的，然后讓他們改變其中一個三角形的邊長，再試著看看這兩個三角形同樣也是三個角對應相等，是否還為全等三角形？學生們很快就發現他們之前的認識是錯誤的，要確定兩個三角形是否為全等三角形除了要考慮角度問題，還要考慮邊長的問題，他們之前就是太武斷了，沒有查找反例，逆向推理進行探究性學習.因此，在數學教學過程中，數學教師要積極引導學生通過反例例證自己的觀點和論題，從而提升學生的逆向邏輯思維能力，提高對數學題目判斷的準確率，真正實現學生數學學習能力的飛速發展.

總而言之，應用反例來建構初中數學課堂，對初中生思維的發展、對數學知識的理解和把握都具有不可磨滅的作用，也是學生數學能力得以發展的重要渠道.因此，在實際教學中，數學教師應該積極地將這種教學方法運用于數學課堂教學，幫助初中生更全面地考慮數學問題，更深刻地認識和掌握數學知識，提升思維的創造意識和邏輯能力，從而為構建高品質數學課堂奠定基石.

參考文獻：

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[2] 陸曄.探討初中數學教學中反例的運用[J].數學大世界，2019（2）：10.

[3] 凌鋒.淺析初中數學教學實踐中“反例”的恰當運用[J] 求知導刊，2018（8）：86.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2022-10-15

作者簡介：陳豐（1980.11-），男，江蘇省淮安人，本科，中學一級教師，從事中學數學教學研究.